準(zhǔn)備好拜倒在

本女皇的裙下了嗎？

▼▼▼來(lái)來(lái)來(lái)，一窺數(shù)學(xué)女皇的真容▼▼▼

對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)論就是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)和加減乘除，理解起來(lái)不費(fèi)吹灰之力。

對(duì)于數(shù)學(xué)大家們而言，數(shù)論卻是諸如費(fèi)馬定理、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等復(fù)雜而神秘的問(wèn)題。一個(gè)不小心，到死也不知道答案。

畢達(dá)哥拉斯：生得早就是好，什么事情都先講我

畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派秉承著“萬(wàn)物皆數(shù)”的哲學(xué)思想，為了研究眼前的世界，他們精力都放到了對(duì)正整數(shù)的研究上。（注意，畢達(dá)哥拉斯所指的“數(shù)”，只限于正整數(shù)）

他們將正整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)，研究了奇偶數(shù)之間四則運(yùn)算的規(guī)律，還提出了“親和數(shù)”、“完全數(shù)”等概念，并給出了“220”和“284”這對(duì)親和數(shù)。

所謂的“親和數(shù)”，是指一對(duì)正整數(shù)，它們各自的全部約數(shù)之和（本身除外）與對(duì)方相等。畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密?！?/p>

至于“完全數(shù)”，則是指一個(gè)正整數(shù)，它的全部約數(shù)之和（本身除外）等于它本身。第一個(gè)完全數(shù)是6，第二個(gè)完全數(shù)是28，第三個(gè)完全數(shù)是496。

歐幾里得是畢達(dá)哥拉斯之后，把對(duì)正整數(shù)的研究繼續(xù)往前推進(jìn)的古希臘學(xué)者。

歐幾里得：結(jié)果爛攤子還是要我來(lái)收拾……

《幾何原本》中，歐幾里得提出了一些很重要的量化定理，比如說(shuō)“完全數(shù)定理”：

如果2^n-1是素?cái)?shù)，那么2^（n-1）·（2^n-1）是完全數(shù)。

后來(lái)的數(shù)學(xué)家歐拉證明了這個(gè)定理，并且據(jù)此給出了所有的偶完全數(shù)。

輾轉(zhuǎn)相除法：設(shè)兩數(shù)為a、b(a≥b)，求a和b最大公約數(shù) （a，b）的步驟如下：

(1)用a除以b(a≥b)，得 a/b=q……r1 。

(2)若 r1=0，則（a，b）=b；

(3)若 r1不等于0，則再用b除以 r1,：b/r1=q……r2。

(4)若 r2=0，則 （a，b）=r1；若 r2不等于0，則繼續(xù)用 r1除以 r2，......，如此下去，直到能整除為止。其最后一個(gè)余數(shù)為0的除數(shù)即為 （a，b） 的最大公約數(shù)。

歐幾里得的研究，形成了初等數(shù)論的雛形，同時(shí)也提出了一個(gè)貫穿初等數(shù)論的命題：素?cái)?shù)的普遍公式——同時(shí)，這個(gè)命題也直接催生了解析數(shù)論。

所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。丟番圖將自己的研究寫成了一本書(shū)——《算術(shù)》，而這本書(shū)也開(kāi)啟了中世紀(jì)的初等數(shù)論研究。

所以說(shuō)，中國(guó)古代在數(shù)論的研究上，也是輝煌一時(shí)啊。

費(fèi)馬：真是不好意思，興趣愛(ài)好廣泛就是這樣的

費(fèi)馬對(duì)于初等數(shù)論的研究兼有歐幾里得和丟番圖的影子。他一生提出了形形色色的定（cai）理（xiang），最著名的莫過(guò)于“費(fèi)馬大小定理”：

費(fèi)馬小定理：如果p是素?cái)?shù)，a與p互素，那么a^p-a可以被p整除。

費(fèi)馬大定理：方程x^n+y^n=z^n對(duì)于任意大于2的自然數(shù)n無(wú)整數(shù)解。

這兩個(gè)定理皆是在費(fèi)馬閱讀丟番圖的《算術(shù)》時(shí)所提出的，尤其是費(fèi)馬大定理，基本上延續(xù)了丟番圖從不定方程來(lái)發(fā)展數(shù)論的思想。但是費(fèi)馬的其他猜想，卻也有歐幾里得的影子，如他給出的“費(fèi)馬數(shù)”（一種“素?cái)?shù)的普遍公式”）：

