有一種美，超凡脫俗，令人窒息！

小虎vs老朱 2019-05-08

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職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間

一、如此復(fù)雜，精細的圖形

首先請先欣賞下面這幅圖：

這幅圖給人的第一印象是非常精細，而且細心的朋友可能會發(fā)現(xiàn)，這幅圖的許多小部分放大后和整體非常相似。

比如我們把上圖畫框的部分放大，大家看：

再畫個小框放大！里面還是大有乾坤！

這種圖形的精細之處在于：無論你把哪個局部放大，無論你放大多少倍，你都會看到和整體類似的圖形。

大家可以想象一下，這個圖形到底有多復(fù)雜，多精細。而我要告訴大家的是，生成這個圖形背后的數(shù)學(xué)原理，非常簡單！同樣的數(shù)學(xué)原理，可以生成許許多多這樣的圖形(大量精美圖片放在文章第三節(jié)，讀者可先跳過欣賞)。

二，背后的數(shù)學(xué)原理

為了理解這些圖像背后的數(shù)學(xué)原理，我們需要三個關(guān)于復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識。

還記得這個方程嗎？初中數(shù)學(xué)老師告訴我們這個方程無解，因為不論是正數(shù)還是負數(shù)，它們的平方都大于零。

上了高中后，高中數(shù)學(xué)老師卻告訴我們這個方程有個虛數(shù)解，然后開始引入復(fù)數(shù)。

一，復(fù)數(shù)，指形如x yi的數(shù)，其中x,y是實數(shù)，而i是滿足 i2=-1的虛數(shù)。復(fù)數(shù)的加法非常簡單：(x yi) (u vi)=(x u) (y v)i。乘法稍稍有點復(fù)雜，但其實都是由公式i2=-1推導(dǎo)出來的。

比如

i·(2-i)=1 2i； i·(1 i)=-1 i；

(1 i)2=1 2i i2=2i

一般的復(fù)數(shù)乘法公式是:

(x yi)(u vi)=(xu-yv) (xv yu)i

二，復(fù)數(shù)z=x yi的模ⅠzⅠ是定義為：

兩個復(fù)數(shù)的乘積的模等于它們的模的乘積。

這個結(jié)論可以由復(fù)數(shù)乘法公式和下面公式直接得到：

還記得初中時學(xué)過的一個重要知識嗎：所有實數(shù)和數(shù)軸上的所有點一一對應(yīng)？其實復(fù)數(shù)也有類似的說法。

三，復(fù)數(shù)和坐標平面上的點一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)x yi對應(yīng)坐標為(x,y)的點。根據(jù)勾股定理，復(fù)數(shù)的模就是對應(yīng)的點到坐標原點的距離。

所以接下來我們會把復(fù)數(shù)看成平面上的點，平面上的點也會看成復(fù)數(shù)，重要的事情說三遍：

復(fù)數(shù)就是平面上的點！

復(fù)數(shù)就是平面上的點！

現(xiàn)在我們可以來講述精美圖形背后的數(shù)學(xué)原理了。首先，給定一個固定的二次多項式f(x)=x2 c，其中c是固定的復(fù)數(shù)。接下來，任意的一個復(fù)數(shù)z，代入到多項式f(x)中，都會得到一個新的復(fù)數(shù)f(z)=z2 c，再把這個新的復(fù)數(shù)再代入到多項式f(x)中，又會得到一個新的復(fù)數(shù)f(f(z))=(z2 c)2 c，