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今天我們將送出由中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社提供的優(yōu)質(zhì)科普書籍《物理學(xué)咬文嚼字.卷四》。

物理學(xué)需要一種敘述性的語言作為其載體。不幸的是，這門語言不是我們的母語。不同的語言可能呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者不同的物理圖像，而不同的文化會(huì)塑造研究者不同的風(fēng)格從而將物理學(xué)導(dǎo)入不同的方向。用中文表達(dá)的物理學(xué)，因?yàn)槠溟g還要經(jīng)過一個(gè)翻譯的過程，則那些物理學(xué)概念本來的一些內(nèi)在關(guān)聯(lián)，就在不知不覺中丟失了。有些概念甚至?xí)煌耆?。中國科學(xué)院物理研究所曹則賢教授在科研教學(xué)之余，長期關(guān)注物理學(xué)在中國傳播過程中所遭遇的語言問題。通過比照重要物理學(xué)文獻(xiàn)的英德法文原文，他對(duì)用中文修習(xí)物理學(xué)所遇到的一些因語言問題造成的缺憾，有了深切的認(rèn)識(shí)。

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作者：Patrick Honner

翻譯：loulou

審校：Nothing

在下面一組數(shù)字中，你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律并且能找出后面的數(shù)嘛？

1, 2, 4, 8

怕你在寫出結(jié)果之前還需要更多數(shù)，我還是給你第五個(gè)數(shù)吧

1, 2, 4, 8, 16

那么，下一個(gè)數(shù)應(yīng)該是32了，對(duì)吧？那么，規(guī)律就很明了了：下一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的兩倍。即1 × 2 = 2; 2 × 2 =4; 4 × 2 = 8; 8 × 2 = 16。第五個(gè)數(shù)應(yīng)該是16 × 2 = 32。那么，我們還需要多少其他的證據(jù)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律呢？

盡管認(rèn)為下一個(gè)數(shù)字是32是完全合情合理的，但它可能碰巧是錯(cuò)的?？紤]以下推理。

這里我們計(jì)算由圓上的連接點(diǎn)連線劃分的區(qū)域。一個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)區(qū)域(圓的內(nèi)部)；兩點(diǎn)形成兩個(gè)區(qū)域；三個(gè)點(diǎn)劃分出了四個(gè)區(qū)域；4個(gè)和5個(gè)點(diǎn)分別產(chǎn)生8個(gè)和16個(gè)區(qū)域。這就得到了以下數(shù)列:

1, 2, 4, 8, 16

那么，一個(gè)圓上的六個(gè)點(diǎn)連接起來，形成了多少個(gè)區(qū)域呢?

如果你像其他第一個(gè)遇到這個(gè)問題的人一樣，認(rèn)為答案是32，那也是情有可原的。但它不是。答案是惱人的31個(gè)區(qū)域!你可以數(shù)一數(shù)，再數(shù)一遍確認(rèn)一下。

當(dāng)然，有些模式是1 、2、 4、 8 、16 、32 、64等等，每一項(xiàng)都翻倍。但是也有另一些模式，比如一個(gè)圓上連接點(diǎn)形成的最大區(qū)域數(shù)，可以是1、2、4、8、16、31、57、99等等。當(dāng)我們看到序列1 、2 、4、8 、16時(shí)，我們可能認(rèn)為所有的證據(jù)都指向下一項(xiàng)是32，但也可能出現(xiàn)別的情況。

長期以來，數(shù)學(xué)一直在出乎人的意料，它迫使我們擴(kuò)大想象力。這正是數(shù)學(xué)家們不只是滿足于尋找一些例證，而是要通過嚴(yán)格的步驟證明一個(gè)命題的原因。嚴(yán)格的證明可以保證數(shù)學(xué)的正確性。即便所有的跡象都指向我們序列中的下一個(gè)數(shù)字可能是32，但如果沒有嚴(yán)格的證明，我們就不能確定下一個(gè)數(shù)一定是32。

當(dāng)然，例子在數(shù)學(xué)中是重要以及有用的。通常，在證明某件事之前，我們會(huì)先試一試、探索一下、細(xì)想一些例子并收集數(shù)據(jù)。我們反復(fù)檢查和權(quán)衡這些例子，然后才會(huì)預(yù)測接下來會(huì)發(fā)生什么。這些結(jié)果最終形成了我們的觀點(diǎn)，告訴我們應(yīng)該嘗試證明某些定理，而不是其他的。

