很多資料或題目講到關(guān)于數(shù)的整除性質(zhì)，但是性質(zhì)怎么來的很少介紹，在此'簡單舉例'推導(dǎo)以助理解掌握，方法多樣的只舉其中之一，有些數(shù)字類似的情況也不重復(fù)，以免占用大家寶貴的時間。

一般地，若整數(shù)b除以非零整數(shù)a，商為整數(shù)，且余數(shù)為零， 我們就說b能被a整除（或說a能整除b），

記為：a|b（'|'是整除符號），讀作'a整除b'或'b能被a整除'

一、我們先看幾個基本的性質(zhì)

1、 若a|b，a|c，則a| (b±c)

• 運(yùn)用除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系解釋

• 通俗地講，如果兩個數(shù)能被同一個數(shù)整除，那么它們的和、差也能被這個數(shù)整除（積當(dāng)然也可以）

2、 若a|b，b|c，則a|c

• 通俗地講就是一個數(shù)倍數(shù)的倍數(shù)是它的倍數(shù)。

3、 若a|bc，且(a,c)= 1，則a|b

4、 a|b，c|b，且a、c互質(zhì)（a,c）=1，則bc|a

這個性質(zhì)可以推廣到多個兩兩互質(zhì)的數(shù)的情況，非常有用；

例：2、3、5兩兩互質(zhì)，如果一個數(shù)m能同時被這三個數(shù)整除，那么m能被30整除；

二、結(jié)合位值原理常見數(shù)的整除特征歸納說明

1、個位上是0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。

2、 個位上是0或者5的整數(shù)都能被5整除(方法同上)。

3、 若一個整數(shù)各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，則這個整數(shù)能被3（或9）整除。（3與9判斷方法一樣）

請注意：從這里我們也可以得出一個整數(shù)除以9的余數(shù)等于它各數(shù)字之和除以9的余數(shù)。

4、 若一個整數(shù)末兩位數(shù)能被4(或25)整除，則這個數(shù)能被4(或25)整除。（方法同2，找整百）；

5、若一個整數(shù)末三位數(shù)能被8(或125)整除，則這個數(shù)能被8(或125)整除。（方法同2，找整千）；

6、 若一個整數(shù)末四位數(shù)能被16(或625)整除，則這個數(shù)能被16(或625)整除。（方法同2，找整萬）；

7、 一個三位以上的整數(shù)能否被7（或11、13）整除，從右往左三位斷開，奇數(shù)段與偶數(shù)段分別相加再作差（以大減小）能否被7（或11、13）整除 ，（右往左－三位斷－奇偶分組－求和－再作差）；

8、 一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差（大-小）如果是11的倍數(shù),那么這個整數(shù)也是11的倍數(shù)(比上面方法簡單一點(diǎn)點(diǎn))；

9、判斷一個整數(shù)能否被99、999、9999....整除，可以“從右往左”按照兩位、三位、四位斷開再求和。

• 其實所有關(guān)于“9”的整除原理都一樣

10、若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個；

11、 特別地：1與0的特性

1是任何整數(shù)的因數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a.

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0.

三、關(guān)鍵

數(shù)的整除概念、性質(zhì)及特征為我們解決一些實際問題帶來了很大方便，應(yīng)用廣泛。需要在理解其來源的基礎(chǔ)上掌握。

我們可以用上面的性質(zhì)去判斷能否被給定的數(shù)整除，反過來也可以用相關(guān)的性質(zhì)去解決問題，比如結(jié)合平方數(shù)我們以前提到過的'n2+2'一定不是5的倍數(shù)。

四、經(jīng)典例題

[例1]已知七位數(shù)' 1287xy6' 是72的倍數(shù)，求出所有符合條件的七位數(shù)（江蘇競賽題）

[思路導(dǎo)航]

因為72＝8*9(8、9互質(zhì))

所以只需滿足七位數(shù)能同時被8、9整除即可

如果先從8入手是考慮三位情況較多，所以從9入手

例2、已知a、b是正整（a>b）對于如下兩個結(jié)論：①在a+b、ab、a-b這三個數(shù)中必有2的倍數(shù)，②a+b、ab、a-b必有三的倍數(shù)，其中正確的是（ ）

A 都正確 ，B 都不正確；

C只有①正確 ， D 只有②正確；

[思路導(dǎo)航]因為數(shù)字不確定，但可以結(jié)合奇偶性及余數(shù)的情況進(jìn)行'分類討論'得出結(jié)果，注意利用倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系。

[例3]如果把1－1997這1997個自然數(shù)依次寫下來，我們可以得一個多位數(shù)12345678910111213…1994199519961997，試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù)。

[思路導(dǎo)航]

根據(jù)前面推導(dǎo)能被9整除的數(shù)的特征我們知道：

'一個自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個自然數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)'

所以求這個多位數(shù)除以9的余數(shù)問題，可以先轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少，然后就很好解決了

方法一：因為1至9這9個數(shù)字之和為45

所以10至19，20至29……90至99

這十個組的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：

45+10，45+20……45+90。

所以：1至99這99個自然數(shù)各位數(shù)字之和為：

45+55+65+…+125+135=900

同理可得

1至999這999個自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：

900+1000+…+1700+1800=13500

同理可得

1000至1999這1000個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為

13500+1000=14500

則1至1999這1999個自然數(shù)各數(shù)位的數(shù)字和為：

13500+14500=28000。

1998、1999這兩個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為：27、28。

28000－27－28=27945，

9能整除27945

所以多位數(shù)除以9余0

方法二：

將1至1996這1996個自然數(shù)配成如下的998組：

（1，1996），（2，1995），……

每組兩數(shù)之和為1997

998組所有數(shù)字之和等于：

（1+9+9+7）×998=25948

25948+1997＝27945

所以多位數(shù)除以9余0

方法三：根據(jù)整特性

由任意連續(xù)9個自然數(shù)所組成的多位數(shù)，

一定能被9整除；

而從1至1997一共有1997個數(shù)；

從1開始按9個一組分；

1997÷9=221(組)……8(個)；

1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997；

我們看這8個數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字和為：

19+20+21+22+23+24+25+26=180；

180能被9整除，所以多位數(shù)除以9余0。

（因為任意連續(xù)的9個自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是0，1，2…，7，8這9個數(shù)，而這9個數(shù)的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被9整除。）