肖博數(shù)學(xué)小題專(zhuān)練 (五) 函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用

一、選擇題

1.函數(shù) f(x)=ex+x-2 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(e≈2.718 28)( )

A.?

?

?

?

?

?

0，

1

2

B.?

?

?

?

?

1 ?

2，1

C.(1,2) D.(2,3)

答案 A

解析 ∵f(x)=e

x+x-2，∴f(0)=1-2=-1<0，f

?

?

?

?

?

1?

2 = e-

3

2

>0，

∴f(0)·f

?

?

?

?

?

1?

2

<0，∴函數(shù) f(x)=e

x+x-2 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是?

?

?

?

?

?

0，

1

2 。

2.已知函數(shù) y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)

值表：

x 1 2 3 4 5 6

y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6

則函數(shù) y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有( )

A.2 個(gè) B.3 個(gè)

C.4 個(gè) D.5 個(gè)

答案 B

解析 依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據(jù)零點(diǎn)的存在

性定理可知， f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn)，

故函數(shù) y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有 3 個(gè)。

3.函數(shù) f(x)=

??

?

?

?x

2+2x-3，x≤0，

-2+lnx，x>0

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A.0 B.1

C.2 D.3

答案 C

2

解析 當(dāng) x≤0 時(shí)，令 x

2+2x-3=0，解得 x=-3;當(dāng) x>0 時(shí)，

令-2+lnx=0，解得 x=e

2。所以已知函數(shù)有 2 個(gè)零點(diǎn)，故選 C。

4.已知函數(shù) f(x)=?

?

?

?

?

1?

2

x-cosx，則 f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

答案 C

解析 作出 g(x)=?

?

?

?

?

1?

2

x與 h(x)=cosx 的圖象，可以看到其在[0,2π]

上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3，所以函數(shù) f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3，故選 C。

5.若函數(shù) f(x)=x

2+2a|x|+4a

2-3 的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)

a 等于( )

A.

3

2 或- 3

2

B.-

3

2

C.

3

2

D.以上都不對(duì)

答案 C

解析 令|x|=t，原函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，即方程 t

2+2at+

4a

2-3=0 只有一個(gè) 0 根或一個(gè) 0 根、一個(gè)負(fù)根，∴4a

2-3=0，解得

a=

3

2 或- 3

2 ，經(jīng)檢驗(yàn)，a=

3

2 滿(mǎn)足題意。

6.已知函數(shù) y=f(x)的周期為 2，當(dāng) x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=x

2，那么

3

函數(shù) y=f(x)的圖象與函數(shù) y=|lgx|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A.10 B.9

C.8 D.1

答案 A

解析 在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出 y=f(x)和 y=|lgx|的圖

象，如圖。又 lg10=1，由圖象知選 A。

7.汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗 1 升汽油行駛的里程。

如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況。下列

敘述中正確的是( )

A.消耗 1 升汽油，乙車(chē)最多可行駛 5 千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多

C.甲車(chē)以 80 千米/時(shí)的速度行駛 1 小時(shí)，消耗 10 升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速 80 千米/時(shí)。相同條件下，在該市用

丙車(chē)比用乙車(chē)更省油

答案 D

解析 對(duì)于 A 選項(xiàng)，從圖中可以看出當(dāng)乙車(chē)的行駛速度大于 40

km/h 時(shí)的燃油效率大于 5 km/L，故乙車(chē)消耗 1 升汽油的行駛路程可

4

大于 5 千米，所以 A 錯(cuò)誤。對(duì)于 B 選項(xiàng)，由圖可知甲車(chē)消耗汽油最

少。對(duì)于C選項(xiàng)，甲車(chē)以80 km/h的速度行駛時(shí)的燃油效率為10 km/L，

故行駛 1 小時(shí)的路程為 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 錯(cuò)誤。對(duì)于

D 選項(xiàng)，當(dāng)最高限速為 80 km/h 且速度相同時(shí)丙車(chē)的燃油效率大于乙

車(chē)的燃油效率，故用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，所以 D 正確。

8.設(shè)函數(shù) f(x)=e

x+2x-4，g(x)=lnx+2x

2-5，若實(shí)數(shù) a，b 分

別是 f(x)，g(x)的零點(diǎn)，則( )

