在婆羅摩笈多之后，印度數(shù)學(xué)終于迎來(lái)了一個(gè)大牛，他是古印度歷史上最重要的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家--婆什迦羅。

婆什迦羅出生在一個(gè)婆羅門(mén)教家庭，當(dāng)然也屬于婆羅門(mén)種姓。他的出生地在今天的邁索爾邦的比德?tīng)?，后?lái)長(zhǎng)期在烏賈因的天文臺(tái)工作。因?yàn)樗拿趾?世紀(jì)時(shí)候的另一個(gè)婆什迦羅同名，所以一般把這個(gè)婆什迦羅稱為婆什迦羅第二，如果沒(méi)有加第二的話，一般意義上都是指這第二個(gè)婆什迦羅。婆什迦羅留下的著作有很多，其中包括《莉拉沃蒂》、《算術(shù)本源》和《天文系統(tǒng)之冠》的一部分。

莉拉沃蒂

《莉拉沃蒂》的意思是"美麗"，傳說(shuō)這是婆什迦羅的女兒的名字。當(dāng)初有個(gè)預(yù)言家說(shuō)她終生不能結(jié)婚，婆什迦羅本身也是個(gè)占星家，于是他也預(yù)卜了一下自己女兒的良辰。他把一只杯子放在水中，杯底有一個(gè)小孔，水從小孔中慢慢進(jìn)入杯中，杯子一旦沉沒(méi)，就是他女兒的良辰吉日。他的女兒可能是著急了，跑去看杯子什么時(shí)候能夠沉下去，沒(méi)想到一顆珠子從首飾上滑落了下來(lái)，掉到杯子里去了，正好堵住了小孔，水不再進(jìn)入杯中，杯子就無(wú)法下沉了。于是"莉拉沃蒂"命中注定的永不能出嫁了。婆什迦羅為了安慰女兒，就以她的名字來(lái)命名了這本書(shū)，說(shuō)：你的名字將會(huì)同這本書(shū)一起流芳百世。在《莉拉沃蒂》中，婆什迦羅主要闡述了一些名字術(shù)語(yǔ)的定義、算術(shù)運(yùn)算法則、有關(guān)利率的應(yīng)用問(wèn)題、算術(shù)和幾何數(shù)列問(wèn)題、平面及立體幾何學(xué)、代數(shù)問(wèn)題、組合問(wèn)題。在《莉拉沃蒂》中，婆什迦羅用詩(shī)歌的形式講述了許多數(shù)學(xué)題目，比如"蓮花問(wèn)題"。平平池水清可鑒，面上半尺生紅蓮，出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊?；ㄓ|水面半浸沒(méi)，偏離原位二尺遠(yuǎn)，能算諸君請(qǐng)解題，池水如何知深淺？這其實(shí)是一個(gè)勾股定理的問(wèn)題，有興趣的可以算一下。

婆什迦羅在《算術(shù)本源》中主要闡述了代數(shù)的一些問(wèn)題，比如正數(shù)和負(fù)數(shù)、零、未知數(shù)、根式、粉碎法（庫(kù)塔卡）、二次不定方程、簡(jiǎn)單方程、二次方程、多元方程、多元二次方程以及關(guān)于未知數(shù)乘積的運(yùn)算等內(nèi)容。在書(shū)中，婆什迦羅對(duì)于零做了專門(mén)的討論，其中有創(chuàng)新，也有錯(cuò)誤。比如婆什迦羅把0×a=a×0分開(kāi)來(lái)描述，盡管兩者結(jié)果相同，但是意義是不一樣的。其實(shí)這里已經(jīng)含有了無(wú)窮小的思想：

這兩個(gè)式子的含義并不一樣。另外，婆什迦羅還使用了式子(a/0)×0=a，這個(gè)式子是不爭(zhēng)取的，但是他的本來(lái)想法可能是這樣的：

在"庫(kù)塔卡"運(yùn)算方法的闡述中，婆什迦羅改進(jìn)了婆羅摩笈多的解法，并將其命名為"循環(huán)過(guò)程"。

婆什迦羅的微分思想體現(xiàn)在他的《天球》一書(shū)中，《天球》是《天文系統(tǒng)之冠》的一部分。在該書(shū)中，婆什迦羅為了算出球的體積和表面積，明確提出了將球分割成細(xì)小部分的方法。在婆什迦羅之前，阿耶波多給出的球體積公式是V=πr^2根號(hào)πr^2，這其實(shí)是不對(duì)的。馬哈維拉的公式也非常粗糙。婆什迦羅在《莉拉沃蒂》中寫(xiě)道：圓面積=周長(zhǎng)·d/4=πr^2，球的表面積S=4πr^2，球體積V=4πr^3/3。婆什迦羅在《天球》一書(shū)對(duì)這些公式給出了推導(dǎo)過(guò)程。他使用的推導(dǎo)方式就是用許多平行的圓將球表面分割成圓環(huán)，然后再將這些圓圈的面積累加起來(lái)。婆什迦羅的時(shí)代，還沒(méi)有嚴(yán)格的極限概念，所以他只是在運(yùn)用的過(guò)程中，觀察到了一些事物的本質(zhì)，從而掌握了其中的真理。

婆什迦羅掌握的數(shù)學(xué)是相當(dāng)全面的，他代表了當(dāng)時(shí)印度數(shù)學(xué)的最高水平。他會(huì)熟練運(yùn)用三角公式；他還比較系統(tǒng)地討論了負(fù)數(shù)的概念，正確敘述了負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則；他還廣泛地應(yīng)用無(wú)理數(shù)。

印度人對(duì)婆什迦羅給予了極高的評(píng)價(jià)，在巴特那有一塊石碑，上面刻著"勝利屬于杰出的婆什迦羅，他受到智者的尊敬……"。另外，在印度數(shù)學(xué)中可以體現(xiàn)出印度人都有著非常強(qiáng)的直覺(jué)能力，十分善于用猜測(cè)的方法去尋找答案，比如印度現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家拉瑪努金就是其中的佼佼者。