在前兩周，我們分別介紹了黎曼針對(duì)質(zhì)數(shù)提出的三大命題（詳見(jiàn)《黎曼猜想（一）：通往質(zhì)數(shù)的征途》）和后世數(shù)學(xué)家們對(duì)這三大命題及黎曼猜想零點(diǎn)的不斷探索（詳見(jiàn)《黎曼猜想（二）：通往智力之巔》），今天我們接著介紹最后一部分。

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計(jì)算零點(diǎn)的可能也趨于渺茫，數(shù)學(xué)家陷入了漫長(zhǎng)的痛苦期，以至于他們終于開(kāi)始懷疑黎曼猜想不過(guò)是他直覺(jué)的猜測(cè)，而并沒(méi)有實(shí)際的計(jì)算證據(jù)。

黎曼時(shí)代的數(shù)學(xué)家喜歡發(fā)表他們認(rèn)為已經(jīng)成熟的學(xué)術(shù)成果，而對(duì)探索中的理論諱莫如深。因此，很多數(shù)學(xué)家公開(kāi)發(fā)表的成果只是他們做研究的極小一部分，許多價(jià)值連城的遠(yuǎn)見(jiàn)并沒(méi)有對(duì)外公布。

這方面，高斯（Gauss）是一個(gè)典型。在1898年公布的高斯科學(xué)日記里，人們才發(fā)現(xiàn)，他的很多思想和成果已經(jīng)遙遙領(lǐng)先那個(gè)時(shí)代，但是卻因?yàn)闆](méi)有發(fā)表而讓后世的數(shù)學(xué)家走了很多彎路。

比如，橢圓函數(shù)雙周期性理論的結(jié)果直到100年后才被后人重新發(fā)現(xiàn)。同時(shí)，高斯也最早意識(shí)到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學(xué)巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數(shù)學(xué)家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見(jiàn)的手稿在他去世后被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進(jìn)行科學(xué)思考和創(chuàng)作的機(jī)會(huì)，也讓他卓絕非凡的智慧結(jié)晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥幸搶救出了一小部分手稿，并把它贈(zèng)送給了黎曼生前的好友戴德金。后來(lái)，她擔(dān)心手稿里可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最后經(jīng)由戴德金獻(xiàn)給了哥廷根大學(xué)圖書(shū)館。這也成了黎曼留給后人的珍貴遺產(chǎn)。

很多慕名前去的數(shù)學(xué)家希望從黎曼的手稿里得到啟發(fā)，但是，這些手稿太過(guò)艱深晦澀，人們止步于此，無(wú)法讀懂黎曼在天馬行空的字里行間所展示出的才能。一代數(shù)學(xué)大師的遺物，在為將來(lái)破譯它的人牢牢地守護(hù)著秘密。

1932年，德國(guó)數(shù)學(xué)家西格爾（Siegel）終于在歷經(jīng)兩年的苦苦鉆研后，從黎曼的手稿里找到了關(guān)鍵的證據(jù)。正是這一證據(jù)表明，黎曼對(duì)他提出的三個(gè)命題有過(guò)極其深刻的思考和計(jì)算。

西格爾在手稿里發(fā)現(xiàn)了黎曼當(dāng)年隨手寫(xiě)下的公式，這個(gè)公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因?yàn)樽尷杪墓街噩F(xiàn)天日而最終獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

有些數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為：如果不是西格爾發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式，時(shí)至今日，它會(huì)像埋入沙漠深處的寶藏，再難被后人重新發(fā)現(xiàn)。西格爾寫(xiě)下這個(gè)公式的那天，距離黎曼在手稿里留下這份遺產(chǎn)已經(jīng)過(guò)去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發(fā)揮了其巨大的威力，基于這一公式，人們可以很輕松地繼續(xù)推進(jìn)零點(diǎn)的計(jì)算。

哈代（Hardy）的學(xué)生利用西格爾公式把非平凡零點(diǎn)的個(gè)數(shù)計(jì)算到了1041個(gè)，人工智能之父圖靈推進(jìn)到了1104個(gè)。此后的幾十年，在計(jì)算機(jī)的輔助下，人們繼續(xù)了零點(diǎn)計(jì)算的接力賽。