例子和證明一樣指導(dǎo)著我們的數(shù)學(xué)思維。孿生素?cái)?shù)猜想就是這樣一個(gè)例子。孿生素?cái)?shù)是一對(duì)相差2的素?cái)?shù)對(duì)，例如，3和5、11和13、101和103都是孿生素?cái)?shù)對(duì)。孿生素?cái)?shù)猜想假設(shè)存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)。

我們稱之為孿生素?cái)?shù)猜想而不是孿生素?cái)?shù)定理，是因?yàn)楸M管它是數(shù)論中最著名的問題之一，卻沒有人能證明它。然而，幾乎每個(gè)人都相信這是真的，因?yàn)橛泻芏嘧C據(jù)支持它。

這就好比說，當(dāng)我們找大的素?cái)?shù)時(shí)，我們會(huì)不斷地找到非常大的孿生素?cái)?shù)對(duì)。目前已知的最大的一對(duì)雙素?cái)?shù)各有近40萬位數(shù)。一個(gè)與孿生素?cái)?shù)相似的猜想已經(jīng)得到證明。2013年，張益唐證明了有無窮多對(duì)素?cái)?shù)相差7000萬（或者更?。?，這震驚了數(shù)學(xué)世界。得益于后來一個(gè)公開的“博學(xué)者”項(xiàng)目，我們現(xiàn)在知道有無窮多對(duì)質(zhì)數(shù)相差不超過246。我們還沒有證明有無窮多對(duì)質(zhì)數(shù)相差2，也就是孿生質(zhì)數(shù)猜想。但比起無窮大來說，246已經(jīng)很接近2了。

基于以上原因，我們相信孿生素?cái)?shù)猜想是正確的，即使它還沒有被證明。但在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，例子正被用來以更具爭議的方式表達(dá)觀點(diǎn)。

在橢圓曲線的研究中，一條曲線的“秩”，簡單來說就是一條曲線解的復(fù)雜程度的數(shù)值度量。多年來，人們一致認(rèn)為橢圓曲線的秩是無界的，這意味著曲線的秩有多高或解有多復(fù)雜沒有限制。

但最近的研究讓一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，秩可能還是有界的。這項(xiàng)工作提供的證據(jù)表明，可能只有有限多的橢圓曲線的秩大于21。

不過，我們?nèi)杂欣碛杀３种?jǐn)慎。他們收集到的這些極具說服力的證據(jù)并不是來自橢圓曲線的領(lǐng)域。它來自矩陣領(lǐng)域，研究人員用矩陣來建模橢圓曲線。數(shù)學(xué)模型在科學(xué)中無處不在，甚至可以用來研究數(shù)學(xué)本身。它們是非常強(qiáng)大的工具，使得我們可以把一個(gè)我們不完全理解的問題變成一個(gè)我們更好地處理的問題。

但使用模型本身就很棘手。我們永遠(yuǎn)不能確定我們的模型的行為是否足夠像我們試圖研究的對(duì)象，從而得出正確的結(jié)論。我們也不能確定我們的模型在研究對(duì)象的機(jī)理方面是否足夠接近真相。因此，很難知道我們從模型中收集到的證據(jù)是否真的是關(guān)于我們想研究的東西的證據(jù)。接下來我們用一個(gè)簡單猜想的簡單模型來探討其中的一些問題。

假設(shè)我們想研究這個(gè)命題:任意兩條直線相交或平行。

我們說的“相交”是指這兩條線有一個(gè)共同點(diǎn)，而說“平行”是指它們沿著同一方向上延長，但不相交。(定義平行有不同的方法，但為了簡單起見，我們將采用這種方法)。

為了研究這個(gè)命題，我們將創(chuàng)建一個(gè)模型。你們可能還記得代數(shù)課上的內(nèi)容，我們假設(shè)每一條線都是斜截式。也就是說，我們假設(shè)每一行都可以寫成一個(gè)方程:

y = mx b

其中m是直線的斜率(本質(zhì)上是直線的陡度)，b是y軸截距(直線通過垂直軸的地方)。

用這種方法建模直線為我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)提供了一種方便的方法。這個(gè)模型讓我們通過選擇一對(duì)隨機(jī)數(shù)m和b來創(chuàng)建一條隨機(jī)線，因此，我們可以選擇一對(duì)隨機(jī)線并測試它們:它們相交嗎?它們指向同一個(gè)方向嗎?還是會(huì)發(fā)生了什么其他事?

