在“SLE曲線”結(jié)構(gòu)中，隨機(jī)性增加 | 來(lái)源：Jason Miller

標(biāo)準(zhǔn)幾何體能夠用簡(jiǎn)單規(guī)則描述，比如通過(guò)y = ax + b定義每條直線，而且各要素之間的關(guān)系也相對(duì)明了：兩點(diǎn)成線，四邊成面，六面結(jié)合為立方體。

然而，困擾麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授Scott Sheffield的不是標(biāo)準(zhǔn)幾何體，而具有隨機(jī)性的形狀。因?yàn)闊o(wú)法預(yù)測(cè)路徑，世界上不存在兩個(gè)一模一樣的隨機(jī)形狀。最常見(jiàn)的隨機(jī)形狀是隨機(jī)游走（random walk），從金融資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)到量子物理中的粒子路徑，我們稱之為隨機(jī)游走，因依靠過(guò)去的路徑，你根本無(wú)法預(yù)判粒子將來(lái)的走勢(shì)。

Scott Sheffield 麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授

除了一維的隨機(jī)游走，還存在隨機(jī)二維曲面（two-dimensional surface）、隨機(jī)增長(zhǎng)（random growth）模型等其他類型的隨機(jī)形狀，比如隨機(jī)增長(zhǎng)模型可以估測(cè)青苔在巖石上的蔓延方式。直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家仍不能解釋這些物理世界中的隨機(jī)形狀，也找不到隨機(jī)路徑和隨機(jī)二維形狀的共同聯(lián)系。

近年，Sheffield和與其頻繁合作的Jason Miller教授（目前在劍橋大學(xué)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)室任職），發(fā)現(xiàn)隨機(jī)形狀之間的相似特征，而且某幾類隨機(jī)物體之間存在驚人清晰的關(guān)聯(lián)——他們的研究開(kāi)啟了幾何隨機(jī)性的統(tǒng)一理論。

Jason Miller 劍橋大學(xué)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)室教授

在接下來(lái)的數(shù)月中，Sheffield和Miller將會(huì)發(fā)表三篇系列論文中的最后一部分（介于本報(bào)道撰寫于2016年，提到的論文已經(jīng)被發(fā)表），首次提出不同于平面的歐幾里得映射（Euclidean mapping of the plane），在隨機(jī)二維曲面上物理與數(shù)學(xué)隨機(jī)幾何的統(tǒng)一觀點(diǎn)。

相關(guān)論文：

Liouville quantum gravity and the Brownian map I: The QLE(8/3,0) metric.

• https:///abs/1507.00719

Liouville quantum gravity and the Brownian map II: geodesics and continuity of the embedding：geodesics and continuity of the embedding.

• https:///abs/1605.03563

Liouville quantum gravity and the Brownian map III: the conformal structure is determined.

• https:///abs/1608.05391

量子弦（quantum string）上的隨機(jī)游走

標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得幾何，即歐式幾何（Euclidean geometry）的研究對(duì)象包括：線，射線，以及圓和拋物線這樣的平滑曲線，點(diǎn)的坐標(biāo)值可被清晰、有序的規(guī)則，即函數(shù)表示。比如，已知一條直線上的兩點(diǎn)，就能夠推得該直線上的其他點(diǎn)的坐標(biāo)。該規(guī)則同樣適用于下圖上的每條射線（從一個(gè)點(diǎn)向外輻射）。

從中心點(diǎn)向外輻射的線 來(lái)源：Scott Sheffield

飛機(jī)航線可以幫助理解隨機(jī)二維幾何。當(dāng)一架飛機(jī)長(zhǎng)距離飛行，例如從東京飛到紐約，飛行員會(huì)沿直線從一城市飛向另一城市。但是，如果把航線畫(huà)在地圖上，即，把球體（地球）上的直線映射到一張扁平的紙上，航線會(huì)變成弧形。

如果地球不是圓的，而是以隨機(jī)的方式扭曲而成的復(fù)雜形狀，二維扁平地圖上的航線可能會(huì)更加無(wú)規(guī)律，就像下圖中的射線。

地面隨機(jī)度低時(shí)的飛機(jī)航線示意 來(lái)源：Scott Sheffield

每條射線代表從起點(diǎn)出發(fā)的航線，在隨機(jī)波動(dòng)的幾何面中盡量“直線”飛行（意為在表面上從一點(diǎn)到另一點(diǎn)之間距離最近的路徑）。隨機(jī)量的特征如下圖所示，筆直的射線因隨機(jī)量增加而扭曲，出現(xiàn)越來(lái)越多幾乎不連貫的（incoherent）的鋸齒狀閃電。