1966年，非平凡零點(diǎn)已經(jīng)驗(yàn)證到了350萬(wàn)個(gè)。20年后，計(jì)算機(jī)已經(jīng)能夠算出Zeta函數(shù)前15億個(gè)非平凡零點(diǎn)，這些零點(diǎn)無(wú)一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達(dá)到了8500億。最新的成果是法國(guó)團(tuán)隊(duì)用改進(jìn)的算法，將黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)計(jì)算出了前10萬(wàn)億個(gè)，仍然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反例。

十萬(wàn)億個(gè)飽含著激情和努力的證據(jù)再次堅(jiān)定了人們對(duì)黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數(shù)畢竟有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，十萬(wàn)億和無(wú)窮大比起來(lái)，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來(lái)在哪里，人們一片茫然，不得而知。與此同時(shí)，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來(lái)了佳音。

英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代首先證明Zeta函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)都位于實(shí)部是0.5的直線上。這是一個(gè)無(wú)比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否有限，而哈代的結(jié)果則是直接告訴人們，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不僅是無(wú)窮的，而且還有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)都位于這條臨界線上。但是遺憾的是，人們并不知道臨界線外是否存在非平凡零點(diǎn)。

隨后，挪威數(shù)學(xué)家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)占全部非平凡零點(diǎn)個(gè)數(shù)的比例大于零，這意味著臨界線上的零點(diǎn)在全部零點(diǎn)的分布中舉足輕重。

進(jìn)一步，美國(guó)數(shù)學(xué)家萊文森（Levinson）引入了獨(dú)特的方法，證明臨界線的零點(diǎn)占全部零點(diǎn)的比例達(dá)到了34.74%。

基于萊文森的技巧，美國(guó)數(shù)學(xué)家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進(jìn)到了40%，這也是迄今為止得到的最好結(jié)果。

在理論和計(jì)算的突破猛進(jìn)下，人們開(kāi)始關(guān)注零點(diǎn)在臨界線上的分布規(guī)律。

數(shù)學(xué)家蒙哥馬利（Montgomery）發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)分布的規(guī)律竟然和孿生質(zhì)數(shù)對(duì)在數(shù)軸上的分布規(guī)律類似。受此啟發(fā)，他寫(xiě)下了一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)來(lái)描述這種規(guī)律。令人驚奇的是，該函數(shù)描述的理論結(jié)果和實(shí)際計(jì)算結(jié)果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺(jué)得這背后隱藏著巨大的秘密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問(wèn)，他在1972年訪問(wèn)了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學(xué)家戴森（Dyson）。由于彼此研究領(lǐng)域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問(wèn)問(wèn)蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點(diǎn)驚掉了戴森的下巴。原來(lái)，讓蒙哥馬利云里霧里的關(guān)聯(lián)函數(shù)正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機(jī)厄密矩陣本征值的對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)。這是一個(gè)描述多粒子系統(tǒng)在相互作用下，能級(jí)分布規(guī)律的函數(shù)。

一邊是純數(shù)學(xué)的黎曼猜想，它關(guān)乎的僅僅是一個(gè)Zeta函數(shù)非零點(diǎn)分布這樣最純碎的數(shù)學(xué)性質(zhì)，揭示的是質(zhì)數(shù)在自然數(shù)序列里優(yōu)雅的舞姿和節(jié)奏。另一邊，卻是最現(xiàn)實(shí)的物理世界，它連接著量子體系、無(wú)序介質(zhì)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等經(jīng)典的混沌系統(tǒng)。

理論和現(xiàn)實(shí)在這里交匯，在封閉的世界里獨(dú)自發(fā)展了兩千多年后，作為數(shù)學(xué)最主要的分支——數(shù)論終于將觸角探及真實(shí)的時(shí)空。時(shí)至今日，人們對(duì)此呈現(xiàn)出的種種不可思議的關(guān)聯(lián)仍然感到匪夷所思。

進(jìn)入二十一世紀(jì)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)理論成果開(kāi)枝散葉，很多早期被認(rèn)為無(wú)用之用的分支，今日早已經(jīng)成為現(xiàn)代科技最強(qiáng)有力的工具，為現(xiàn)代科技的發(fā)展推波助瀾。

