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1數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平復(fù)習(xí)知識點第一章 集合與簡易邏輯1、 集合 （1） 、定義某些指定的對象集在一起叫集合；集合中的每個對象叫集合的元素。集合中的元素具有確定性、互異性和無序性；表示一個集合要用{ } 。（2） 、集合的表示法列舉法（） 、描述法（） 、圖示法（） ；（3） 、集合的分類有限集、無限集和空集（記作 ， 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） ；?（4） 、元素 a 和集合 A 之間的關(guān)系 a∈ A， 或 a A；?（5） 、常用數(shù)集自然數(shù)集N ；正整數(shù)集N ；整數(shù)集 Z ；整數(shù)Z；有理數(shù)集Q；實數(shù)集R。2、子集 （1） 、定義A 中的任何元素都屬于 B，則 A 叫 B 的子集 ；記作A B，?注意A B 時，A 有兩種情況A ＝φ 與 A≠φ?（2） 、性質(zhì)①、 ；②、若 ，則 ；③、若 則 AB ；?, C?, A,3、真子集 （1） 、定義A 是 B 的子集 ，且 B 中至少有一個元素不屬于 A；記作 ；B?（2） 、性質(zhì)①、 ；②、若 ，則 ；A??, ,4、補集①、定義記作 ；},|{xUCU???且②、性質(zhì) ； ACAAU?）（，， ???5、交集與并集（1） 、交集 }|{BxB?且性質(zhì)①、 ②、若 ，則??A, A??AB?（2） 、并集 }|{x?或?性質(zhì)①、 ②、若 ，則?, ?6、一元二次不等式的解法（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關(guān)系）ACUABBA2判別式△b 2-4ac 0??0??0??二次函數(shù) 02???acxxf的圖象一元二次方程的根02???acbxa有兩相異實數(shù)根 ,212x?有兩相等實數(shù)根 abx21??沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集2 }|{x?“＞”取兩邊 }|{?R一元二次不等式的解集02???acbxa|21x?“＜”取中間 ??不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解含參數(shù)的不等式 ax ＋b x＋c0 恒成立問題 含參不等式 ax ＋b x＋c0 的解集是 R；2?2其解答分 a＝0驗證 bx＋c0 是否恒成立、a≠0（a1 01 0a1圖象（非奇非偶）定義域 （-∞， ∞） （-∞， ∞） （0，∞） （0，∞）值域 （0，∞） （0，∞） （-∞， ∞） （-∞， ∞）單調(diào)性 在（-∞， ∞）上是增函數(shù)在（-∞， ∞）上是減函數(shù)在（0，∞）上是增函數(shù)在（0，∞）上是減函數(shù)性質(zhì)函數(shù)值變化 ???????0,1,xa???????0,1,xa???????10,,logxa ???????10,,logxaO 1 ylogaxxy O 1y xylogax1yax xyO1y xyaxO6定 點 過定點（0，1）??,a?過定點（1，0）??,loga?圖象特征圖象在 x 軸上方?x 圖象在 y 軸右邊?x圖象圖象關(guān)系的圖象與 的圖象關(guān)于直線 對稱xay?yalog?y?第三章 數(shù)列（一） 、數(shù)列（1） 、定義按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列；每個數(shù)都叫數(shù)列的項；數(shù)列是特殊的函數(shù)定義域正整數(shù)集 （或它的有限子集{1，2，3，，n} ） ，?N值域數(shù)列本身，對應(yīng)法則數(shù)列的通項公式；（2） 、通項公式數(shù)列{ }的第 n 項 與 n 之間的函數(shù)關(guān)系式；例數(shù)列 1，2，，n 的通項公式 a nan1，-1，1，-1 ，，的通項公式 ； 0，1， 0，1，0，，的通項公式n1? na21n???（3） 、遞推公式已知數(shù)列{ }的第一項，且任一項 與它的前一項 （或前幾項）間的關(guān)系用一個nana1?n公式表示，這個公式叫遞推公式；例數(shù)列{ } ， ，求數(shù)列{ }的各項。n1?1??nnana（4） 、數(shù)列的前 n 項和 ； 數(shù)列前 n 項和與通項的關(guān)系nnaaS???321 ??????211Snn（二） 、等差數(shù)列 （1） 、定義如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。（2） 、通項公式 （其中首項是 ，公差是 ；整理后是關(guān)于 n 的一次函數(shù)） ，dnan1???1ad（3） 、前 n 項和1． 2. （整理后是關(guān)于 n 的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)）2SnSn2???（4） 、等差中項如果 ， ， 成等差數(shù)列，那么 叫做 與 的等差中項。即 或aAbAab2baA??baA??2[說明]在一個等差數(shù)列中，從第 2 項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。（5） 、等差數(shù)列的判定方法①、定義法對于數(shù)列 ，若 常數(shù)，則數(shù)列 是等差數(shù)列。 ??nadan???1 ??na7②、等差中項對于數(shù)列 ，若 ，則數(shù)列 是等差數(shù)列。??na212???nna??na（6） 、等差數(shù)列的性質(zhì)①、等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系如果 是等差數(shù)列的第 項， 是等差數(shù)列的第 項，且 ，n mnm?公差為 ，則有ddman??②、等差數(shù)列 ，若 ，則 。??qp?qpmnaa??也就是 ，如圖所示???????23121nnnaa ???????? nnana???112,,,31③、若數(shù)列 是等差數(shù)列， 是其前 n 項的和， ，那么 ， ， 成等差數(shù)??nnS*Nk?kSkkS23列。如下圖所示????????? k kkS SkSk aaaa3 232k 3121S321 ?????