本文字數(shù)約

6200字

閱讀時間約

6分鐘

數(shù)學教育的本質(zhì)是什么？追求是什么？樂趣是什么？我們要教給學生什么樣的數(shù)學？學生學習數(shù)學的目的是什么？為什么有的教師的數(shù)學課那么苦澀、無味？為什么有的人把數(shù)學學習作為自己人生最失敗的經(jīng)歷？……

這些問題也許正在困擾著你，不妨看看北京市海淀區(qū)教師進修學校數(shù)學教研員、特級教師張鶴的觀點。他不僅是一位數(shù)學教育的實踐者，也是一位深入的思考者和研究者。

▲張鶴（海淀區(qū)教師進修學校數(shù)學教研員，特級教師，海淀區(qū)名師工作站導師組數(shù)學組組長）

2015年的暑假，我在南京參加一個教育部組織的學術(shù)會議。這個會議不僅邀請了、大學教授、中學教師、教研員，還請了學生家長，共同探討八年級數(shù)學的教學及評價問題。在一次分組討論的時候，一個家長代表、顯得很干練的女士的發(fā)言引起了我的關(guān)注：這位家長說，她自己在上學的時候，數(shù)學學的非常好，但是她感覺現(xiàn)在自己孩子學的數(shù)學知識太多，她對此有點困惑。她說我學的數(shù)學再好，工作上也沒用上什么呀？為什么要學習這么多的數(shù)學呢？

為什么學數(shù)學？數(shù)學學習的價值是什么呢？這個問題看似簡單，但不是所有人都能說清楚的。

聽完這位家長的發(fā)言，我問道：您是做什么工作的呢？為什么說數(shù)學對您的工作沒有起到作用呢？她告訴我，她是一名法官，中學的數(shù)學知識都沒用上。我笑著說，中學學到的知識在您的工作中的確沒有用上，如三角形內(nèi)角和定理，勾股定理等，還有在學平面幾何證明了那么多的題目，這些知識也許都忘記了，也的確不會影響您的工作。但是，您作為一名法官，一定是具有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，這種思維能力又是從哪里得到的呢？這不正是由于你數(shù)學學得好的結(jié)果嗎？這位女法官被我的一習話點通了，不得不承認我說的有道理?？梢钥闯觯?strong>數(shù)學這門學科對人的影響是潛移默化的。有的時候讓人都沒有察覺。

還是在2015年的秋季，我到一所學校參加這里的數(shù)學教師的教研活動，在活動的最后階段，這所學校的一位女副校長做總結(jié)，她的發(fā)言條理性非常強。我因為和她比較熟悉，知道她是外語教師出身，輪到我點評這次活動的時候，我就開玩笑地說，剛才您的總結(jié)邏輯性這么強，可真不像英語老師呀。她笑著回答我說，她上學的時候是數(shù)學科代表，還參加過數(shù)學競賽得過獎呢！

這位副校長把自己較強的邏輯思維能力很自然地歸功于當初的數(shù)學學習，不能不說數(shù)學對一個人思維的影響是多么的長遠。

我們的學生是不是也能夠認識到數(shù)學學習的價值呢？

有一次，我去一所學校給新高一的學生上一節(jié)數(shù)學方法的指導課，我在上課前就向全體學生提出了一個問題：我們?yōu)槭裁匆獙W習數(shù)學呢？一個男同學的發(fā)言給我留下了深刻的印象，他非常干脆地說:學數(shù)學的目的是為了培養(yǎng)我們的邏輯思維能力。這個回答太完美了!

可以說，在中學，學習數(shù)學的最大價值，在于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。數(shù)學知識僅僅是數(shù)學學習的載體，我們的學生要通過知識的學習，最終得到的是邏輯思維水平的提高。

不知大家有沒有看過這個故事：

我們都知道袁隆平院士、雜交水稻之父。

他在一次電視訪談節(jié)目中，談到了他學習數(shù)學的一段往事:他開玩笑似的和女主持人說：他最后悔的一件事就是小時候數(shù)學沒有學好!這怎么可能呢？女主持人詫異地問：“像你這么著名的科學家，數(shù)學怎么會學不好？”

其實袁隆平院士是通過他小時候?qū)W數(shù)學的經(jīng)歷，在講一個道理。

原來他在上初中的時候，有一次上課學“正負數(shù)運算”，他的數(shù)學老師講“負乘負得正”。他想不明白為什么。他說正數(shù)乘正數(shù)得正數(shù)，好理解，為什么負數(shù)乘負數(shù)也得正數(shù)呢？

他就去問數(shù)學老師，但是他的數(shù)學老師也沒有把“負負得正”講明白，讓他記住會做題就行了。袁隆平院士說，從此他對數(shù)學就不感興趣了，數(shù)學也就沒有學好了。