曾經(jīng)被人們束之高閣而偏安一隅的數(shù)學(xué)研究正化作人們手中的利器，在探索物質(zhì)世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來(lái)越多的思想動(dòng)力和創(chuàng)造的源泉。

 微積分的誕生開(kāi)啟了牛頓機(jī)械宇宙觀的宏偉時(shí)代。人們驚奇地發(fā)現(xiàn)：普天之下，莫非王土，原來(lái)物理世界并不神秘，也并無(wú)不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律都臣服在人類制定的法則之下。自此之后，牛頓力學(xué)開(kāi)始大放異彩，基于其原理所發(fā)明的蒸汽機(jī)和發(fā)動(dòng)機(jī)更是直接點(diǎn)燃了第一次工業(yè)革命的烈火。

我們今日所享受的信息時(shí)代的文明，諸如電腦芯片和萬(wàn)維網(wǎng)都深深地受益于量子力學(xué)的發(fā)展。這門徹底改變?nèi)藗兩畹目茖W(xué)，卻源自于很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的饋贈(zèng)，從線性代數(shù)、矩陣分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)起，到數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私鉀Q五次方程求解問(wèn)題而發(fā)明的群論等等。

基于廣義相對(duì)論，人們發(fā)明了突破地球引力約束的衛(wèi)星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測(cè)、陸海導(dǎo)航打下了基礎(chǔ)。人們?nèi)找骖l繁的出行，基于地理位置的GPS導(dǎo)航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛(ài)因斯坦流芳千古的廣義相對(duì)論，其數(shù)學(xué)原理正是非歐幾何（特別是黎曼幾何）和張量分析的應(yīng)用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨(dú)秀的弦論，因?yàn)槠浯竽懞颓靶l(wèi)的想法，深受彼時(shí)科學(xué)家的青睞。這個(gè)有望解決相對(duì)論和量子力學(xué)的大一統(tǒng)理論，已經(jīng)逐漸在主流科學(xué)界激起千層巨浪。弦論蓬勃發(fā)展的道路上，我們不難看到微分幾何堅(jiān)定的背影。

2016年，三位物理學(xué)家分享了最高的榮譽(yù)——諾貝爾獎(jiǎng)。他們因發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)拓?fù)湎嗪驮谕負(fù)湎嘧兝碚撋系耐怀鲐暙I(xiàn)而獲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)上艱深抽象的拓?fù)淅碚摰谝淮我舱业搅擞梦渲亍?/p>

物理學(xué)家用這個(gè)工具在理論上預(yù)測(cè)了一種特殊材質(zhì)的存在，在它身上，人們能觀測(cè)到匪夷所思的反常量子霍爾效應(yīng)?；谠撔?yīng)發(fā)現(xiàn)的材料，能夠在常溫下、無(wú)需超強(qiáng)磁場(chǎng)的協(xié)助就能自發(fā)在某個(gè)方向上呈現(xiàn)電阻為零的特性。這讓計(jì)算機(jī)芯片的發(fā)展有了無(wú)限廣袤的空間，從此量子計(jì)算機(jī)和微型超級(jí)計(jì)算機(jī)的夢(mèng)想距離我們又近了一大步。

數(shù)學(xué)的各大分支都在默默地為前沿科學(xué)提供精妙絕倫的應(yīng)用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過(guò)漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國(guó)里孤芳自賞。作為數(shù)學(xué)家們最悠久和最忠實(shí)的伙伴，不離不棄，它就是數(shù)論。

這個(gè)數(shù)學(xué)中最大的分支已經(jīng)積累了無(wú)數(shù)深邃的理論成就，當(dāng)今科技能受益于數(shù)論的成果不過(guò)就是隱秘在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當(dāng)冰山融化時(shí)，數(shù)論的碩果能惠及每一個(gè)后世子孫。破冰的希望，很可能就是處于群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數(shù)論研究里萬(wàn)千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現(xiàn)實(shí)世界那讓人千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)中，能找到打開(kāi)果園的鑰匙，讓世界從此彌漫著果實(shí)的芬芳。

參考文獻(xiàn)：

《黎曼猜想漫談》，盧昌海，清華大學(xué)出版社，2012年出版，ISBN：9-787-302-29324-8。