經(jīng)歷圖形研究 體悟概念生成——《全等圖形》課堂實(shí)錄與評(píng)析

概念教學(xué)需要以典型豐富的實(shí)例為載體, 引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各實(shí)例的屬性, 抽象概括共同本質(zhì)屬性, 從而歸納形成數(shù)學(xué)概念.概念的建構(gòu)必須著眼于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí), 概念的理解需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考, 概念的應(yīng)用需要體悟數(shù)學(xué)抽象.

圖形研究;數(shù)學(xué)思考;概念教學(xué);

基金：江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十二期課題“基于核心素養(yǎng)發(fā)展的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究”[編號(hào):2017JK12-L117]的研究成果;

筆者執(zhí)教蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)《全等圖形》一課時(shí), 通過(guò)建構(gòu)操作活動(dòng), 引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過(guò)程, 體悟概念生成, 收到很好的教學(xué)效果, 受到同行的一致好評(píng).現(xiàn)將課堂實(shí)錄及感悟整理成文, 與同行交流研討.

師:德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾說(shuō)過(guò):“世界上沒(méi)有兩片完全相同的葉子.”

【解析】用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看這兩片葉子, 我們不再關(guān)注它作為生物的一種特性, 只關(guān)注它的數(shù)量關(guān)系和空間形式.

(演示課件) 師:如果把這兩片葉子疊合到一起去, 你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)?

生:重合!

師:你能再舉點(diǎn)這樣的例子嗎?

生:比如黑板、教室的窗戶等.師:這一類圖形有何特質(zhì)?

生:通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)后會(huì)重合.

師:能完全重合的圖形稱為“全等圖形”.

【解析】學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的全等現(xiàn)象是熟悉的, 但對(duì)其數(shù)學(xué)屬性并不了解, 因此, 筆者設(shè)計(jì)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界, 引導(dǎo)學(xué)生從一類圖形的共性特征中抽象出全等圖形的概念.

探究活動(dòng)1:觀察與驗(yàn)證.

師:如圖1, 觀察下列圖形, 請(qǐng)找出其中的全等圖形并連線, 再運(yùn)用實(shí)驗(yàn)材料進(jìn)行驗(yàn)證.

圖1   下載原圖

師:你是怎么找到的?

生:目測(cè).

師:眼見未必為實(shí), 你有辦法來(lái)驗(yàn)證嗎?

生:旋轉(zhuǎn)透明紙上的菱形, 發(fā)現(xiàn)它們能夠重合.

師:非常好, 請(qǐng)坐!要判斷兩個(gè)圖形是否全等, 只要把它疊合到一起去, 看是否完全重合.但是這個(gè)圖形是拿不出來(lái)的, 利用透明紙把圖形“拿”出來(lái)比較, 就可以判斷了.

【解析】紙上呈現(xiàn)的圖形是不可移動(dòng)的, 學(xué)生只能依靠“目測(cè)”來(lái)判斷, 但這種“目測(cè)”并不嚴(yán)謹(jǐn).因此, 筆者通過(guò)提供和圖1完全一樣的透明材質(zhì)的操作材料, 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將圖形運(yùn)動(dòng)從不可操作轉(zhuǎn)化為可操作, 真正讓學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過(guò)程.

師:如果把一個(gè)圖形平移 (如圖2) , 平移后的圖形跟原圖形全等嗎?

生:是.

師:為什么?

生:因?yàn)槠揭茣r(shí)沒(méi)有改變圖形的形狀、大小.

師:如果旋轉(zhuǎn)后像圖3這樣全等嗎?

生:也是.

師:翻折后像圖4這樣呢?.

生:也是

【解析】從人的思維角度而言, 既然判斷圖形是否全等可以借助平移、旋轉(zhuǎn)、翻折來(lái)驗(yàn)證圖形是否重合, 那么反過(guò)來(lái)呢?結(jié)論還成立嗎?

探究活動(dòng)2:同一張底片沖印出來(lái)的1寸照片和2寸照片.

師:這兩張照片是全等圖形嗎?

生:不是, 大小不同.

探究活動(dòng)3:如圖5, 下列兩個(gè)由三個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形全等嗎?

生:不是, 因?yàn)樗鼈冃螤畈灰粯?

師:那么你有辦法讓它們變成一樣嗎?

(學(xué)生上臺(tái)操作, 如圖6)

師:這個(gè)方法很好, 有其他辦法嗎?

(學(xué)生上臺(tái)操作, 如圖7、圖8)

【解析】通過(guò)控制形狀和大小這兩個(gè)變量讓學(xué)生深度理解概念.

蜇 ^{(三) 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題——對(duì)全等關(guān)}系的深入研究

復(fù)雜中抽象基本, 訓(xùn)練學(xué)生識(shí)圖技能

探究活動(dòng)4:操作與實(shí)踐.

師:如圖9, 觀察圖形, 你能找出圖中的全等圖形嗎?