其實故事聽到這里，我們是不是也就知道了，袁隆平院士后來為什么在水稻種植上做出了那么大的成就了吧？他從小就非常喜歡獨立思考問題，喜歡愛刨根問底，不輕易接受一個結(jié)論，這是一個學生學習知識時最寶貴的素質(zhì)。

這個故事也從另外一個側(cè)面告訴我們:任何學生都是不喜歡死記硬背結(jié)論的，他們都是有強烈的求知欲的，這種對數(shù)學知識背后的道理的追問，正是孩子喜歡學習這門學科的最大的動力。

作為老師的我們，就要在課堂上，給學生參與思維活動的機會，讓學生在解決數(shù)學問題的思維活動中學習數(shù)學；同樣，作為家長，不要把每次的考試分數(shù)看得太重，而是應該關(guān)注您的孩子是不是對思考數(shù)學問題有興趣。比如：您的孩子在學數(shù)學時，你可以觀察他，看看他自己能不能提出一些問題，有沒有想不明白的問題。您也可以嘗試用您對數(shù)學知識的理解，用淺顯易懂的方式和您的孩子去交流。

比如：如何解釋“負負得正”呢？如果是您的孩子問您，您如何回答呢？

北京航空大學的李尚志教授在一次講座中，他是這樣來解釋的：“一個人站在你面前，如果面對你為正，向后轉(zhuǎn)為負，從面對你開始連續(xù)后轉(zhuǎn)兩次，就又面對你了”。李教授就用這樣一個形象的比喻，把負負得正解釋清楚了。

想當年如果袁隆平院士能夠聽到這樣的解釋，也許他會喜歡上數(shù)學，沒準一不留神，會成為一名在數(shù)學領(lǐng)域有成就的數(shù)學家呢。我們在和自己的孩子交流的時候，也經(jīng)?？梢韵蛩岢鲆恍﹩栴}，看看他是不是對所學的知識有深入的思考。

比如您可以問問，為什么5 7=12呢？如果您的孩子解釋不出來，沒關(guān)系，讓他把這個問題留下來，好好思考，也可以去翻翻書。實際上道理很簡單，要解釋5 7=12，首先要解釋5和7是什么？他們之間是什么關(guān)系？5和7都是自然數(shù)，它們的存在是由于1是單位量，5是5個1，7是7個1，由于有共同的單位量，它們就可以運算了。所以5 7是12個1，所以才有5 7=12。

我們常說一生二、二生三，進而生成事物的全部，或者說生成萬物，那么一就是事物的起點和事物演變的起點；同樣數(shù)學也反映了這個基本規(guī)律，這種規(guī)律實際上就是我們所說的公理化思想的體現(xiàn)。我們的孩子在學習數(shù)學的時候，如果能夠?qū)W會提出問題、能獨立思考數(shù)學問題，他也就會覺得，學習數(shù)學是挺有意思的一件事情了。

那么，如何學好數(shù)學呢？

要學好數(shù)學，首先要做到：“想明白、說清楚”。

什么叫想明白呢？袁隆平院士不就是對“負負得正”想不明白，才不喜歡學習數(shù)學的嗎？想明白，就是指動腦筋，要思考。如果一個學生在做數(shù)學題的時候，連題目說的是什么都不清楚，就匆匆忙忙去做題，怎么可能把問題解決出來呢？

說清楚，就是要能夠用自己的語言把自己對數(shù)學問題的理解表達出來，這種表達是對學生數(shù)學思維的最好的訓練。只有想明白的學生，才能夠說清楚，說不清楚的，一定是還沒有想明白。

我們的孩子在解決問題之前是不是真正地看懂了問題呢？作為家長，其實可以讓孩子給你講一講。

把剛學過的數(shù)學定理或數(shù)學公式的含義、推導方法講給你；把他剛學過的數(shù)學概念說一說……

您把自己放在一個學生的位置，讓您的孩子教教您。

你在聽的過程中就可以通過他是否“說清楚”了來評價他是否“想明白”了。

我兒子是2008年參加高考的，在高考前的最后階段，我問他數(shù)學復習還有沒有問題？他告訴我，解析幾何的綜合題還沒有太大的把握。我就和他約定，每天放學后到我的辦公室， 一起來討論問題。每次他來我的辦公室，我都是給他準備一道解析幾何的綜合題，讓他先做，然后讓他給我講他的思路，如果我聽明白了，就過了；如果他講不清楚，甚至做不出來，我們就一起分析、討論，直至做出這個題目。在這個過程中，我始終沒有直接告訴他解決問題的方法，而是啟發(fā)他自己找到方法。經(jīng)過這樣近一個月的討論，就到了高考的日子了。2008年北京卷數(shù)學理科的19題，也就是解析幾何的那道綜合題，他做得很順利，出了考場兒子告訴我，只花了10分鐘就做完了，而且自信一定做對了。

