有關(guān)整除問題的解題技巧，學(xué)校的課堂上一般不會講這么詳細(xì)。大家好我是小梁老師，這節(jié)課的內(nèi)容量很大，而且非常有用，需要記憶需要認(rèn)真讀題思考。學(xué)完本課用時會比較多。

＜整除＞

整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)，除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除(也可以說b能整除a)。

如果整數(shù)a能被整數(shù)b(b≠0)整除，a就叫作b的倍數(shù)，b就叫作a的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是一對相互依存的概念。

根據(jù)整除的含義，我們可以歸納一些數(shù)的整除特征：

(1)看末一位或末幾位數(shù)。

①能被2，5整除的數(shù)的特征：

這個數(shù)的末一位數(shù)能分別被2，5整除。

②能被4，25整除的數(shù)的特征：

這個數(shù)的末兩位數(shù)能分別被4，25整除。

③能被8，125整除的數(shù)的特征：

這個數(shù)的末三位數(shù)能分別被8，125整除

④能被16，625整除的數(shù)的特征：

這個數(shù)的末四位數(shù)能分別被16，625整除。

(2)看各位上的數(shù)字的和。

①能被3，9整除的數(shù)的特征：

這個數(shù)的各位上的數(shù)字的和能分別被3，9整除。

②能被11整除的數(shù)的特征：

這個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字的和與偶數(shù)位上的數(shù)字的和的差能被11整除。

(3)看兩部分?jǐn)?shù)字組成的數(shù)的差。

能被7，11，13整除的數(shù)的特征:

這個數(shù)的末三位數(shù)與末三位數(shù)前面的數(shù)字組成的數(shù)的差能分別被7，11，13整除。

2、整除還具有這樣一些性質(zhì)：

(1)如果兩個數(shù)都能被同一個數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和或差也能被這個數(shù)整除。

(2)如果一個數(shù)能被另一個數(shù)整除，那么這個數(shù)的整數(shù)倍也能被另一個數(shù)整除。

(3)如果第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除，第二個數(shù)又能被第三個數(shù)整除，那么第一個數(shù)也能被第三個數(shù)整除。

(4)如果一個數(shù)能同時被另外兩個數(shù)整除，而且這兩個數(shù)互質(zhì)，那么這個數(shù)也能被另外兩個數(shù)的積整除。

以上說到的解題技巧可以用在所有整除的題目中，有必要記下來背下來。下面我們通過幾個例題把整除的內(nèi)容具體學(xué)習(xí)一下。

?例題①

在□中填入合適的數(shù)字，使所組成的數(shù)能被4整除。

(1)65□4

(2)1235口

解題分析：在(1)中，要使所組成的數(shù)能被4整除，根據(jù)能被4整除的數(shù)的特征，這個數(shù)的末兩位□4就應(yīng)該能被4整除，因此口中可以填0，2，4，6或8。所組成的數(shù)應(yīng)該是6504，6524，6544，6564、6584。

在(2)中，要使所組成的數(shù)能被4整除，根據(jù)能被4整除的數(shù)的特征，這個數(shù)的末兩位5□就應(yīng)該能被4整除，因此□中可以填2或6。所組成的數(shù)應(yīng)該是12352，12356。

再看個比較類似的題目：

拓展題型：在□中填入合適的數(shù)字，使所組成的數(shù)能被25整除。

(1)2785□

(2)96□5

解題分析：在(1)中，要使所組成的數(shù)能被25整除，根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征，這個數(shù)的末兩位5□就應(yīng)該能被25整除，因此□中只能填0。所組成的數(shù)應(yīng)該是27850。

在(2)中，要使所組成的數(shù)能被25整除，根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征，這個數(shù)的末兩位□5就應(yīng)該能被25整除，因此□中可以填2或7。

所組成的數(shù)應(yīng)該是9625，9675。

想一想做一做以下對應(yīng)題目：

1.下列哪些數(shù)能被4整除?哪些數(shù)能被25整除？

12456

2350

37212

7800

5408

65325

2.在□中填入合適的數(shù)字，使所組成的數(shù)能被4整除。

78□4

7653□

863□□

3.在□中填入合適的數(shù)字，使所組成的數(shù)能被25整除。

98□5

765□

667□

874□0

?例題②

一個五位數(shù)能被72整除，這個五位數(shù)的千位、百位、十位上依次是6，7，9，萬位和個位上的數(shù)字不知道是幾，你知道嗎?