A.g(a)<0

C.0

答案 A

解析 依題意，f(0)=-3<0，f(1)=e-2>0，且函數(shù) f(x)是增函數(shù)，

因此函數(shù) f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，即 0

+3>0，函數(shù) g(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，即 1f(1)>0。

又函數(shù) g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，因此有 g(a)

選 A。

9.某種新藥服用 x 小時(shí)后血液中的殘留量為 y 毫克，如圖所示

為函數(shù) y=f(x)的圖象，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于 240 毫克時(shí)，治療

有效。設(shè)某人上午 8：00 第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最

遲的時(shí)間應(yīng)為( )

A.上午 10：00 B.中午 12：00

5

C.下午 4：00 D.下午 6：00

答案 C

解析 當(dāng) x∈[0,4]時(shí)，設(shè) y=k1x，把(4,320)代入，得 k1=80，∴y

=80x。當(dāng) x∈[4,20]時(shí)，設(shè) y=k2x+b。把(4,320)，(20,0)代入得

?

?

?4k2+b=320，

20k2+b=0，

解得?

?

?k2=-20，

b=400，

∴y=400-20x?！鄖=f(x)=

?

?

?80x，0≤x≤4，

400-20x，4

由 y≥240 ， 得 ?

?

?0≤x≤4，

80x≥240，

或

?

?

?4

400-20x≥240。

解得 3≤x≤4 或 4

服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午 4：00，故選 C。

10.(2017·武漢高三調(diào)研)已知函數(shù) f(x)=2ax-a+3，若?x0∈(-

1,1)，使得 f(x0)=0，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( )

A.(-∞，-3)∪(1，+∞)

B.(-∞，-3)

C.(-3,1)

D.(1，+∞)

答案 A

解析 依題意可得 f(-1)·f(1)<0，即(-2a-a+3)·(2a-a+3)<0，

解得 a<-3 或 a>1，故選 A。

11 . (2017·沈 陽(yáng) 市 教 學(xué) 質(zhì) 量 監(jiān) 測(cè) ) 已 知 函 數(shù) f(x) =

?

?

?

2

x+2

2 ，x≤1，

|log2(x-1)|，x>1，

則函數(shù) F(x)=f(f(x))-2f(x)-

3

2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

( )

6

A.4 B.5

C.6 D.7

答案 A

解析 令 f(x)=t，則函數(shù) F(x)可化為 y=f(t)-2t-

3

2，則函數(shù) F(x)

的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程 f(t)-2t-

3

2=0 有根的問(wèn)題。令 y=f(t)-2t

-

3

2=0，即 f(t)=2t+

3

2，如圖①，由數(shù)形結(jié)合得 t1=0,1

再由數(shù)形結(jié)合得，當(dāng) f(x)=0 時(shí)，x=2，有 1 個(gè)解，當(dāng) f(x)=t2時(shí)，有

3 個(gè)解，所以 y=f(f(x))-2f(x)-

3

2共有 4 個(gè)零點(diǎn)。故選 A。

12.(2017·江西南昌一模)定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(2-x)

=f(x)，且當(dāng) x∈[1,2]時(shí)，f(x)=lnx-x+1，若函數(shù) g(x)=f(x)+mx 有 7

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為( )

A.?

?

?

?

?

ln2-1 ?

6 ，

ln2-1

8

∪?

?

?

?

?

1-ln2 ?

8 ，

1-ln2

6

B.?

?

?

?

?

ln2-1 ?

6 ，

ln2-1

8

C.?

?

?

?

?

1-ln2 ?

8 ，

1-ln2

6

D.?

?

?

?

?

ln2-1 ?

