張乃中初等工作室（znzms100）致力于培養(yǎng)廣大中小學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開啟學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心智；感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密和完美，享受探究數(shù)學(xué)的奧秘之樂趣。根據(jù)中小學(xué)生的不同狀況量身定制不同的培優(yōu)計(jì)劃和學(xué)習(xí)內(nèi)容，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績于無形。

在2018年深圳中考中第16題：

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90o，∠BCA和∠ABC的角平分線AE、BD相交于點(diǎn)F，若AF=4，則AC=（        ）。

此問題的解答已在前面的文章中詳細(xì)解答過（詳見據(jù)說大深圳今年中考數(shù)學(xué)很難：先圍觀兩道壓軸題）。

如果此題條件不變，而結(jié)果要求出此題圖形上所有線段的長度，能否辦到？或者說由線段AF、DF的長度能否決定Rt△ABC各邊的長度和角度？

下面我們來探討這個問題：

即已知條件不變，求9個線段：AC、BC、AB、CD、CE、EB、FE、AE、BF的值。

解開此題的關(guān)鍵是求得∠AFD=45o，然后根據(jù)含45o角作輔助線的方法（詳見含45o角的三角形及輔助線作法（8年級、9年級培優(yōu)）），構(gòu)造直角三角形△FDG（如圖1），求得DG=FG=1，AG=3。

過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，作FK⊥BC于點(diǎn)K（如圖2）：

∵F為Rt△ABC的內(nèi)心，

∴FH、FK為Rt△ABC內(nèi)切圓⊙F的半徑，

∴四邊形HFKC為正方形，

根據(jù)角平分線定理（詳見比例與相似高級教程（七）：相似三角形的角平分線模型）：

根據(jù)勾股定理，BC∶AC∶AB=3∶4∶5，

由CE∶AC=1∶3，得：

在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理：

在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理：

所以，我們依次算出了9個線段的長度，由此看出，DF、AF的決定了Rt△ABC各邊的長度和角度。