蝴蝶定理

　　例一

　　1、已知：如圖，O為平行四邊形ABCD中心，DF⊥AC于F,CE⊥BD于E,EF交AB于G。

　　求證：GO⊥AD

　?。ǜ咧新?lián)賽難度幾何100題之74，田開(kāi)斌題）

　　思路分析：顯然CDEF共圓，圓心J為CD中點(diǎn)，從而需證GO⊥JO，這顯然是蝴蝶定理之逆，延長(zhǎng)GO交DC于K，則OG=OK,從而得證

　　證明：設(shè)GO交CD于K，由對(duì)稱性知OG=OK；

　　設(shè)J為CD中點(diǎn)，由垂直得CDFE共圓，且圓心J為BC中點(diǎn)，

　　由蝴蝶定理逆定理即知JO⊥OG，

　　又由中位線定理得OJ//AD,

　　故GO⊥AD。

　　注：本題證明方法比較多。除了上述蝴蝶定理方法以外，還可以用根軸（田開(kāi)斌老師的解答就是利用根軸解決的）。當(dāng)然還可以使用其他計(jì)算方法等。不過(guò)如果能想到蝴蝶定理，本題能迅速得到解決。

　　例二

　　已知：如圖，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，以AD為直徑的圓交AB、AC于E、F。

　　此圓在E、F處切線交于G。

　　求證：GD⊥BC

　　思路分析1：類似蝴蝶定理證法2，過(guò)G作兩邊垂線，由垂直得共圓倒角得相似，為了利用垂直，采用同一法。

　　證明1：根據(jù)圖形的唯一性，我們證明其逆命題，即由GD⊥BC證明BD=CD,

　　設(shè)GH⊥AB于H,GI⊥AC于I,

　　由切線知∠HEG=∠EDA,∠IFG=∠FDA,

　　又GE=GF,故HF:ED=GE:AD=GF:AD=IF:DF,

　　故∠EDH=∠FDI。

　　由垂直得BHDG,GICD共圓，又GH//DE,GI//DF,

　　則∠DBG=∠GHD=∠HDE=∠FDI=∠DIG=∠DCG,

　　故GB=GC,DB=DC，證畢。

　　思路分析2：看到平分和垂直想到蝴蝶定理。

　　E、F在以G為圓心的圓上，由切線倒角得到IGJ共線，

　　由垂直得直徑與共圓，

　　利用蝴蝶定理逆定理即得。

　　證明2：如圖，顯然GE=GF，

　　設(shè)以G為圓心GE為半徑的圓交射線AB、AC于I、J，

　　由GE為圓的切線得∠EIG=∠IEG=∠AFE=∠EIJ,

　　故IGJ共線。

　　又∠AED=90°,則E,D,J共線，

　　同理F,D,I共線。

　　又DB=DC,

　　由蝴蝶定理逆定理知GD⊥BC。

　　注：1）證法1相當(dāng)于證明了本題的逆命題，本題的證明嚴(yán)格上可以這樣敘述：

　　設(shè)過(guò)E的圓的切線交過(guò)D的BC的垂線于G',G'F'為圓的另一個(gè)切線，

　　AF'交BD于C',由證法1知DB=DC',從而C,C'重合，即原結(jié)論成立。

　　2）證法2將其巧妙轉(zhuǎn)化為蝴蝶定理，不過(guò)還要由切線證明三點(diǎn)共線，才能完成證明。本證法最終圖形與《蝴蝶定理之八》的第1題殊途同歸。將其對(duì)照會(huì)有更多收獲。這也算是本題的一種本質(zhì)。

　　3）本題有很多解法，葉中豪老師得到不少解法，也對(duì)其做過(guò)很多推廣。不過(guò)一言以蔽之：蝴蝶定理算是本題的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

　　例三

　　如圖，已知△ABC旁切圓I切三邊于D,E,F,EF交ID于H，AH交BC于M。

　　求證：MB=MC,

　　（1991年四川省競(jìng)賽題）

　　思路分析1：類似于切割線蝴蝶定理證法1，過(guò)H作BC平行線，得到共圓倒角即可。

　　證明1：設(shè)過(guò)H的BC平行線交AB,AC于J,K，

　　由垂直得IJFH,IHKE共圓，

　　故∠IJH=∠IFH=∠IEH=∠IKH,

　　故IJ=IK,HJ=HK,

　　由JK//BC,從而MB=MC。

　　思路2：利用正弦定理或分角定理以FH:HE為媒介進(jìn)行計(jì)算即可。

　　證明2：設(shè)△ABC三個(gè)角為A,B,C,

　　由垂直得BFID,DIEC共圓，

　　故∠FID=∠B,∠DIE=∠C,

　　△IFE中，由正弦定理得：

　　FH:HE=sin∠FID:sin∠DIE=sinB:sinC,

　　△AFE中，由正弦定理得：

　　sinB:sinC=FH:HE=sin∠FAH:sin∠HAE,

　　△ABC中，由正弦定理得：

　　BM:CM=ABsin∠FAH:(ACsin∠HAE)

　　=(sinC:sinB)*(sin∠FAH:sin∠HAE)=1,

　　即MB=MC。

　　注：1）解法1通過(guò)精妙的平移轉(zhuǎn)化，輕松倒角得證。其思路和《蝴蝶定理之四》第1題的最經(jīng)典的證法1異曲同工。也與上題的思路1如出一轍。

　　2）證法2沒(méi)有添加輔助線，只是通過(guò)簡(jiǎn)單三角計(jì)算即得，也不失為一種合理的證法，值得體會(huì)學(xué)習(xí)。

　　3）本題很經(jīng)典，解法也很巧妙簡(jiǎn)潔，人見(jiàn)人愛(ài)，花見(jiàn)花開(kāi)。我們?cè)陔u爪定理里面反復(fù)強(qiáng)調(diào)，每一個(gè)內(nèi)心具有的性質(zhì)旁心都有。不難想象，本結(jié)論對(duì)內(nèi)切圓也是成立的，這正是2010年北方競(jìng)賽的第6題，如下圖所示。證明當(dāng)然也是如出一轍。

　　例4、已知：如圖，△ABC中，D、K分別為BC、AD中點(diǎn)，E、F為D

　　AB、AC上垂足，

　　KE,KF交BC于M,N。O、O'為△EMD、△FND外心。

　　求證：OO'//BC

　　（2017年?yáng)|南數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽第2題）

　　思路分析：設(shè)圓O、O'交于D、G。若OO'//BC則GD⊥BC,GE⊥ME,GF⊥FN,則本題

　　化為第2題，下面只需考慮如何轉(zhuǎn)化即可。想到第2題證法2，利用其輔助線及蝴蝶定理即可證明。

　　證明：如圖，設(shè)DE交AF于L，DF交AE于J，LJ中點(diǎn)為G，

　　由垂直得JEFL、AEDF共圓，

　　則∠GEJ=∠GJE=∠AFE=∠ADE=∠KED

　　則GE⊥KE,同理GF⊥KF。

　　由DB=DC,根據(jù)蝴蝶定理逆定理知GD⊥BC。

　　故MEDG,NFDG共圓，

　　故O、O'為MG、NG中點(diǎn)，

　　則OO'//BC

　　注：本題證法比較多，上述證法是本人聯(lián)系到第2題得到的。這也說(shuō)明本題的本質(zhì)是蝴蝶定理，算是第2題的進(jìn)一步加深。