阿基里斯不能追上烏龜，這和常理相違背。如何解釋這一悖論呢？

　　有人用無窮數(shù)列求和的方法解釋，并試圖證明阿基里斯可以追上烏龜。推導(dǎo)過程看似正確，卻犯了兩個錯誤：一是在推導(dǎo)過程中假設(shè)了結(jié)論（阿基里斯可以追上烏龜）成立，以結(jié)論作為條件推導(dǎo)結(jié)論，犯了循環(huán)論證的錯誤；二是假設(shè)時間是可以無限分割的，而事實上在物理世界中不存在可以無限分割的事物，時間也不可以無限分割，這種無限分割的思想僅存在于數(shù)學(xué)理論中。所以，用無窮數(shù)列求和的方法不能解釋阿基里斯追龜悖論。

　　阿基里斯追龜悖論，錯就錯在將時間無限分割，在將時間無限分割的情況下，阿基里斯當然追不上烏龜，此時時間停滯，世界靜止了。但在現(xiàn)實世界中，時間是不可以無限分割的，世界也不是靜止的。人們將物理世界中的時間進行劃分，將時間單位劃分為時、分、秒、毫秒、微秒……但不存在無限小的時間單位。

　　芝諾提出的二分法悖論和飛矢不動悖論，同樣是犯了將物理世界中的時間概念無限分割的錯誤。在17世紀、18世紀的第二次數(shù)學(xué)危機期間，阿基里斯的追龜悖論、二分法悖論和飛矢不動悖論一起成為質(zhì)疑微積分理論中無窮小的有力論點。

　　雖然芝諾悖論在第二次數(shù)學(xué)危機期間被廣泛討論，但第二次數(shù)學(xué)危機的原因是無窮小存在的合理性問題。后來經(jīng)過波里扎諾、阿貝爾、柯西和戴德金等數(shù)學(xué)家的努力，逐步建立起實數(shù)體系，完善了極限理論，第二次數(shù)學(xué)危機得以解決。

　?。ū緳陂L期征集“日知錄”三字篆刻，投稿郵箱：rizhilu999@163.com）