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（南寧三中 許興華數(shù)學(xué)） 在證明數(shù)列不等式時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)有著較大的作用,但同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)，并不是所有與自然數(shù)n有關(guān)的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明,而且目前在使用的新教材的必修課里面對數(shù)學(xué)歸納法已經(jīng)不作要求了（如果大家不選修這個(gè)內(nèi)容的話）.所以,在缺少了數(shù)學(xué)歸納法或出現(xiàn)了不宜用數(shù)學(xué)歸納法的題目之后,我們就需要去尋找另外的方法.事實(shí)證明,二項(xiàng)式定理在實(shí)際應(yīng)用中具有很大的價(jià)值.例如,解決與自然數(shù)有關(guān)的冪不等式的證明,它就給我們提供了一種結(jié)構(gòu)簡明、思路清晰的證明方法.下面請大家看典型例題. （1）直接用二項(xiàng)式定理證明不等式
有些不等式的證明首先需要適當(dāng)變形后再利用二項(xiàng)式定理證明。也可能是：先用二項(xiàng)式定理，再利用組合數(shù)公式進(jìn)行適當(dāng)變形，最后可以證明我們所需要證明的不等式。
總而言之,運(yùn)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明的關(guān)鍵在于創(chuàng)造二項(xiàng)式.在有二項(xiàng)式的冪不等式中,要善于把其中某個(gè)數(shù)式變形、分解、引進(jìn)參數(shù)等來構(gòu)造新二項(xiàng)式而使得不等式兩邊在二項(xiàng)式展開后有緊密的聯(lián)系,這其中當(dāng)然還要借助于分析法、放縮法、構(gòu)造法等來進(jìn)行輔助證明.也就是說,在沒有數(shù)學(xué)歸納法的情況下運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明不等式不失為一個(gè)好辦法,而且這樣做的解題過程常常要比使用數(shù)學(xué)歸納法來得簡潔、明了,往往能起到事半功倍的作用.
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