圖9   下載原圖

(學(xué)生小組活動(dòng))

生:可以找一下對(duì)稱軸, 依據(jù)對(duì)稱軸可以找出對(duì)稱圖形.比如說(shuō)豎著的, 橫著的也行.

師:怎樣才能不重復(fù)和遺漏呢?

生:我們對(duì)它進(jìn)行分解或分類.

師:最小的三角形有幾個(gè)?

生:12個(gè).

師:再找哪個(gè)?

生:邊長(zhǎng)為3的三角形有6個(gè), 最大的三角形有2個(gè).

師:三角形找完了, 應(yīng)該找……

生:四邊形.

師: (邊演示邊說(shuō)) 還有梯形, 還有更大的梯形, 還有最大的梯形……還有不規(guī)則的圖形, 同學(xué)們可以找出非常多的全等圖形, 如圖10.

師:找全等圖形時(shí)需要把握什么樣的特征呢?

生:我認(rèn)為是形狀相同, 大小也要相等.

師:很好, 你抓住了全等圖形的基本特征.

^{【解析】通過(guò)這樣的識(shí)圖訓(xùn)練}, ^{一方面可以讓學(xué)生在概念的形成過(guò)程中提升自己的思維}能力, 因?yàn)橹挥性谒季S過(guò)程中獲得的經(jīng)驗(yàn)才更_{有價(jià)值;另一方面}, _{可以讓學(xué)生進(jìn)一步體悟分類討論的思想.}?

2.運(yùn)動(dòng)中感悟本質(zhì), 培養(yǎng)學(xué)生空間觀念

探究活動(dòng)5:操作與實(shí)踐.

師:如圖11, 圖中 (2) 是由 (1) 經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)得到的?

圖1 1   下載原圖

生:向右平移5個(gè)單位.

師:按照這樣的規(guī)律, 你能在操作紙上畫出下一個(gè)圖形嗎?除了平移, 再進(jìn)行翻折又是怎么樣?

(教師展示學(xué)生的作品, 如圖12、圖13、圖14)

生:圖12中的 (3) 是由 (2) 繼續(xù)向右平移5個(gè)單位得到的.

生:圖13中的 (3) 是由 (2) 繼續(xù)向右平移3個(gè)單位, 然后翻折過(guò)來(lái)得到的.

師:如果先翻折再平移是不是一樣的呢?

生:是.

師:那圖14呢?誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)?

生:由圖 (1) 先順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖 (2) , 再由圖 (2) 旋轉(zhuǎn)90°并翻折過(guò)來(lái)得到圖 (3) .

^師:^{你觀察得非常仔細(xì)}.^{運(yùn)動(dòng)只是改變了}圖形的位置、形狀和大小不變.今后我們將會(huì)經(jīng)常用運(yùn)動(dòng)的視角來(lái)研究圖形, 運(yùn)動(dòng)前后的兩_{個(gè)圖形全等}.?

【解析】筆者設(shè)計(jì)了“描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化, 并依據(jù)語(yǔ)言的描述來(lái)畫出圖形”這一操作活動(dòng), 讓學(xué)生盡可能多地觀察、操作、類比, 從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

變化中尋找不變, 體悟數(shù)學(xué)抽象思維

小組討論:如圖15, 你能用不同的方法, 沿網(wǎng)格線將正方形分割成兩個(gè)全等的圖形嗎?

(學(xué)生小組合作, 5分鐘后學(xué)生上臺(tái)演示, 展示成果, 如圖16)

師:說(shuō)說(shuō)看, 你們是怎么找到這些分割線的?

生:我們是一條一條試出來(lái)的.

師:有沒(méi)有一般的方法呢?

(生沉默)

師:橫向與縱向其實(shí)是一樣的, 因此, 我們只要找到一個(gè)方向就可以了.我們不妨選擇橫向.大家仔細(xì)觀察一下, 分割后兩個(gè)圖形是什么關(guān)系?

生:全等.

師:這些分割線都經(jīng)過(guò)一個(gè)什么點(diǎn)?

生:中心點(diǎn).

師:你能想清楚為什么嗎??

生:因?yàn)榉指詈蟮膬蓚€(gè)圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)是能夠重合的.換句話說(shuō), 這個(gè)分割線也一定被中心點(diǎn)分割成兩個(gè)全等圖形.

師:你的發(fā)現(xiàn)真妙!其實(shí)我們尋找分割線, 就是要找從左側(cè)邊界上的點(diǎn)到中心點(diǎn)的連線就可以了.如圖17, 這兩個(gè)點(diǎn)之間沿網(wǎng)格線有幾條可連的分割線呢?

生:四條.

師:還有別的發(fā)現(xiàn)嗎?

生:左側(cè)中間那個(gè)點(diǎn)與中心點(diǎn)之間也有兩條可連的分割線.