地面隨機(jī)度增加時(shí)的飛機(jī)航線示意 來(lái)源：Scott Sheffield

但是，不連貫不等于不可理解。在隨機(jī)幾何中，如果你知道一些點(diǎn)的位置，在最佳情況下就能推測(cè)其余點(diǎn)的分布概率。就像灌鉛骰子的點(diǎn)數(shù)依然是隨機(jī)的，但是與均勻骰子不同，可能有不同的分布概率。

地面隨機(jī)度極高時(shí)的飛機(jī)航線示意 來(lái)源：Scott Sheffield

數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并且希望繼續(xù)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)幾何的概率分布，該分布是特殊的，而且很多領(lǐng)域的研究都涉及到這種隨機(jī)的幾何形狀，如果物理學(xué)家能夠用足夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述它們，很多研究都會(huì)變得更加順利。自然似乎傾向于用不可數(shù)無(wú)限面的骰子生成隨機(jī)曲面（random surfaces）。像Sheffield和Miller這樣的數(shù)學(xué)家試圖研究這種骰子的特性（以及隨機(jī)幾何生成形狀的“典型”特性），希望達(dá)到我們了解普通球體一樣準(zhǔn)確。

可通過(guò)這種方式進(jìn)行理解的第一個(gè)案例是隨機(jī)游走。理論上，如果反復(fù)擲骰子（正面/反面），生成的“路徑”就是一維的隨機(jī)游走。20世紀(jì)20年代，麻省理工的Norbert Wiener用數(shù)學(xué)將這一過(guò)程精準(zhǔn)描述為布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian motion）。

布朗運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)游走的“尺度極限”（scaling limit），意思是如果隨機(jī)游走每一步的“步長(zhǎng)”和時(shí)間間隔都非常小，表現(xiàn)就越來(lái)越接近布朗運(yùn)動(dòng)。隨著時(shí)間的流逝，幾乎所有隨機(jī)游走都會(huì)收斂為布朗運(yùn)動(dòng)。

同時(shí)，在物理學(xué)家試圖理解宇宙結(jié)構(gòu)的時(shí)候，他們一次注意到了二維隨機(jī)空間。

弦理論中，極小的弦（string）隨著時(shí)間流逝而震動(dòng)、演化。一個(gè)點(diǎn)隨著時(shí)間變化產(chǎn)生的軌跡會(huì)形成一條一維曲線，弦在時(shí)空上掃過(guò)的二維軌跡可被理解為二維曲面，稱為世界面（worldsheet），編碼了一維弦在一段時(shí)空內(nèi)震動(dòng)的歷史信息。

Sheffield總結(jié)：“要弄懂量子物理的弦理論，你首先需要理解曲面中的布朗運(yùn)動(dòng)?！?/p>

多年來(lái)，物理學(xué)家得到一些至少部分相關(guān)的成果。20世紀(jì)80年代，現(xiàn)在在普林斯頓大學(xué)任職的物理學(xué)家Alexander Polyakov提出一種描述這些物理學(xué)中至關(guān)重要曲面的方法，這個(gè)方法被稱作Liouville量子引力（Liouville quantum gravity，縮寫為L(zhǎng)QG），雖然并不完善，但是這種看待隨機(jī)二維曲面的方法依然很有用，作為一個(gè)有用的工具，LQG讓物理學(xué)家可以定義曲面角度，從而，曲面的面積就能計(jì)算了。

同樣的，布朗地圖（Brownian map）提供了研究隨機(jī)二維曲面的另一種方法。通過(guò)LQG可以計(jì)算面積，通過(guò)布朗地圖則可以計(jì)算隨機(jī)曲面上點(diǎn)之間的距離。二者共同為物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家提供了互補(bǔ)的視角。他們希望這兩種方法是等價(jià)的，因?yàn)椤緸槭裁聪Ｍ@兩種方法是等價(jià)的？等價(jià)之后有多大用？】但是無(wú)法證明這點(diǎn)。