6 ，

1-ln2

8

7

答案 A

解析 函數(shù) g(x)=f(x)+mx 有 7 個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù) y=f(x)的圖象與

y=-mx 的圖象有 7 個(gè)交點(diǎn)。當(dāng) x∈[1,2]時(shí)，f(x)=lnx-x+1，f′(x)

=

1

x-1=

1-x

x

≤0，此時(shí) f(x)單調(diào)遞減，且 f(1)=0，f(2)=ln2-1。由

f(2-x)=f(x)知函數(shù)圖象關(guān)于 x=1 對(duì)稱(chēng)，而 f(x)是定義在 R 上的偶函

數(shù)，所以 f(x)=f(-(2-x))=f(x-2)，故 f(x+2)=f(x)，即 f(x)是周期

為 2 的函數(shù)。易知 m≠0，當(dāng)-m<0 時(shí)，作出函數(shù) y=f(x)與 y=-mx

的圖象，如圖所示。

則要使函數(shù) y=f(x)的圖象與 y=-mx 的圖象有 7 個(gè)交點(diǎn)，需有

?

?

?-8m

-6m>f(6)

，即?

?

?-8m

-6m>ln2-1

，解得

1-ln2

8

1-ln2

6 。同理，

當(dāng)-m>0 時(shí)，可得

ln2-1

6

ln2-1

8 。綜上所述，實(shí)數(shù) m 的取值范圍

為

?

?

?

?

?

?

?

?

ln2-1

6 ，

ln2-1

8

∪

?

?

?

?

?

?

?

? 1-ln2

8 ，

1-ln2

6

。

二、填空題

13.若函數(shù) f(x)=

??

?

?

?2

x-a，x≤0，

lnx，x>0

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a

的取值范圍是________。

答案 (0,1]

解析 當(dāng) x>0 時(shí)，由 f(x)=lnx=0，得 x=1。因?yàn)楹瘮?shù) f(x)有兩

8

個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng) x≤0 時(shí)，函數(shù) f(x)=2

x-a 有一個(gè)零點(diǎn)，令 f(x)

=0 得 a=2

x，因?yàn)?0<2x≤2

0=1，所以 0

圍是 0

14.已知函數(shù) f(x)=a

x+x-b 的零點(diǎn) x0∈(n，n+1)(n∈Z)，其中

常數(shù) a，b 滿(mǎn)足 2

a=3,3b=2，則 n=________。

答案 -1

解析 a=log23>1,0

x=-x+b。在

同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù) y=a

x和 y=-x+b 的圖象，如圖所

示，由圖可知，兩函數(shù)的圖象在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有交點(diǎn)，所以函數(shù) f(x)

在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn)，所以 n=-1。

15.我們把形如 y=

b

|x|-a

(a>0，b>0)的函數(shù)因其圖象類(lèi)似于漢字

中的“囧”字，故生動(dòng)地稱(chēng)為“囧函數(shù)”，若當(dāng) a=1，b=1 時(shí)的“囧

函數(shù)”與函數(shù) y=lg|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n，則 n=________。

答案 4

解 析 由 題 意 知 ， 當(dāng) a = 1 ， b = 1 時(shí) ， y =

1

|x|-1

=

9

?

?

?

?

?

1

x-1

(x≥0且x≠1)，

-

1

x+1

(x<0且x≠-1)。

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出“囧函數(shù)”與函數(shù)

y=lg|x|的圖象如圖所示，易知它們有 4 個(gè)交點(diǎn)。

16.(2017·北京高考)三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械?/p>

工作情況如圖所示，其中點(diǎn) Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第 i 名工人上午的

工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn) Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第 i 名工人下午

的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1,2,3。

①記 Qi為第 i 名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則 Q1，Q2，

Q3 中最大的是________;

②記 Pi 為第 i 名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則

P1，P2，P3中最大的是________。

答案 ①Q(mào)1 ②P2

解析 ①設(shè)線段 AiBi 的中點(diǎn)為 Ci(xi，yi)，則 Qi=2yi(i=1,2,3)。

10

因此只需比較 C1，C2，C3三個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小即可。不難發(fā)現(xiàn) y1最

大，所以 Q1最大。②由題意，知 Pi=

yi

xi

(i=1,2,3)。故只需比較三條直

線 OC1，OC2，OC3的斜率即可，發(fā)現(xiàn) P2最大。

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