中國(guó)目前初中數(shù)學(xué)教育大綱基于以下這個(gè)情況，即絕大多數(shù)人現(xiàn)實(shí)生活中只會(huì)用到三年級(jí)以下的數(shù)學(xué)，因此難度下降很大，屬于普遍教育。而高中數(shù)學(xué)的難度并沒(méi)有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。

我曾經(jīng)遇到過(guò)本地區(qū)最好的公辦初中的一個(gè)學(xué)生，她在初中排在年級(jí)前20名（年級(jí)總共500多學(xué)生），但是進(jìn)入高中后感覺(jué)非常吃力，跟不上進(jìn)度。和她交流后我一句話概括，現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)要求太低，難度太低。

本系列專題講座的習(xí)題和例題都來(lái)自各年中考題以及重點(diǎn)高中的自招題，難度高于中考的平均程度，差不多是重點(diǎn)高中的自招難度。

系列里面許多解題方法和擴(kuò)展的知識(shí)對(duì)進(jìn)入高中后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是極其必要的補(bǔ)充。

系列的習(xí)題和例題都在不斷豐富和更新中。

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第九講 多邊形

一、知識(shí)框圖

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

1. 平行四邊形的定義可以應(yīng)用在兩個(gè)方面：一是由定義可知平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行(性質(zhì))；二是只要四邊形中有兩組對(duì)邊分別平行,那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形(判定)。

2.平行四邊形的性質(zhì):(1)邊:對(duì)邊平行且相等;(2)角:鄰角互補(bǔ)、對(duì)角相等;(3)對(duì)角線:互相平分。同時(shí)平行四邊形與三角形的穩(wěn)定性不同,平行四邊形具有不穩(wěn)定性。

3.平行四邊形的判定方法大致分為三類:(1)根據(jù)邊判斷;(2)根據(jù)角判斷;(3)根據(jù)對(duì)角線判斷,具體見知識(shí)框圖。

難點(diǎn)分析:

1.平行四邊形可以看作由三角形旋轉(zhuǎn)得到,以任意三角形的一邊中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,將三角形旋轉(zhuǎn)180°。所得的圖形與原三角形組成平行四邊形,由此特征可以得到平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)。

2.在證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí),如果已知一組對(duì)邊平行,可以證明這組對(duì)邊相等或另一組對(duì)邊平行,如果已知一組對(duì)邊相等,可以證明這組對(duì)邊平行或另一組對(duì)邊相等。

3.平行四邊形的一條對(duì)角線將平行四邊形分成的兩個(gè)三角形全等,兩條對(duì)角度相交將平行四邊形分成四個(gè)小三角形,其中兩對(duì)對(duì)頂三角形全等,這些全等三角形對(duì)研究平行四邊形中的邊角關(guān)系有很大作用。。

三、例題精選

例1如圖，在□ABCD中，DB=CD，∠C的度數(shù)比∠ABD的度數(shù)大60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則∠DAE的度數(shù)為______．

解答：

利用方程思想，設(shè)∠ABD=x，則∠C=60°+x，∠DBC=∠C=60°+x；

由平行四邊形鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)：x+2（60°+x）=180°；解得x=20°，

∠DBC=80°=∠BDA。

∠DAE=90°-80°=10°。

例2（2014·遵義）如圖，□ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，當(dāng)FG=1時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

解答：

（1）由SAA可證△DFO≌△BEO，因此BO=DO；

（2）等腰直角△DFG，DF=FG=1，DG=；

等腰直角△DFO中，F(xiàn)O=DF=1；EF=2；在等腰直角△AEG中，GE=3，AE=3；AG=3，

因此AD=AG-DG=2

用平行線的比例性質(zhì)就更直接。

例3、分別以□ABCD（∠CDA≠90°）的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如圖1，當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時(shí)，連接GF，EF．請(qǐng)判斷GF與EF的關(guān)系（只寫結(jié)論，不需證明）；

（2）如圖2，當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時(shí)，連接GF，EF，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由。

解答：設(shè)∠CDA是銳角，則∠DAB為鈍角

（1）設(shè)∠CDA=x，則∠DAB=180°-x；

則∠GDF=45°+45°+x=90°+x

而∠EAF=360°-∠DAB-∠DAF-∠BAE=90°+x=∠GDF；

由SAS可證△GDF≌△EAF，得GF=EF。且GF⊥EF

（2）同（1）的思路：

∠FDG=90°-x；

∠EAF=∠DAB-90°=90°-x

從而三角形全等；GF=EF且GF⊥EF。

平行四邊形的題目中，利用角度等量代換，最后證明兩個(gè)角相等的題目很多的。利用方程思想，設(shè)未知數(shù)，會(huì)使問(wèn)題更直接。

提醒：題目問(wèn)兩條線段的關(guān)系的，除了長(zhǎng)度相等以外，往往還有垂直或平行的位置關(guān)系，別忘記。

例4. 如圖，已知平行四邊形ABCD中，DE⊥BC于點(diǎn)E，DH⊥AB于點(diǎn)H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點(diǎn)F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．

（1）求線段CF的長(zhǎng)度；（2）求證：AB=DG+CE。

解答：

（1）由勾股定理DE=4，

角平分線加CD∥AB，△ADF是等腰三角形，AD=DF=DE=4，這是個(gè)模型。

CF=CD-DF=5-4=1

類似的思路可以證明△ADG≌△FDM。

（2）利用補(bǔ)短法。

延長(zhǎng) GD到N，使DN=EC；

由SAS可證兩個(gè)直角三角形△ADN≌△DEC；

∠NGA=∠EDC+∠DFG=∠NAD+∠DAG=∠NAG；

AN=GN=ND+DG=CE+DG=CD=AB

例5、如圖所示，在□ABCD中，AB＞BC，∠A與∠D的平分線交于點(diǎn)E，∠B與∠C的平分線交于 F點(diǎn)，連接EF．

（1）延長(zhǎng)DE交AB于M點(diǎn)，則圖中與線段EM一定相等的線段有哪幾條？說(shuō)明理由；（不再另外添加字母和輔助線）

（2）EF、BC與AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（3）如果將條件'AB＞BC'改為'AB＜BC'，其它條件不變，EF、BC與AB的關(guān)系又如何？請(qǐng)畫出圖形并證明你的結(jié)論．

解答：

（1）由平行線性質(zhì)，∠DMA=∠MDC=∠ADM，因此AD=AM，AE是角平分線，因此△DAE≌△MAE，因此DE=EM；

又∠FCB=∠DAE=∠DCB=∠DAB；

同理，∠ADE=∠CBF；AD=BC

由ASA得△DEA≌△BFC；因此BF=DE=EM；

EM=FB，且EM∥FB（同位角相等）

四邊形EFBM是平行四邊形。

（2）由（1）的證明分析可知：AB=AM+MB=AD+EF=BC+EF

（3）BC=AB+EF。直接把ABCD的順序依次下輪一個(gè)即可。

例6、如圖在△ABC中AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且AE=CF，求證EFBC。