師:同學(xué)們?cè)佼嫊r(shí), 是不是就簡(jiǎn)單了?只要畫出左半邊的分割線, 根據(jù)全等圖形的特征, 另外半邊就馬上可以補(bǔ)出來(lái)了.

【解析】引導(dǎo)學(xué)生在變化中尋找不變, 由全等的概念展開聯(lián)想, 從而抽象出兩個(gè)點(diǎn)之間的連線, 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過(guò)程, 從而提升學(xué)生的思維能力.

本節(jié)課是《全等三角形》單元的起始課, 又是學(xué)習(xí)平面圖形關(guān)系的引言課, 隱含地指出平面幾何的研究對(duì)象是圖形的形狀和大小, 把對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)作為研究平面幾何的基本工具, 把圖形的分割與拼接作為研究平面幾何的基本方法.

概念教學(xué)的核心是概括, 需要以典型豐富的實(shí)例為載體, 引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各實(shí)例的屬性, 抽象概括共同本質(zhì)屬性, 從而歸納形成數(shù)學(xué)概念.對(duì)全等圖形數(shù)學(xué)特質(zhì)的描述是一個(gè)看似簡(jiǎn)單、卻又有豐富內(nèi)涵的過(guò)程.教材將全等圖形的概念描述為“能夠完全重合的圖形稱之為全等圖形”, 其特征為“形狀相同、大小相等”.那么, 為什么不直接將全等圖形定義為“形狀相同、大小相等”呢?筆者認(rèn)為, 根源在于難于進(jìn)行觀察和運(yùn)算, 用數(shù)量關(guān)系來(lái)描述圖形的形狀、大小的難度要比“重合”要高.從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō), 圖形全等的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是“重合”.因此建構(gòu)“全等圖形”的概念必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光來(lái)觀察身邊的“重合”現(xiàn)象, 從而提煉出這一類圖形的共性特征.

就教師而言, “全等圖形”無(wú)疑是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的概念, 但這種“簡(jiǎn)單”其實(shí)是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中歷經(jīng)千辛萬(wàn)苦、長(zhǎng)期積累才得到的.由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性, 學(xué)生對(duì)貌似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念往往需要費(fèi)很大周折才能真正理解.如果忽視這一點(diǎn), 就會(huì)造成教師以為學(xué)生很懂, 而學(xué)生實(shí)質(zhì)“懵懂”的教學(xué)現(xiàn)象.因此, 在教學(xué)中, 教師必須要追溯概念本源, 展現(xiàn)其形成過(guò)程, 充分挖掘概念的內(nèi)涵和外延, 幫助學(xué)生理解全等圖形的特征.

本課例首先借助“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”幫助學(xué)生從感性上來(lái)體悟圖形的全等.由于缺少對(duì)圖形的數(shù)量關(guān)系的描述, 學(xué)生對(duì)于兩個(gè)圖形是否“完全重合”的判斷只能依賴目測(cè), 猜想圖形“全等”.這種驗(yàn)證方法并不可靠.顯然, 印在紙上的平面圖形無(wú)法運(yùn)動(dòng), 但是, 借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料——透明紙, 就能實(shí)現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折, 從而判斷圖形是否全等.

其次利用“逆向思維”建構(gòu)認(rèn)知沖突來(lái)思辨概念.既然可以用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來(lái)檢驗(yàn)圖形是否重合, 那么平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后的圖形是否和原圖形全等?這樣的想法自然產(chǎn)生, 而通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的說(shuō)理思辨可以讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)“完全重合”這一概念的理解.

最后通過(guò)控制“形狀”“大小”這兩個(gè)變量來(lái)挖掘概念的內(nèi)涵和外延.筆者先利用“同一底片”來(lái)控制形狀, 再“利用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形”來(lái)控制大小, 讓學(xué)生感悟“完全重合”的特征就是“形狀、大小相同”, 而形狀、大小是可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)描述的, 通過(guò)有趣且有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生深度理解全等圖形的特征.

數(shù)學(xué)抽象要以基于感知和操作所得到的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ), 通過(guò)典型實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生比較、分析, 充分討論、理解歸納共同屬性.本節(jié)課站在系統(tǒng)思維的高度引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過(guò)程, 體悟概念生成的基本方法.一是通過(guò)從復(fù)雜圖形中抽象出基本的全等圖形, 培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力, 感悟分類討論的數(shù)學(xué)思想.二是根據(jù)圖形變換規(guī)律畫圖, 讓學(xué)生在畫圖過(guò)程中描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化, 并依據(jù)語(yǔ)言描述來(lái)畫出圖形, 發(fā)展學(xué)生的空間觀念.三是沿網(wǎng)格線分割正方形, 借助一個(gè)有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)來(lái)積累圖形研究的經(jīng)驗(yàn), 筆者在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生從他們所畫的圖形中尋找共性, 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有的分割線均隱藏在三個(gè)特殊“點(diǎn)”之間的連線上.