作為家長，要能夠幫助我們的孩子想明白，說清楚。讓我們的孩子都喜歡思考問題，都喜歡研究問題，那么，他們就一定能夠從數(shù)學的學習中享受到思維的快樂。

這里還有一個問題需要澄清：做題越多，數(shù)學的能力越強嗎？

我們經(jīng)常會看到這樣的情景：每當數(shù)學考試成績不太理想的時候，家長就常常怪自己的孩子做數(shù)學題目太少，似乎做題目的數(shù)量多少和解題的能力的強弱有著直接的關(guān)系。

我曾經(jīng)問過學生，解題方法是多好還是少好？很多學生認為：解題越多，見的套路就越多，方法也就越多，這樣解題的能力就越會強了。

正是由于很多的學生包括家長是這樣理解的，為了學好數(shù)學，很多學生花了大量的時間在做數(shù)學題，希望能夠以此來提高數(shù)學成績。

這種認識和做法，有點像競技體育的運動員的訓練。2017年世界兵乓球錦標賽上，中國隊再次取得了優(yōu)異的成績。在比賽轉(zhuǎn)播時，評論席上的評論員在談到運動員的訓練時說，為了取得好成績，兵乓球遠動員每天都要進行大運動量的訓練，對手打過來的球如果思考對策后再打回過去就來不及了，要訓練到憑感覺把球打回去。這是競技體育的特點，大運動量、高強度的訓練的確可以提高比賽成績。

但數(shù)學學習不是這樣的，學數(shù)學是要學會數(shù)學的思維方法，而思維是離不開人的思維活動的。盲目做題、套用方法做題，都不是好的學習數(shù)學的方法，因為這樣的學習，看似很勤奮，但是沒有思維的投入，就是沒有學到點上。

題目的確要多做，但是要清楚，通過做數(shù)學題目，要學會理解數(shù)學問題；找到解決數(shù)學問題的一般方法。當你做了10道、20道題目之后，就要想一想，這些問題的解決，有沒有共同的方法？只要找到了解決數(shù)學問題的一般方法，再做題目，就是要驗證這個方法，是不是還能用？

數(shù)學問題的形式可以是多種多樣的，但是研究數(shù)學對象的性質(zhì)的方法是一致的，從這個意義來說，解決數(shù)學問題的方法是越少越好。

作為家長，我們不能僅滿足于孩子做了很多的數(shù)學題，而是更應該關(guān)注，您的孩子通過做數(shù)學題，是否找到了解決數(shù)學問題的一般方法。

在教學中，我追求的是課堂上高質(zhì)量的數(shù)學思維活動。我相信，在一個比較寬松的、思維交流比較充分的教學氛圍下，是能夠讓學生更加喜歡數(shù)學，特別是能夠自覺地學習數(shù)學。我不欣賞那種給學生布置大量作業(yè)的做法，靠加重學生的學習負擔提高成績哪怕是暫時是有效的，我也不會屈從。

記得在一線教學的日子里，有那么一段時間，我對自己的教學工作突然產(chǎn)生了一種無奈的情緒，甚至對自己的教學能力產(chǎn)生了懷疑，自己一直堅守的數(shù)學教學理念發(fā)生了動搖。

在某個學年高三的下半學期，我教的一個學生要回到外地去參加高考，臨行前主動約我談話。這是一個普普通通的女孩，她給我印象最深的話是：她聽了我三年的數(shù)學課，感覺我都是在教給她一種思考問題的方法。也許這個女孩并不會意識到，她的分享給當時作為教師的我是多么大的支持，讓我又堅定了我的教學理念和信心。

作為數(shù)學教育的工作者，我們要清醒地認識到數(shù)學教育的本質(zhì)。數(shù)學知識本身非常重要，但數(shù)學知識所承載的思維方法更重要，研究數(shù)學問題所需要的科學精神更有價值。數(shù)學教育一定要最接近數(shù)學教育的本質(zhì)，而要如此，只有是思維！讓學生真正從內(nèi)心喜歡思考、學會思考，學生的思維具有邏輯性才是我們數(shù)學教師的價值所在，才是數(shù)學教育的本質(zhì)。

作為數(shù)學教師，我的追求非常簡單，就是上好每一節(jié)課。我每天晚上都要花上一到兩個小時以上的時間認真?zhèn)湔n，工工整整地寫出第二天的教案。盡管上課的時候，這份教案我并不怎么看，但它擺在講臺上，就代表了我對工作的那份責任心，表明我對這節(jié)課想明白了。

