幾何圖形中添加輔助線(xiàn)，往往能把分散的條件集中，使隱蔽的條件顯著，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，例如：作“三線(xiàn)”中的“一線(xiàn)”，作平行線(xiàn)構(gòu)造等腰（邊）三角形、利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法說(shuō)明線(xiàn)段和、差關(guān)系或求角的度數(shù)，利用加倍折半法說(shuō)明線(xiàn)段的倍分關(guān)系。下面我們將一一進(jìn)行舉例說(shuō)明。

方法一：作“三線(xiàn)”中的“一線(xiàn)”

例1：如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)EF∥BC，且AE＝AF，求證：DE＝DF．

【分析】連接AD，先根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出AD⊥BC，再結(jié)合已知條件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE＝AF，即AD垂直平分EF，然后根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可證明DE＝DF．

【解答】證明：如圖，連接AD．

∵△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

又AE＝AF，

∴AD垂直平分EF，

∴DE＝DF．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．

方法二：作平行線(xiàn)法

例2：如圖，△ABC中AB＝AC，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)移動(dòng)，已點(diǎn)知D、E移動(dòng)的速度相同，DE與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)G，連接CD、GE，判定四邊形CDGE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)垂足為M，當(dāng)點(diǎn)D、E在移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段BM、MF、CF有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．

【分析】（1）由題意得出BD＝CE，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠DGB＝∠ACB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ACB，得出∠B＝∠DGB，證出BD＝GD＝CE，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）得：BD＝GD＝CE，由等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)得出BM＝GM，由平行線(xiàn)得出GF＝CF，即可得出結(jié)論．

【解答】解：（1）四邊形CDGE是平行四邊形．理由如下：如圖1所示：

∵D、E移動(dòng)的速度相同，

∴BD＝CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB＝∠ACB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠B＝∠DGB，

∴BD＝GD＝CE，

又∵DG∥CE，

∴四邊形CDGE是平行四邊形；

（2）BM+CF＝MF；理由如下：如圖2所示：

由（1）得：BD＝GD＝CE，

∵DM⊥BC，

∴BM＝GM，

∵DG∥AE，

∴GF＝CF，

∴BM+CF＝GM+GF＝MF．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

方法三：截長(zhǎng)補(bǔ)短法

例3：已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD+DC＝AB．

【分析】延長(zhǎng)BD到F，使BF＝BA，連接AF，CF，得出等邊三角形ABF，推出AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，推出∠ACF＝∠AFC，得出∠DFC＝∠DCF，推出DC＝DF即可．

【解答】證明：延長(zhǎng)BD到F，使BF＝BA，連接AF，CF，

∵∠ABD＝60°，

∴△ABF為等邊三角形，

∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，

∴∠ACF＝∠AFC，

又∵∠ACD＝60°，

∴∠AFB＝∠ACD＝60°

∴∠DFC＝∠DCF，

∴DC＝DF．

∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，

即BD+DC＝AB．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線(xiàn)，題目具有一定的代表性，有一定的難度．

方法四：加倍折半法

例4：△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，則∠C的度數(shù)是（ ）

A．20° B．30° C．45° D．60°

【分析】在DC上取DE＝DB．連接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD＝ED，AD＝AD．證明△ABD≌△AED即可求解．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)圖，關(guān)鍵是巧妙作出輔助線(xiàn)．

例5：如圖，CE、CB分別是△ABC、△ADC的中線(xiàn)，且AB＝AC．求證：CD＝2CE．

【分析】延長(zhǎng)CE到F，使CE＝EF，連接FB，由△AEC≌△BEF得出對(duì)應(yīng)的邊角相等，進(jìn)而求證△CBF≌△CBD，即可得出結(jié)論．

【解答】證明：延長(zhǎng)CE到F，使EF＝CE，連接FB．

∵CE是△ABC的中線(xiàn)，

∴AE＝EB，

又∵∠AEC＝∠BEF，

∴△AEC≌△BEF，（SAS）

∴∠A＝∠EBF，AC＝FB．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝∠EBF+∠ABC＝∠CBF；

∵CB是△ADC的中線(xiàn)，

∴AB＝BD，

又∵AB＝AC，AC＝FB，

∴FB＝BD，

又CB＝CB，

∴△CBF≌△CBD（SAS），

∴CD＝CF＝CE+EF＝2CE．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．解決此題的關(guān)鍵是通過(guò)延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．