正方形與動態(tài)問題(1)——中考備考系列[尖子生之路]

xyz3i 2019-04-14

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正方形與動態(tài)問題(1)

——中考備考系列

【試題1】如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．

（1）證明與推斷：

?、偾笞C：四邊形CEGF是正方形；

?、谕茢啵篈G/BE＝______；

（2）探究與證明：

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角(0°＜α＜45°)，如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）拓展與運用：

正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG＝6，GH＝2，則BC＝______．

【圖文解析】

（1）本小題屬基礎題，只做簡要解析

①由“三直角”得矩形+'鄰邊相等”(由角平分線的性質得GE＝GF)，可以證明四邊形CEGF是正方形.

②由EG∥AB可得CG/AG＝CE/BE，進一步，得AG/BE＝CG/CE＝√2.

（2）這是一個典型的“旋轉相似“的基本圖形（相當于共直角頂點的兩等腰直角三角形旋轉），因AC/BC＝CG/CE＝√2：1，且∠ACG＝∠BCE＝90⁰－∠ACE，可得△ACG∽△BCE，如圖示：

由相似三角形的性質，即可得到AG/BE＝AC/BC＝√2：1.

【拓展延伸】

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉任意角度，線段AG與BE之間的數(shù)量關系總保持：AG/BE＝√2：1.如下圖示（展示部分圖形）：

（3）原題展現(xiàn)：

正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG＝6，GH＝2√2，則BC＝______．

【圖文解析】

DF＝BE＝3√2

∠BFD＝∠BCD＝90⁰.

進一步，得到：

【拓展延伸】

正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG＝6， BC＝3√5，則GH＝______．

答案：GH＝2√2.

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【試題2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12．點D在直線CB上，以CA，CD為邊作矩形ACDE，直線AB與直線CE，DE的交點分別為F，G．

（1）如圖，點D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形．

①若點G為DE中點，求FG的長．

②若DG＝GF，求BC的長．

（2）已知BC＝9，是否存在點D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由．

【題干解讀】

由“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12”說明此直角三角形尚未確定，是一個動態(tài)直角三角形，由“點D在直線CB上”說明點D是一個直線CB上的一個動點，而四邊形ACDE是個矩形，可得到多個直角和多對線段相等，而點F、G是直線與直線的交點，畫圖時要特別關注，否則圖形容易畫不出或畫錯．由此看出：依據(jù)各個小題的條件畫出正確的圖形是解決本題的關鍵．

【圖文解析】

（1）當點D在線段CB上，四邊形是正方形時，如下圖示：

由“正方形ACDE”可得到無數(shù)個完美的結論，如：就圖中因平行而得到的相似現(xiàn)成的就有多對：△AEF∽△BCF，△AGE∽△BGD∽△BAC，△ACF∽△GEF等.，由此得到的相關結論……

①當G為DE的中點時，通過全等，不難得到：（如下圖示）：

根據(jù)勾股定理，得AG=6√5，進一步地，

有：FG/AF＝EG/AC＝1/2，所以FG＝1/3×AG＝2√5．

②當DG＝GF時，由正方形的對稱性和三角形的內外角的性質，不難得到：

90⁰－α＝2α，解得α＝30⁰，如下圖示：

因此BC＝AC/tanα=12√3．

（2）當BC＝9時，△ABC可解，是確定的，且根據(jù)勾股定理，可得AB＝15，進一步得到BC：AC：AB＝3：4：5，由“題干解讀”知：△BDG∽△BAC，從而BD：DG：BG＝3：4：5，可設BD＝3x，DG=4x，BG=5x．

另一方面，由于D是在直線CB上的動點，因此要根據(jù)點D的位置進行討論：

①當點D在線段CB上時，此時只有一種DG＝FG可能，如下圖：

進一步地，有：

即x²－6x＋5＝0，

解得x₁＝1，x₂＝5（舍去）

當x=5時，9-3x<0，不舍題意，

所以腰長GD為＝4x＝4．

②當點D在線段BC的延長線上，且直線AB，CE的交點中AE上方時，此時只有GF＝DG，如下圖示：

類似上述解法：

即x²－6x＋5＝0，

解得x₁＝1（舍去），x₂＝5

當x=1時，3x-9<0，不合題意，

所以腰長GD為＝4x＝20．

③當點D在線段BC的延長線上，且直線AB，EC的交點中BD下方時，此時只有DF＝DG，

接下來的解法，與上述類似，也是通過相似（或三角函數(shù)的定義）．

【反思】本題解答過程中的圖形復雜，需要梳理好線段間的關系，整個解題過程，用的就是相似或三角函數(shù)，特別要注意在動態(tài)變化過程中，△BGD與△ABC永相似，因此三邊的比保持不變，事實上所以的相關圖形在變化過程中，均保持同樣的相似或比值相等關系，其中第三、四問所用到的輔助線也是最常見的（構造母子Rt△或等腰三角形“三線合一”）．

【試題3】已知正方形ABCD，點M為邊AB的中點.

（1）如圖1，點G為線段CM上的一點，且∠AGB＝90°，延長AG，BG分別與邊BC，CD 交于點E，F(xiàn).

①求證：BE＝CF；

②求證：BE^2＝BC·CE.

（2）如圖2，在邊BC上取一點E，滿足BE^2＝BC·CE，連接AE交CM于點G，連接BG延長交 CD于點F，求tan∠CBF的值.

圖文解析：

（1）①如下圖示，通過△ABE≌△BCF（ASA）不難證得BE＝CF.

②如下圖示：可證得：BE＝CF＝CG，△CEG∽△CGB（AA），得到CG：CE＝BC：CG，從而CG^2＝BC×CE.又因BE＝CF＝CG，所以BE^2＝BC·CE（得證）.

（2）法一：添加如下圖所示的輔助線.

由CD∥AB得△CNE∽△BAE，得到CN：AB＝CE：BE，所以CN×BE＝AB×CE＝BC×CE.又BE^2＝BC·CE（已知），所以CN×BE＝BE^2，得CN＝BE.

另一方面：

如下圖示，由CD∥AB得△CNG∽△MAG，得到CN：AM＝CG：GM.