自2013年起，Sheffield和Miller開(kāi)始著手證明這兩種模型的等價(jià)性。

隨機(jī)增長(zhǎng)（Random Growth）

為了證明LQG和布朗地圖是隨機(jī)二維平面的等價(jià)模型，Sheffield和Miller采用一種理論上足夠簡(jiǎn)單明了的方式。他們希望找到一種LQG曲面的距離度量方式，然后證明它和布朗地圖中的距離測(cè)量方式是一模一樣的。

當(dāng)開(kāi)始定義這種新的度量方式的時(shí)候他們發(fā)現(xiàn)，由于隨機(jī)曲面太過(guò)扭曲，無(wú)法在避免撕裂物體的情況下移動(dòng)筆直的物體。Sheffield和Miller意識(shí)到傳統(tǒng)定義距離的方法無(wú)法實(shí)現(xiàn)LQG曲面的距離度量。

因此，二人組把試圖重新用關(guān)于增長(zhǎng)的問(wèn)題來(lái)解釋距離。打個(gè)比方，曲面上的菌落繁殖，菌落首先占據(jù)了一個(gè)點(diǎn)，隨著時(shí)間的流逝，菌落擴(kuò)張到曲面的任何一個(gè)角落。因此，就可以通過(guò)菌落從一點(diǎn)擴(kuò)張到另一點(diǎn)的時(shí)間，來(lái)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離。Sheffield表示這種技巧一定程度上“描述了球狀擴(kuò)大的過(guò)程”。

因?yàn)樗悬c(diǎn)和增長(zhǎng)率都是已知且固定的，所以增長(zhǎng)過(guò)程也是確定的。我們很容易在普通的平面上描述一個(gè)球形的增長(zhǎng)。隨機(jī)增長(zhǎng)要難得多，很長(zhǎng)一段時(shí)間困擾著數(shù)學(xué)家們。但是，Sheffield和Miller很快發(fā)現(xiàn)，相比平滑曲面，在隨機(jī)曲面上運(yùn)行隨機(jī)增長(zhǎng)模型出人意料得更容易理解，這它們實(shí)際上是用相似的數(shù)學(xué)方法被描述的。Sheffield發(fā)現(xiàn)：“在隨機(jī)曲面上添加增長(zhǎng)模型很瘋狂，但是某種程度上計(jì)算其實(shí)更容易了”。

下圖展示了一個(gè)特殊的隨機(jī)增長(zhǎng)模型，伊甸園模型（Eden model），描述了菌落的隨機(jī)增長(zhǎng)。菌落一邊生長(zhǎng)，一邊在群落的邊緣隨機(jī)生成障礙。任何時(shí)候都無(wú)法預(yù)測(cè)下一個(gè)障礙的出現(xiàn)地點(diǎn)。通過(guò)這些圖像，Sheffield和Miller展現(xiàn)了伊甸園模型在隨機(jī)二維曲面上的增長(zhǎng)模式。

第一張圖表現(xiàn)了在相當(dāng)平坦（隨機(jī)度低）的LQG曲面上，伊甸園模型逐漸增長(zhǎng)，形狀接近同心圓，顏色代表曲面的不同時(shí)間隨機(jī)增長(zhǎng)能接觸到的位置（見(jiàn)下圖）。

gamma為0.25 時(shí)隨機(jī)增長(zhǎng)模型的形狀示意 來(lái)源：Jason Miller

Sheffield和Miller在后續(xù)幾張圖片展現(xiàn)了越來(lái)越隨機(jī)的曲面增長(zhǎng)。生成曲面的函數(shù)的隨機(jī)度由常數(shù)gamma控制。當(dāng)gamma增長(zhǎng)，曲面的高峰低谷愈發(fā)明顯，曲面的隨機(jī)增長(zhǎng)同樣更加無(wú)規(guī)律。上一張圖的gamma為0.25，下圖的gamma為1.25，曲面構(gòu)建的隨機(jī)度是前者的5倍。高隨機(jī)性的曲面的伊甸模型同樣是扭曲的。

gamma為1.25時(shí)隨機(jī)增長(zhǎng)模型的形狀示意 來(lái)源：Jason Miller

當(dāng)gamma為8/3（三分之八）的平方根（大約1.63），LQG曲面波動(dòng)得更加劇烈，呈現(xiàn)了和布朗地圖相匹配的粗度，因此可以直接比較兩模型的隨機(jī)集合曲面。