與歐幾里得對(duì)“完全數(shù)定理”的描述極為相似?？梢哉f(shuō)，初等數(shù)論在費(fèi)馬手里，隱隱表現(xiàn)出一種成為一個(gè)體系的趨勢(shì)。

一位天才的出現(xiàn)，讓數(shù)論的研究從死胡同中走了出來(lái)，他就是德國(guó)的數(shù)學(xué)王子——高斯。

高斯：終于輪到我出場(chǎng)了

而讓高斯帶領(lǐng)數(shù)論走出“死胡同”的，是他對(duì)于“二次互反律”的研究。

二次互反律，是一個(gè)用于判別二次剩余，即二次同余方程之整數(shù)解的存在性的定律。

高斯非常欣賞這個(gè)定律，他一生中至少給這個(gè)定律作了8種完全不同的證明，并且試圖將它推廣到三次和四次互反律。

經(jīng)過(guò)一番思考與研究之后，高斯決定將復(fù)整數(shù)引入到數(shù)論的研究當(dāng)中，并且驚奇地發(fā)現(xiàn)，一些初等數(shù)論里面的定理，在復(fù)整數(shù)中依舊成立。如在初等數(shù)論中，每一個(gè)整數(shù)都能夠唯一地分解為素因子的乘積，這個(gè)定理依舊在復(fù)整數(shù)中成立。

如此一來(lái)，高斯打破了初等數(shù)論的困境，將數(shù)論帶到了一個(gè)更廣闊的天地——復(fù)整數(shù)中來(lái)。

庫(kù)默爾

戴德金

在代數(shù)數(shù)論中，研究的對(duì)象從正整數(shù)變成了代數(shù)整數(shù)。關(guān)于一個(gè)數(shù)是不是代數(shù)整數(shù)，代數(shù)數(shù)論是這樣定義的：

除去代數(shù)整數(shù)，代數(shù)數(shù)論的研究對(duì)象還有代數(shù)數(shù)域。

關(guān)于代數(shù)數(shù)論是如何具體研究的，超模君就不展開(kāi)講了，不過(guò)模友們需要了解的一點(diǎn)是：直到1898年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在對(duì)各代數(shù)數(shù)域的性質(zhì)加以系統(tǒng)總結(jié)和發(fā)展后，前后經(jīng)過(guò)了百多年的時(shí)光，經(jīng)典代數(shù)數(shù)論才真正定型。

解析數(shù)論的源頭，可以上溯到歐拉。

歐拉：終于可以露臉了

早在1737年的時(shí)候，歐拉在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)和無(wú)窮乘積的收斂性時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)s，有等式：

其中無(wú)窮乘積中p是所有素?cái)?shù)，這個(gè)等式揭示了素?cái)?shù)p和自然數(shù)n之間的積性關(guān)系，也就是歐幾里得所曾經(jīng)證明過(guò)的，而且如果令s=1，則可以得出素?cái)?shù)是無(wú)限多個(gè)的結(jié)論。這是數(shù)論第一次與解析形式相關(guān)聯(lián)起來(lái)的例子。

在歐拉和狄利克雷為解析數(shù)論打好基礎(chǔ)以后，1859年，有一個(gè)人發(fā)表了一篇文章，正式宣告解析數(shù)論的創(chuàng)立。

這個(gè)人，就是黎曼。

黎曼的論文，讓解析數(shù)論開(kāi)始了迅猛的發(fā)展。1896年，阿達(dá)馬和瓦萊普桑，根據(jù)黎曼的方法與結(jié)果，應(yīng)用整函數(shù)理論，成功地證明了素?cái)?shù)定理，讓解析數(shù)論成為了二十世紀(jì)最活躍的數(shù)論分支之一。

整函數(shù)，即在整個(gè)復(fù)平面上處處解析的函數(shù)。

解析數(shù)論的創(chuàng)立，讓很多初等數(shù)論中很難證明的定理變得簡(jiǎn)單，同時(shí)可以提出更多新的數(shù)論問(wèn)題，讓數(shù)論這門學(xué)科的生命力得以延續(xù)。

不過(guò)數(shù)論本身還是很精彩的，套用一句高斯的話：“如果說(shuō)數(shù)學(xué)是科學(xué)的女皇，那么數(shù)論就是數(shù)學(xué)中的女皇”。大家不妨花點(diǎn)心思，來(lái)領(lǐng)略一下數(shù)論女皇的絕美身姿吧！

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