求動點的軌跡方程是解析幾何的一個重要問題，軌跡概念包含“完備性”與“純粹性”兩方面，然而因某種原因?qū)е聞狱c軌跡遺漏的現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)。下面通過典型例題，就解題過程中造成動點軌跡遺漏的原因總結(jié)如下，以期防范。

一、忽略對動點運動的多種情形的討論：

例1、直角△ABC的兩直角邊長分別是BC=a，AC=b（a>b），A、B兩點分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動（可包括原點），求頂點C的軌跡方程。

錯解：如圖1，設C（x,y），由A、O、B、C四點共圓，可得∠ABC=∠AOC，即，所以。又當A與原點重合時，點C的橫坐標為，當點B與原點重合時，點C的橫坐標為，故頂點C的軌跡方程為 。

剖析：上述解法遺漏了另一種情況（如圖2）。故頂點C的軌跡方程為

或。

二、忽略動點的特殊位置。

求動點的軌跡，不但要考慮動點運動規(guī)律的一般情況，還要考慮動點的特殊位置，如極限位置、臨界位置、軌跡與坐標軸的交點，忽視對這些特殊位置的考慮，常會造成軌跡遺漏。

例2、已知定線段AB的長為2，點P是以點A為圓心的單位圓上的動點，∠PAB的平分線交PB于Q，求點Q的軌跡方程。

錯解：以A為坐標原點，線段AB所在的射線為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，如圖3所示。則圓A的方程為，由三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理得，即。設點Q的坐標為（x,y），由定比分點坐標公式可得點P的坐標是（），而P在圓上，可得。

即 （*）

此就是點Q的軌跡方程。

剖析：應用三角形內(nèi)角平分線定理的前提條件是P、A、B不共線，而上述解法卻忽視了P、A、B共線的情形，導致求軌跡的漏解。正確解法應對P、A、B共線的情形補充說明：（1）當點P運動到點C（－1，0）時，∠CAB=180°。其平分線即y軸與CB的交點是（0，0），適合（*）式；（2）當點P運動到點D（1，0）時，∠DAB=0，其平分線即Ox與DB的交點為線段DB，這時點Q的軌跡就是線段DB：（）。

因此，點Q的軌跡方程是或y=0（）。

三、忽略題設的幾何條件。

若題設的幾何條件情形不止一種，而在求軌跡問題中又沒有充分全面地加以分析考慮，自然會造成軌跡遺漏。

例3、求與一直線和圓都相切的圓的圓心的軌跡。

錯解：設已知直線為l，已知圓的半徑為a，建立如圖4所示的平面直角坐標系，使直線l平行于x軸，且在x軸的上方，使半徑為a的圓的圓心在原點。不妨設所求圓的圓心P的坐標為（x,y），半徑為r，原點O到直線l的距離為b，則直線l的方程為y=b（b>a）。

因為動圓P與圓O相切，所以（取“＋”時兩圓外切，取“－”時兩圓內(nèi)切），即。①

又因為動圓P與直線l相切，所以點P到直線l的距離為r。  

因此。②

由①②消去r，可得點P的軌跡為拋物線：

 ③

剖析：上述解法忽視了對題設幾何條件中已知直線l和已知圓O之間的位置關(guān)系進行分析，只就相離情形進行解答，而未注意到相切、相交這兩種情況，因而造成了軌跡遺漏。

事實上，當直線l與圓O相切，即b=a時，由③易知動圓的圓心P的軌跡為拋物線：或x=0（y≠0，y≠a）；當直線l與圓O相交，即b<a時，由③易知動圓的圓心P的軌跡為兩條拋物線：。