多年的教學實踐讓我深深懂得：要上好一節(jié)課，是需要下很大的功夫的。需要教師長期的教學實踐和教學研究的積累，要對所教學科的每一門課程的思維特點，整體的知識脈絡(luò)、結(jié)構(gòu)有自己的思考和理解。這是我結(jié)合自己對數(shù)學的理解畫出的知識結(jié)構(gòu)圖或叫做核心思維結(jié)構(gòu)圖，在我做兼職教研員的時候，我就開始畫，和老師們分享。做了教研員，我和教師們一起研討，不斷更新結(jié)構(gòu)圖，指導教學。

作為教師，既要能以學生的角度去認識、理解所教授的知識，感受學生可能遇到的問題，又要能站在比較高的角度認識、理解教材，挖掘出教學內(nèi)容真正的教育意義。

教學中，要和學生分享的是：你是怎樣學習的，你是怎樣提出問題、思考問題、解決問題的，也就是你是怎樣做學問的。當把數(shù)學教學放到一個學術(shù)的高度去看待的時候，我們教給學生的數(shù)學就能夠更接近其本質(zhì)，學生才能從你的數(shù)學教育中受益。

經(jīng)過長期的解題教學的實踐和研究，我有幾個基本的觀點和老師們分享：

解題教學要關(guān)注思維的共性。我認為解題教學的目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。學生的解題能力的提高不是通過解題的數(shù)量的多少能夠決定的，而在于通過解題的思維活動去不斷地概括思維的方法，將思維的共性的東西內(nèi)化到自己的思維模式中。

解題教學要跳出“講題”模式。解題教學中經(jīng)?？吹降氖墙處煂⒔虒W的重點放在講具體的解法上，更多的是強調(diào)解題的規(guī)范性，關(guān)注的是學生的思維與教師自己的思維是否一致，是否與標準解答過程的一致性。而忽略題目背景的呈現(xiàn)，缺乏的是對題意深入的理解和分析，沒有對解決問題思維方法的選擇、判斷，淡化對學生的非標準答案式回答的合理性分析。我認為：在解題教學中要避免這種“講題”式的模式，就是要能夠講出解決問題的思維過程。

解題教學要滲透數(shù)學的觀點。學生在解題中陷入困境，往往是因為學生缺乏數(shù)學的觀點造成的。讓學生在解決數(shù)學問題的過程中，學會用數(shù)學的觀點理解數(shù)學問題，尋找解決問題的數(shù)學方法是解題教學中最為重要的任務。

解題教學僅僅是數(shù)學教育的一個方面，但如何理解解題教學，如何進行解題教學，卻能夠反映出一個數(shù)學教師的職業(yè)理想與追求。

數(shù)學教育的樂趣在于能夠帶給學生思維的挑戰(zhàn)，數(shù)學教育的魅力在于它的思維的創(chuàng)造性。數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學就是要讓學生在數(shù)學問題的解決過程中培養(yǎng)自己的數(shù)學思維能力，磨練自己的思維品質(zhì)。作為教師的教學工作，其樂趣也就在于此。只有讓自己的學生學會了思考問題，會運用邏輯關(guān)系事物做出獨立的判斷，在數(shù)學的學習過程中領(lǐng)悟到了數(shù)學的本質(zhì)、學生才能夠從數(shù)學的學習中感受到思維的快樂，作為教師的我們也才能夠真正享受作為數(shù)學教師的幸福。

2011年的秋天，我在北航附中聽了一節(jié)初一的數(shù)學課，很受啟發(fā)。這節(jié)課的課題是“化簡求值”，全班同學在一位李玉娟老師的帶領(lǐng)下解決這樣一個問題：

這節(jié)課的教師的作用非常重要。如果這位教師不熟悉奇函數(shù)性質(zhì)的話，有可能會對這個男孩子的解法不理解而敷衍了事。如此，這節(jié)課的最有價值的素材就浪費掉了。李老師對他想表達的思路非常清楚。更難得可貴的是，她沒有越俎代庖，而是順著這位學生的思路，一點點的幫助他把思維梳理清楚，讓其他的學生能夠理解他的觀點。

從李老師的表情中，不難看出洋溢在她臉上的那種成就感和喜悅之情。的確，在我們分享這位李老師的喜悅的同時，我們是不是也能夠分享到這樣的一個道理：在教學中，引領(lǐng)學生進行數(shù)學的思維活動，揭示出數(shù)學知識的本質(zhì)會讓我們體驗到數(shù)學教育的樂趣。