這是《機(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》系列的第14篇，也是微積分的第7篇。

前面幾章我們都是在講各種函數(shù)的求導(dǎo)，也就是求微分。今天開始我們將會(huì)介紹微積分的另一半——積分。

在正式介紹之前，我們還是先來看一個(gè)小例子。假設(shè)有一輛汽車以速度v從A點(diǎn)勻速行駛到B點(diǎn)，所用時(shí)間為t，那么汽車行駛過的距離s是多少？很簡單，距離=速度x時(shí)間，s=vt。用圖像來表示就是：

如圖所示，我們所求的距離s就是綠色部分的面積。注意，我們把距離轉(zhuǎn)換為了面積。好，現(xiàn)在我們的問題升級(jí)了。假如汽車不是以勻速行駛呢？也就是說，假設(shè)汽車從A點(diǎn)啟動(dòng)，到B點(diǎn)停止，期間速度v在一直變化，所用時(shí)間t，此時(shí)汽車行駛過的距離s又是多少呢？別急，我們還是先把v-t的圖像畫出來：

如上圖，我們要求的距離s，就是v和t圍成的綠色部分的面積。因?yàn)樗俣葀在不斷變化，好像我們無從下手。這里我們先假設(shè)汽車在某一段時(shí)間dt內(nèi)的速度不變，一直是v(t)。用圖表示如下：

在上圖中，我們把時(shí)間t等分為很多段，每一小段的都是dt，在dt這段時(shí)間內(nèi)，我們就假設(shè)汽車以勻速行駛，速度是vt。也就是說，我們要求的面積現(xiàn)在被分割成了一個(gè)個(gè)的小長方形，每一個(gè)小長方形的面積是vt*dt。接下來就要發(fā)揮我們的想象了，當(dāng)dt越小，那么切分的長方形的面積之和就越接近于曲線下的面積。當(dāng)dt→0時(shí)，我們就認(rèn)為小長方形的面積之和就是曲線下的面積。這里我們用拉長的s來記錄曲線下的面積：

上式就表示從0到t的這段時(shí)間內(nèi)，所走過的距離為v(t)*dt的和。好，現(xiàn)在面積已經(jīng)表示出來了，那到底該怎么計(jì)算呢？

別急，我們?cè)佼嬕粋€(gè)圖，是距離s和時(shí)間t的圖像：

很容易得到，距離s的導(dǎo)數(shù)就是速度v（切線代表速度）。再看下用積分表示距離s的式子，現(xiàn)在我們是知道了速度v，想要求s。也就是說，我們想知道，哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是v呢？

舉個(gè)具體的例子會(huì)更直觀一些，我們假設(shè)速度v的函數(shù)是v=-t2+10t。現(xiàn)在我們要求的就是，什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是-t2+10t呢？我們挨個(gè)來看，已經(jīng)知道的是t3的導(dǎo)數(shù)是3t2，現(xiàn)在是-t2，我們只需乘以-1/3即可，也就是說-t3/3的導(dǎo)數(shù)就是-t2。同理，我們已知t2的導(dǎo)數(shù)是2t，那現(xiàn)在是10t，我們只需乘以5即可，也就是說5t2的導(dǎo)數(shù)就是10t。綜合一下，我們說-t3/3+5t2的導(dǎo)數(shù)就是-t2+10t。但這還沒完，我們注意到-t3/3+5t2+C的導(dǎo)數(shù)也是-t2+10t，這里C是一個(gè)常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。因此，我們可以認(rèn)為-t2+10t的原函數(shù)就是-t3/3+5t2+C。

好，我們的距離函數(shù)s已經(jīng)求出來了，即s(t)=-t3/3+5t2+C。那我們想求t從0到10這段時(shí)間內(nèi)所走過的距離，該怎么求呢？很簡單，分別把t=0和t=10代入s(t)中，然后相減即可。即所求的距離為s(10)-s(0)，這里我就不計(jì)算了，大家可以自行求解。

我們把上面的整個(gè)過程再用公式總結(jié)下，如果有F'(x)=f(x)，那么就有：

其中，求解原函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的常數(shù)C，在相減的過程中就抵消掉了。

最后，假設(shè)我們給定任意一個(gè)指數(shù)函數(shù)ax?，則它的原函數(shù)為：

好了，這就是今天的全部內(nèi)容，歡迎留言討論。