gamma為8/3（三分之八）的平方根時(shí)隨機(jī)增長(zhǎng)模型的形狀示意 來(lái)源：Jason Miller

這樣粗度的曲面的隨機(jī)增長(zhǎng)非常不規(guī)律，試圖用數(shù)學(xué)方法描述他就好像試圖預(yù)測(cè)颶風(fēng)中微小的氣壓波動(dòng)，是不現(xiàn)實(shí)的。Sheffield指出：“很難給出隨機(jī)增長(zhǎng)的精確數(shù)學(xué)表述，這需要一些驚人的巧妙方法。他們意識(shí)到，他們需要在隨機(jī)度很高的LQG曲面上模擬伊甸園增長(zhǎng)，建立一個(gè)與高隨機(jī)度布朗地圖相等的距離結(jié)構(gòu)（distance structure）。

他們最終引入了一個(gè)巧妙的數(shù)學(xué)工具解決了這個(gè)問(wèn)題。

隨機(jī)探索

Sheffield和Miller的巧妙方法利用了一種特殊的一維隨機(jī)曲線，它很像隨機(jī)游走，唯一區(qū)別就是它不與歷史路徑交叉。物理學(xué)家在很長(zhǎng)一段時(shí)間都面對(duì)著這種曲線，比如正旋或反旋的粒子群的邊界（具有一維路徑而且形狀隨機(jī)不交叉）。就像Robert Brown在自然界觀察到隨機(jī)交叉路徑一樣，他們?cè)谧匀唤绨l(fā)現(xiàn)了這種隨機(jī)、不交叉的路徑，但是他們無(wú)法以嚴(yán)格的方式研究這種路徑。1999年，那時(shí)還在微軟研究院的Oded Schramm證明了SLE曲線（Schramm-Loewner evolution）作為非交叉隨機(jī)曲線的一個(gè)權(quán)威標(biāo)準(zhǔn)。

圖：SLE曲線的一個(gè)案例  來(lái)源：Jason Miller

Schramm對(duì)SLE曲線的研究是隨機(jī)物體研究中的里程碑。普遍認(rèn)為，如果Schramm提前幾周發(fā)表研究，他就能獲得菲爾茲獎(jiǎng)。然而，Schramm在2008年徒步旅行中意外喪生，Wendelin Werner（2006年）和Stanislav Smirnov（2010年）卻先后在他的研究基礎(chǔ)上獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。更重要的是，SLE曲線可以證明許多隨機(jī)物體的其他特性。

注：菲爾茲獎(jiǎng)只頒給年齡不超過(guò)40歲的數(shù)學(xué)家。

Sheffield是Schramm的朋友和合作者：“Schramm的發(fā)現(xiàn)讓很多物理學(xué)中確信可以用物理的方式證明的東西，終于能在數(shù)學(xué)層面進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證?！?/p>

在證明LQG和布朗地圖等價(jià)這一問(wèn)題中，Sheffield和Miller就以一種意想不到的方式繼續(xù)發(fā)掘了SLE曲線的價(jià)值。為了證明LQG曲面和布朗地圖是等價(jià)的，需要衡量LQG曲面上的距離，然后由此證明LQG曲面和布朗地圖是等價(jià)的。他們得想辦法在隨機(jī)曲面上模擬隨機(jī)增長(zhǎng)。SLE就是他們想到的辦法。

gamma控制LQG曲面的粗糙程度，SLE曲線中也有一個(gè)起到類似作用的常數(shù)kappa，它則控制SLE曲線的“擾動(dòng)”。當(dāng)kappa較低時(shí)，SLE曲線看起來(lái)就像直線；kappa增長(zhǎng)，意味著在不能交叉的條件下，曲線變得更加不規(guī)則。下圖為kappa為0.5的SLE曲線和kappa為3的SLE曲線。

kappa為0.5的SLE曲線 來(lái)源：Scott Sheffield

Sheffield和Miller注意到，如果kappa設(shè)為6且gamma設(shè)為8/3的平方根，隨機(jī)曲面上的SLE曲線遵循一種探索歷程?；赟chramm和Smirnov的研究，Sheffield和Miller發(fā)現(xiàn)，當(dāng)kappa為6時(shí)，SLE曲線遵循一種仿佛“盲目的探險(xiǎn)家”的軌跡，她會(huì)構(gòu)建走過(guò)的路徑。如果發(fā)現(xiàn)碰到了走過(guò)的路徑，她就換一個(gè)方向，避免路徑交叉或死胡同；其他時(shí)候則隨機(jī)走動(dòng)。