④、設(shè)數(shù)列 是等差數(shù)列， 是奇數(shù)項的和， 是偶數(shù)項項的和， 是前 n 項的和，??na奇 偶則有前 n 項的和 ， 當 n 為偶數(shù)時， ，其中 d 為公差；偶奇 ??2n?奇偶S當 n 為奇數(shù)時，則 ， ， （其中 是等差數(shù)列的中間一項） 。中偶奇 aS?中奇a21S??中偶 a1?中⑤、等差數(shù)列 的前 項的和為 ，等差數(shù)列 的前 項的和為 ，則 。??na121?n??nb 12?nS 12??nSba（三） 、等比數(shù)列（1） 、定義如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q 表示（ ） 。0?（2） 、通項公式 （其中首項是 ，公比是 ）1??nqa1aq（3） 、前 n 項和] （推導(dǎo)方法乘公比，錯位相減）??????,1,1qSnnn說明① 1???qaSnn○ 2 11??aSnn當 時為常數(shù)列， ，非 0 的常數(shù)列既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列○ 3 q1an（4） 、等比中項如果在 與 之間插入一個數(shù) ，使 ， ， 成等比數(shù)列，那么 叫做 與 的等比中項。abGbGab也就是，如果是的等比中項，那么 ，即 （或 ，等比中項有兩個）a?a2??（5） 、等比數(shù)列的判定方法8①、定義法對于數(shù)列 ，若 ，則數(shù)列 是等比數(shù)列。 ??na01???qn??na②、等比中項對于數(shù)列 ，若 ，則數(shù)列 是等比數(shù)列。21?n（6） 、等比數(shù)列的性質(zhì)①、等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系如果 是等比數(shù)列的第 項， 是等比數(shù)列的第 項，且 ，namanm?公比為 ，則有qmnqa??②、對于等比數(shù)列 ，若 ，則??vu??vumn???也就是 。如圖所示?????? ??23121nnnaa ???????? nnanaaa????112,,,31③、若數(shù)列 是等比數(shù)列， 是其前 n 項的和， ，那么 ， ， 成等比數(shù)列。??S*Nk?kSkkS23如下圖所示?????????? k kkS SkSk aaaa3 232k 3121S321 ?????（7） 、求數(shù)列的前 n 項和的常用方法分析通項，尋求解法， ，2321??? 2151n????161?n?①公式法 “差比之和”的數(shù)列 ??????32532532n?②、并項法 ????n1432?③、裂項相消法 61? ????14321 n?④、到序相加法⑤、錯位相減法“差比之積”的數(shù)列 ?123nxx?第四章 三角函數(shù)1、角（1） 、正角、負角、零角逆時針方向旋轉(zhuǎn)正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)負角，不做任何旋轉(zhuǎn)零角；（2） 、與 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，都可以表示為集合{ }?? Zk????,360|???（3） 、象限的角在直角坐標系內(nèi)，頂點與原點重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就是第幾象限的角；角的終邊落在坐標軸上，這個角不屬于任何象限。2、弧度制（1） 、定義等于半徑的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角，用弧度做單位叫弧度制。9（2） 、度數(shù)與弧度數(shù)的換算 弧度，1 弧度???80 18570????（3） 、弧長公式 （ 是角的弧度數(shù)） rl|??扇形面積 2|21S3、三角函數(shù) （1） 、定義（如圖） （2） 、各象限的符號yryxrxxy?????cscotcoseanin （3） 、 特殊角的三角函數(shù)值的角度 ?03?4560?9120?3510?8270?36的弧度?6?3??46??sin021212201?0co30?3??tan013 310 04、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（１）平方關(guān)系 （２）商數(shù)關(guān)系 （３）倒數(shù)關(guān)系1cossin22????cosinta1cotta?22eta1itsi22csot?? 1eco??（4）同角三角函數(shù)的常見變形（活用“1” ）①、 ， ； ， ；?22cs1sin?2cs1in???22sin??2sin1cos???② ，???ioiotta2??? ??cotiicotao?③ ， ?2sn1csn1csin2??? |csin|2s1??sinxy _ _O xy __ ?cosO tanxy _ _O?P（x，y）r x02??xry?sec?sincosta?tsc1105、誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）公式一 ???? tan360tancos360cosin360sin ???????????? k k k公式二 公式三 公式四 公式五 ?tan180tancoscosii??? ?tan180tcosii?????tantcosii???tan360tcossii??? 補充 ??cot2tansicsi????cot2ansisi?????cot23ansi???cot23ansi???6、兩角和與差的正弦、余弦、正切 ???S ?sisisi ???S ?sinsisi C?ncoco??a C?coco??a ???T?tan1ttn????T?tan1ttn?的整式形式為 ta1t ???例若 ，則 ． （反之不一定成立）??45BA2ta?BA7、輔助角公式 ?????????xbaxbxba cossincossin 222 iicosi2 ????????x（其中 稱為輔助角， 的終邊過點 ， ） （多用于研究性質(zhì)）?,atn8、二倍角公式（1） 、 （2） 、降次公式（多用于研究性質(zhì)）?2S?csin2si ?2Ccos?? ?2sin1coi?1sin122 21cossn2 ?? ?2T?2tata?sc?
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