下面是一些實(shí)驗(yàn)的例子。

在上面的三個(gè)例子中，我們看到隨機(jī)選擇的直線對(duì)相交的情況。如果我們做這個(gè)實(shí)驗(yàn)1000次，或者10000次，或者100萬次，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在所有的情況下，直線要么相交，要么平行。(事實(shí)上，所有對(duì)直線都可能相交，因?yàn)椴惶赡軆蓷l直線的斜率完全相同。)

在看了100萬個(gè)例子之后，你可能會(huì)得出結(jié)論，這個(gè)猜想可能是正確的。所有的證據(jù)都一致地支持任何一對(duì)直線要么相交要么平行的說法。

但是證據(jù)就和模型一樣，有可能是危險(xiǎn)的。讓我們看看我們給自己制造了什么危險(xiǎn)。

有一個(gè)問題是，某些類型的線似乎比其他類型的線更容易被選擇。這幅圖顯示了50條直線，其中b = 0，且0≤m≤1。

下面圖顯示了50條直線b = 0, m≥1。

看起來，四分之一的平面被斜率在0到1之間的直線覆蓋，而另外四分之一的平面被斜率大于1的直線覆蓋。選擇一個(gè)大于1的數(shù)字似乎比選擇一個(gè)介于0和1之間的數(shù)字更有可能，因此從第二個(gè)區(qū)域選擇一條直線的可能性比從第一個(gè)區(qū)域選擇一行的可能性大得多。這意味著某些直線——斜率在0到1之間的直線——在我們的模型中被選中的可能性可能被嚴(yán)重低估。如果在平面的這個(gè)區(qū)域發(fā)生了奇怪的事情，我們的模型就不太可能告訴我們。

仔細(xì)看第二幅圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)另一個(gè)問題。m越大，直線越陡。最陡的線是垂直的。垂直線的斜率是多少?根據(jù)定義，垂直線的斜率是沒有定義的:我們不能通過選擇m來創(chuàng)建垂直線。這意味著這些線在我們的模型中不存在，所以我們永遠(yuǎn)無法用它們來做實(shí)驗(yàn)。在我們開始收集證據(jù)之前，我們就已經(jīng)特地排除了這些可能性。

然后就涉及到我們模型中最嚴(yán)重問題的核心。任何習(xí)慣三維思維的人都可能馬上注意到我們的猜想是錯(cuò)誤的。直線不僅有相交或者平行兩種情況。想象一下，在一棟建筑的不同樓層，兩條走廊是沿著不同的方向。這種情況就是不相交也不平行的“斜交線”。

關(guān)于斜線的一個(gè)重要事實(shí)是它們很多情況下是位于不同的平面上的。但是由于我們的模型用方程y = mx b來標(biāo)識(shí)每條直線，就默認(rèn)了每條直線都處在同一個(gè)平面上。我們的模型就只會(huì)產(chǎn)生支持我們猜想的證據(jù)，因?yàn)槿绻麅蓷l線在同一平面上，它們要么相交，要么平行，這確實(shí)是真的。我們將永遠(yuǎn)不會(huì)看到任何相反的證據(jù):在我們的模型中不存在斜交線。就像我們看到的垂直線一樣，我們的模型排除了我們無法想象的東西。

這是一個(gè)簡單的例子，使用了一個(gè)有很多問題的愚蠢的模型，包括我們?nèi)绾螐臒o限集合中選擇隨機(jī)數(shù)這樣的麻煩問題。研究橢圓曲線秩的專業(yè)數(shù)學(xué)家絕不會(huì)犯這里所強(qiáng)調(diào)的那種簡單而明顯的錯(cuò)誤。

那些數(shù)學(xué)家知道在處理他們的模型時(shí)要小心謹(jǐn)慎。因?yàn)樗麄冎?，無論他們的模型多么有用和有趣，無論他們收集的證據(jù)多么有說服力，橢圓曲線還是有可能存在一些他們想象不到的東西。如果你想象不出來，你的模型就能捕捉不到，這意味著證據(jù)不能反映全部的事實(shí)。

但無論對(duì)錯(cuò)，這個(gè)新模型使數(shù)學(xué)家們對(duì)橢圓曲線有了卓有成效的思考。如果這個(gè)模型確實(shí)反映了事實(shí)，那么來自矩陣世界的見解或許可以解釋橢圓曲線的行為模式。如果沒有，弄清楚為什么橢圓曲線不能全部用這種方式建模，也可能會(huì)使我們對(duì)這個(gè)問題有更深的理解。我們收集的證據(jù)可能會(huì)使我們以某種方式更接近證明。

原文地址：

https://www./where-proof-evidence-and-imagination-intersect-in-math-20190314/