kappa為3的SLE曲線 來(lái)源：Scott Sheffield

Sheffield說(shuō)：“‘探險(xiǎn)家’每次碰上走過(guò)的路徑，都會(huì)切斷一部分被路徑完全包圍的區(qū)域?！?/p>

Sheffield和Miller研究了伊甸園模型（類似細(xì)菌生長(zhǎng)），二者在隨機(jī)曲面上存在類似的效果：通過(guò)“切斷”一部分未勘探區(qū)域來(lái)增長(zhǎng)。在菌落模型和探險(xiǎn)者模型中，切斷的區(qū)域看起來(lái)一模一樣。而且，無(wú)論什么時(shí)候，探險(xiǎn)者模型和菌落模型的隨機(jī)曲面的未勘探區(qū)域信息都是等同的，這也就由此證明這這條分割了區(qū)域的曲線長(zhǎng)度就是從某點(diǎn)到另一點(diǎn)的"距離"。

在2013年發(fā)表的一篇文章中，Sheffield和Miller假設(shè)，如果一個(gè)失明的人（隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的人）可以神奇的被隨機(jī)送到一個(gè)在她曾經(jīng)到達(dá)的區(qū)域邊界上的一個(gè)新的點(diǎn)，每隔一段時(shí)間觀察后，再做一次這樣的操作，看看會(huì)發(fā)生什么。

隨著她在邊界點(diǎn)上移動(dòng)，她從所有邊界點(diǎn)出發(fā)的路徑都會(huì)不斷地效增多。如果給出足夠的時(shí)間讓她去探索，形成的路徑就會(huì)類似于伊甸模型，即隨機(jī)增長(zhǎng)模型。如此，SLE模型的這種特殊形式就能妙得描述隨機(jī)增長(zhǎng)過(guò)程。Sheffield表示：“SLE曲線和隨機(jī)增長(zhǎng)之間的關(guān)系很特殊，在那一瞬間，所有問(wèn)題都能被解釋了。”

通過(guò)使用隨機(jī)增長(zhǎng)模型來(lái)在LQG曲面上定義的這個(gè)距離結(jié)構(gòu)，最終被證明與布朗地圖中的距離所一致。最終，Sheffield和Miller將數(shù)學(xué)與物理領(lǐng)域描述二維曲面的模型融合為一個(gè)統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)概念上被完整理解的基本對(duì)象，實(shí)現(xiàn)了理論統(tǒng)一。

利用隨機(jī)性

Sheffield和Miller已經(jīng)在發(fā)表了證明LQG曲面和布朗地圖等價(jià)性的前兩篇論文；他們已經(jīng)于16年八月發(fā)表表系列的第三篇，討論不同隨機(jī)形狀（隨機(jī)不交叉曲線，隨機(jī)增長(zhǎng)，隨機(jī)二維曲面）和過(guò)程間的相似和關(guān)聯(lián)處，表現(xiàn)了隨機(jī)幾何學(xué)研究中越來(lái)越高的復(fù)雜性。

Sheffield形容說(shuō)：“就好像身處有三座不同洞穴的山里。一座是鐵的，一座是金的，一座是銅的。突然，你發(fā)現(xiàn)了一條聯(lián)通三個(gè)洞穴的小路，然后三條路就變成了一條路?！?/p>

還有很多開(kāi)放性問(wèn)題沒(méi)有得到解答，比如，較這篇論文精細(xì)的LQG曲面中，SLE曲線、隨機(jī)增長(zhǎng)模型和距離測(cè)量之間的關(guān)系是否依舊成立。從實(shí)踐方面看，Sheffield和Miller的發(fā)現(xiàn)可以用來(lái)描述真實(shí)現(xiàn)象的隨機(jī)增長(zhǎng)，比如洞穴中的雪花、礦物的形狀和神經(jīng)元的樹(shù)突，但只限于隨機(jī)曲面條件下。我們?nèi)匀徊恢?，他們的方法是否可以?yīng)用在普通歐幾里德平面上，也就是我們的現(xiàn)實(shí)空間。

本文來(lái)自公眾號(hào)：集智俱樂(lè)部（ID：swarma_org），作者： Kevin Hartnett，翻譯：Elena，審校：陳曦、Vera zoo，編輯：王怡藺

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