想想一下下面這個式子：

(1)

這個是我們已經(jīng)認識的導(dǎo)數(shù)表示形式，它標(biāo)識F(x)的導(dǎo)數(shù)等于2x。那么能想象一下F(x)等于多少嗎？

逆微分運算

這并不會難倒我們：

(2)

沒錯這很簡單，而且再仔細思考我們還會發(fā)現(xiàn)在(2)式右面加個常數(shù)似乎也并不會改變它對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的值：

然后我們更進一步把那些看似隨意的常數(shù)改寫為：

（3）

c是個任意的值,(3)的導(dǎo)數(shù)同樣是等于2x的，因為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。這樣我們便總結(jié)出了下面一個定理：

如果F(x)和G(x)在同一個區(qū)間上具有相同的導(dǎo)數(shù)，那么F(x)和G(x)便會相差一個常數(shù)，也就是說存在一個常數(shù)c使得任意x在這個區(qū)間上具有如下性質(zhì)：

(4)

那么怎么證明這個說法是正確的呢？我們可以從導(dǎo)數(shù)的運算法則去考慮這個問題：

也就是說G(x)-F(x)應(yīng)該是一個常數(shù)，以此來滿足導(dǎo)數(shù)為0的結(jié)果。因此可驗證這個定理的正確性。

不定積分有多少

由上面所敘述的情況，我們可以知道，如果F(x)和f(x)給定，并且：

（5）

那么我們說F(x)是f(x)的一個不定積分，并且這個找出不定積分的過程叫做積分運算，而且我們也意識到f(x)的不定積分應(yīng)該有無窮多個，他們之間相差一個常數(shù)，我們可以統(tǒng)統(tǒng)表示為：

第一個不定積分

在歷史上，萊布尼茨把(5)中f(x)的不定積分表示為：

它讀作f(x)dx的不定積分，這是不定積分的標(biāo)準(zhǔn)表達式，而且我們注意到f(x)dx是F(x)的微分形式的一部分，我們在后面將會認識到微分表示形式將會給積分計算帶來無以言表的便利。

既然知道積分和導(dǎo)數(shù)是相互反向的運算，我們可以在沒有積分計算法則的條件下嘗試一下冪函數(shù)不定積分公式的推導(dǎo)：

這樣最后這個公式就符合我們追求完美的變態(tài)態(tài)度了，給定一個冪函數(shù)，我們就可以找出它對應(yīng)的所有不定積分。

我們是模擬萊布尼茨當(dāng)時研究微積分時的角度去對知識做嘗試性的探索和發(fā)現(xiàn)的，這樣比較符合人類認識和理解事物的特征，留下的印象也會比較深刻，一旦將來有所遺忘，也能順著這個思路自己把知識推導(dǎo)出來。