解題分析：一個五位數(shù)能被72整除，那么這個五位數(shù)應(yīng)該能同時被8和9整除。我們可以應(yīng)用能被8和9整除的數(shù)的特征解決這個問題。

五位數(shù)□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即79□是8倍數(shù)，容易算出□內(nèi)只能是2。

五位數(shù)□6792能被9整除，所以它各位上數(shù)字之和能被9整除，即□+6+7+9+2＝□+24，顯然□中只能填3。

答：這個五位數(shù)是36792。

想一想做一做以下對應(yīng)題目：

1.在□中填上合適的數(shù)字，使所組成的數(shù)有因數(shù)125。

662□0

887□0

4525□□

6673□□

2.在□內(nèi)填上合適的數(shù)字，使2□10□能同時被8和9整除。

3.六位數(shù)A427B6能被72整除，則A和B各表示多少?這個整數(shù)是多少?

?例題③

在□內(nèi)填上合適的數(shù)字，使五位數(shù)7□36□能被5整除，也能被9整除。

解題分析：要使這個五位數(shù)能被5整除，個位上只能是0或5；要使它能被9整除，各位數(shù)字之和就要能被9整除。

當(dāng)個位上是0時，7+□+3+6+0的和能被9整除，□只能填2。

當(dāng)個位上是5時，7+□+3+6+5的和能被9整除，□只能填6。

所以這個五位數(shù)是：72360或76365。

想一想做一做以下對應(yīng)題目：

1.在□內(nèi)填上合適的數(shù)字，使五位數(shù)29□7□能被4整除，也能被3整除。

2.已知六位數(shù)A2003B能被5整除，也能被9整除，求滿足條件的六位數(shù)。

3.七位數(shù)22A333A能被4整除，且兩位數(shù)3A能被6整除，那么A是多少？

本節(jié)課所有練習(xí)題答案如下：

例題1想一想做一做

1.能被4整除的數(shù):12456，37212，7800，5408

能被25整除的數(shù):2350，7800，65325

2.(每題答案均不唯一，給出一個僅供參考)

7904，76532，86300

3.(前、后兩個答案不唯一，給出一個僅供參考)

9825，7650，6675，87400

例題2想一想做一做

1.66250，88750，452500，667375，

2.22104

3.當(dāng)B＝3時，A為5;當(dāng)B＝7時，A為1。整數(shù)是542736和142776

例題3想一想做一做

1.要使這個數(shù)能被4整除，末兩位7□必須能被4整除，有72，76兩種填法。要使這個數(shù)能被3整除，各位上數(shù)字的和就要能被3整除，若個位上填2，百位上可填1，4，7;若個位上填6，百位上可填0，3，6，9。所以符合條件的五位數(shù)有:29172，29472，29772，29076，29376，29676，29976。

2.由于六位數(shù)能被5和9整除，由六位數(shù)A2003B能被5整除可知B＝0或5，當(dāng)B＝0時，A＝4。當(dāng)B＝5時，A＝8。所以這樣的六位數(shù)有420030，820035。

3.因為兩位數(shù)3A能被6整除，所以A＝0或6經(jīng)檢驗:2203330不能被4整除，2263336能被4整除，所以A是6。

這節(jié)課內(nèi)容比較多，能夠看完并且掌握的同學(xué)恭喜你，今后這類問題都會迎刃而解，下節(jié)課繼續(xù)復(fù)習(xí)整除。我是小梁老師，下節(jié)課見！