圖解解題方法

圖解典型難題

7.1 逆用冪的運算法則

圖解思路

規(guī)范解答

解后反思

處理類似的問題，關鍵是熟練掌握逆用冪的運算法則，首先要牢固理解并記憶冪的幾種站算法則，即同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘法法則，在此基礎上理解逆以上法則的條件:即指數(shù)相加可以運算為同底數(shù)冪相乘(a^m＋n＝a^m·aⁿ)、指數(shù)相減可以運算為同底數(shù)冪相除(a^m－n＝a^m÷aⁿ)、指數(shù)相乘可以運算為冪的乘方[a^mn＝(a^m)ⁿ＝(aⁿ)^m]、指數(shù)相同的冪的乘法可以運算為積的冪a^m·b^m＝ (a·b) ^m.

觸類旁通

1.已知(x^m－1)²＝x¹²，則m＝ ；已知x^m＝a，xⁿ＝b，則x^m＋n＝ .

2.已知3^a＝5，9^b＝10，求3^a＋2b.

3.比較2⁵⁵、3⁴⁴、4³³的大小.

7.2 乘法公式

圖解思路

規(guī)范解答

原式＝x＋(5y－9)][x－(5y－9)]

＝x²－(5y－9)²

＝x²－(25y²＋81－90y)

＝x²－25y²－81＋90y.

解后反思

對于多項式乘以多項式，我們可以利用法則，一項一項地乘開，這是基本的辦法，

但是對于一些復雜的乘法，我們可以考慮利用乘法公式進行簡便計算，常用的乘法公式有兩個，一是完全平方公式，即(a±b)²＝a²±2ab＋b²:

二是平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a²－b²，用好這兩個公式的關鍵是準確判斷出誰是第一個字母a，誰是第二個字母b，兩項乘以兩項如此，三項乘以三項也如此.本題就是三項乘以三項，怎樣確定誰是a，誰是b?

很簡單，符號相同的是a，符號相反的是b.接下來，我們只要運用添括號法則進行分別即可.

圖解思路

規(guī)范解答

原式＝(2－1)(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2²－1) (2²＋1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2⁴－1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2³²－1) (2³²＋1)＋1

＝2⁶⁴＋1－1

＝2⁶⁴.

解后反思

對于這樣的題，我們肯定不能逐一運算，簡便方法是什么呢?

還是乘法公式從結構上看，是多個乘積加上1，所以關鍵是前面的乘積如何站算，觀察乘積的特點，

發(fā)現(xiàn)2的次數(shù)都是前一個的2倍，符合平方的特點，但一定不是完全平方基于這種考慮，

我們可以考慮用平方差公式但是并沒有出現(xiàn)(a＋b)(a－b)的形式，怎么辦呢?

我們可以添上去:給原來的乘積乘以(2－1).乘以(2－1)并不改變原式的大小，而且構造出平方差的結構.

圖解思路

規(guī)范解答

解后反思

這樣的問題是完全平方公式的典型例題，這類問題的最大特點是完全平方式當中的2ab這一項是常數(shù)，

我們就可以利用這個特點把原來的式子加以平方從面把次數(shù)變成原來的2倍，從而計算出想要的結果.

觸類旁通

7.3分解因式

圖解思路

規(guī)范解答

原式＝(x²＋x)²＋3(x²＋x)＋2－12

＝(x²＋x)²＋3(x²＋x) －10

＝(x²＋x＋5) (x²＋x－2)

＝(x²＋x＋5)(x＋2)(x－1).

解后反思

運用整體思想是分解因式過程中常用的一種重要思想方法，

所以，對一些看似比較復雜的多項式進行變形時，要注意觀察是否存在相同的多項式.如果直接展開比較煩瑣，這時就可以運用整體思想了，

類似的問題比如:用平方差公式直接分解(2x＋1)²－(x－1)²，用提公因式法(a－2b)(3a－b)－(a－2b)(a＋b)，用完全平方公式分解(a＋1)²－2(a＋1)＋1，等.

對于這樣的問題，還需要注意的是，后續(xù)繼續(xù)進行分解，要做到分解徹底，確保結果的每一個因式都不能再分解.

觸類旁通

1.分解因式：(a²＋a) (a²＋a－1)－2.

2.分解因式：x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋1.

3.分解因式：(x＋2y)²－4(x－y)².

7.4配方法

圖解思路

規(guī)范解答

原方程可化為(x²＋4x＋4－4)＋(y²－6y＋9－9)＋13＝0

所以(x＋2)²＋(y－3)²＝0

由非負性可知x＋2＝0，y－3＝0

所以x＝－2，y＝3.

所以x^y＝(－2)³＝－8.

解后反思

因為a²±2ab＋b²＝(a±b)²，所以習慣上，我們把二次三項式a²±2ab＋b²稱為完全平方式.

這個二次三項式的構成條件是有兩個數(shù)（或式）的平方和，即a²＋b²，還有一項是這兩個數(shù)(或式)乘積的2倍，符合這樣的條件，我們就可以把它寫成完全平方的形式了，

這樣變形的好處在于我們可以利用完全平方的非負性進行接下來的分析，因此，構造完全平方式即配方法就非常重要.

參考書：《圖解名校初中數(shù)學壓軸題》，彭林[著]，上海社會科學院出版社。