今天，我們來(lái)聊聊數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)那些事。除了我個(gè)人一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)外，主要是吸收和借鑒數(shù)學(xué)研究和教育專家的觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)很重要，思維更重要

劍橋大學(xué)的一位終身教授在Seminar上分享了這樣的觀點(diǎn)：未來(lái)社會(huì)是大數(shù)據(jù)的時(shí)代，也是人工智能時(shí)代，孩子只有勤奮苦學(xué)數(shù)學(xué)和軟件編程，才能適應(yīng)。

英國(guó)哲學(xué)家培根說(shuō)過(guò)：讀史使人明智，讀詩(shī)使人聰慧，數(shù)學(xué)使人精微，哲理使人深刻。

從這句話就能看出，數(shù)學(xué)的基本特性，科學(xué)、抽象，是系統(tǒng)化的知識(shí)。但我們并不只是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏認(rèn)為，無(wú)論是數(shù)學(xué)教育工作者，還是科學(xué)工作者、技術(shù)人員，數(shù)學(xué)知識(shí)只是第二位的，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法。

當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（Polya·George）也認(rèn)為，任何學(xué)問(wèn)都包括知識(shí)和能力這兩個(gè)方面，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，比起單純具備一些知識(shí)而言，能力的形成更重要。

他們的觀點(diǎn)，無(wú)一例外都落在這個(gè)關(guān)鍵詞上——數(shù)學(xué)思維。

國(guó)際教育署和國(guó)際教育學(xué)會(huì)2009 年聯(lián)合頒發(fā)的指導(dǎo)性文件《有效的數(shù)學(xué)教學(xué)》中提出的10 條標(biāo)準(zhǔn)中，突出強(qiáng)調(diào)了“理解”(understanding)與“思維”（thinking）的重要性，以指導(dǎo)各國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在的“機(jī)械學(xué)習(xí)”問(wèn)題。

聽(tīng)起來(lái)有些晦澀，其實(shí)說(shuō)白了：有些孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)完全是靠背誦的（當(dāng)然并不是說(shuō)記憶不重要），沒(méi)有完全理解公式、技巧背后的道理，更別說(shuō)深入思考，做到舉一反三了。孩子也許記住了數(shù)學(xué)知識(shí)，但是沒(méi)有養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維能力。

數(shù)學(xué)是“精微化的常識(shí)”

那怎么培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維？

這還要回到數(shù)學(xué)的精微上來(lái)。

一直以來(lái)，人們都認(rèn)為，數(shù)學(xué)是“被精微化的常識(shí)”。換句話說(shuō)，抽象的數(shù)學(xué)其實(shí)來(lái)源于普通的生活常識(shí)。

所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的開(kāi)始不能脫離實(shí)際生活。而對(duì)于孩子，小川的數(shù)學(xué)老師直接說(shuō)：數(shù)學(xué)是玩出來(lái)的。我也深以為然。所以，陪孩子學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，除了看書、做練習(xí)外，就是各種各樣的玩。飛行棋、積木、大富翁，五花八門。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)齡前孩子主要是以具體形象思維來(lái)進(jìn)行思考，到了大班后期他們的抽象思維才會(huì)逐漸得到發(fā)展。

在玩數(shù)學(xué)的過(guò)程中，他們可見(jiàn)可摸，通過(guò)實(shí)際的動(dòng)手操作，可以更積極地啟發(fā)思考、發(fā)展基本的思維能力，而不僅限于“知道”一些抽象概念。先型塑思維能力，也為隨后的提煉、過(guò)渡到精微打下更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

舉個(gè)小例子，想要孩子理解2+3=5。應(yīng)該先給他建立一個(gè)游戲場(chǎng)景，讓他拿5個(gè)蘋果或香蕉、梨子等材料擺一擺。

然后，再用與5分合相關(guān)的、圖象表示的練習(xí)題，讓他去練一練。

最后，才能具體到抽象的數(shù)字練習(xí)。

缺少實(shí)物操作，這一從具象到抽象必不可少的紐帶，單純要孩子死記硬背乘法表，他們總是背錯(cuò)、算錯(cuò)也就不足為怪了。

但你還別說(shuō)，小學(xué)二年級(jí)的數(shù)學(xué)錯(cuò)題，博士生家長(zhǎng)居然無(wú)法訂正。舉個(gè)例子。

第六題孩子做錯(cuò)了，但孩子家長(zhǎng)無(wú)能無(wú)力，他怎么看都是對(duì)的。

這是一個(gè)明顯的錯(cuò)誤了，孩子用的是2X8=16米，這個(gè)是小學(xué)階段最為嚴(yán)重的錯(cuò)誤之一。就是單位錯(cuò)。2（次）X8=16(次)，這個(gè)在概念上是錯(cuò)的，正確的應(yīng)該是8（米）X2=16（米），然后才是兩個(gè)相同單位數(shù)字的相加。

老師在這方面嚴(yán)格要求完全是正確的。別小看這個(gè)，很多笑話都是這樣造成的。

看下面一個(gè)例子：

1元=100分=10角X 10角=0.1元X 0.1元=0.01元=1分。結(jié)論：1元=1分

為何有如此荒謬的結(jié)論，答案非常簡(jiǎn)單，單位用錯(cuò)造成的后果。

第一道題相對(duì)簡(jiǎn)單很多，唯一要注意的是數(shù)數(shù)要數(shù)清楚。魚(yú)是6根火柴，飛機(jī)是5根火柴，考的知識(shí)點(diǎn)是乘除法的應(yīng)用。顯然這小朋友完全沒(méi)有概念。這種情況在二年級(jí)孩子非常普遍，需要教會(huì)他們分步運(yùn)算，而不是一步算出。這個(gè)非常非常重要。對(duì)于二年級(jí)的孩子來(lái)說(shuō)，分步運(yùn)算必須扎實(shí)，不然以后會(huì)非常麻煩。

第二道題目也是一樣的問(wèn)題，孩子不會(huì)分步，這是把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的重要思考過(guò)程，減法和除法一定別在一個(gè)等式中列出來(lái)，分兩步，先做減法，再做除法。用這樣的方法教會(huì)孩子解決問(wèn)題的步驟。

第四題是一道綜合題，考察的是加減乘除的混合運(yùn)用能力。看得出來(lái)，這個(gè)小朋友總是希望能用一個(gè)等式來(lái)解決問(wèn)題。一般這種情況是兩個(gè)原因引起的。

一個(gè)是教孩子的人（多數(shù)是家長(zhǎng)，老師不會(huì)這么教）總是教孩子用一個(gè)等式去解決問(wèn)題，殊不知對(duì)于二年級(jí)的孩子來(lái)說(shuō)，一般不具備這種能力。必須分步運(yùn)算，分步來(lái)解決問(wèn)題。另外一個(gè)可能是這孩子完全沒(méi)有復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的思維能力，完全不知道如何處理這些問(wèn)題，無(wú)論哪一種，都需要嚴(yán)格學(xué)會(huì)分步運(yùn)算，只有這樣，才具備以后更復(fù)雜問(wèn)題的解決能力。

對(duì)于二年級(jí)的孩子，基礎(chǔ)列式，分步思維是一個(gè)非常重要的過(guò)渡過(guò)程。家長(zhǎng)如果在家里輔導(dǎo)孩子的作業(yè)，一定要注意訓(xùn)練孩子這方面的思維能力。這比多做幾道難題重要得多，也有用得多。