等量代換法

整編：育英（李）

　　小朋友們一定都知道曹沖（曹操的兒子）稱(chēng)大象的故事吧。曹沖用一條船，讓大象先上船，看船被河水水面淹到什么位置，然后刻上記號(hào)。把大象趕上岸，再把這條船裝上石塊，當(dāng)船被水面淹沒(méi)到記號(hào)的位置時(shí)，就可以判斷：船上的石塊共有多重，大象就有多重。

　　為什么大象的重量可以換成一船石塊的重量呢？因?yàn)閮纱未鲁梁蟊凰嫠蜎](méi)的深度一樣。只有當(dāng)大象與一船石頭一樣重（重量相等）時(shí)，船才會(huì)被淹沒(méi)得一樣深。

　　“曹沖稱(chēng)象”不是瞎稱(chēng)的，而是運(yùn)用了“等量代換”的思考方法：兩個(gè)完全相等的量，可以互相代換。

　　解決數(shù)學(xué)題，經(jīng)常會(huì)用到這種思考方法。

典型例題

　　例[1]　◎+◎+□=25　 ……（1）

　　□=◎+◎+◎　……（2）

　　◎=？　□=？

　　分析　把兩個(gè)算式編號(hào)為（1）式、（2）式。

把（1）式中的□用（2）式中的三個(gè)◎代換，可得

　　◎+◎+◎+◎+◎=25

　　也就是　◎×5=25

　　解　◎=25÷（2+3）=5

　　□=5+5+5=15

　　例[2]　根據(jù)下圖，求最大的球的克數(shù)。

　　分析 先比較上圖（1）中天平兩端，容易看出：1個(gè)小黑求的重量恰好等于砝碼的重量48克。由圖（2）可知，3　=2　 。這樣可求出小白球的重量。算出小白球的重量后，由圖（3）又可以算出最大球的重量。

　　解 由于　=48和3　=2　，可算出　=48×3÷2=32（克）。

　　答：最大球的重量為：32×4=128（克）

　　例[3]　百貨店運(yùn)來(lái)300雙球鞋，分別裝在2個(gè)木箱、6個(gè)紙箱里。如果2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的球鞋一樣多，想一想：每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙球鞋？

　　分析　根據(jù)“2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的球鞋一樣多”，把木箱換成紙箱，也就是說(shuō)，把300雙球鞋全部用紙箱裝，不用木箱裝。根據(jù)已知條件，2個(gè)木箱里的球鞋剛好裝滿4個(gè)紙箱，再加上原來(lái)已裝好的6個(gè)紙箱，一共是10個(gè)紙箱。這樣，題目就變?yōu)椤鞍?00雙球鞋平均裝在10個(gè)紙箱里，平均每個(gè)紙箱裝多少雙球鞋？”可以求出每個(gè)紙箱裝多少雙鞋，也就能求出一個(gè)木箱能裝多少雙鞋。

　　解　300÷（2×2+6）

　　=300÷10

　　=30（雙）

　　30×2=60（雙）

　　答：每個(gè)紙箱里裝30雙球鞋，每個(gè)木箱里裝60雙球鞋。

　　例[5]　如果魚(yú)尾重4千克，魚(yú)頭重量等于魚(yú)尾加上魚(yú)身一半的重量，而魚(yú)身重量等于魚(yú)頭加魚(yú)尾的重量。問(wèn)這條魚(yú)有多少千克？

　　分析　依題意列出下列等式：

　　尾=4　　 ……（1）

　　頭=尾+身÷2　 ……（2）

　　身=頭+尾　 ……（3）

　　由于等式左右兩邊同乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等，所以把（2）式兩邊同乘以2得：

　　2頭=2尾+身　 ……（4）

　　把（3）式代入（4）式得：

　　2頭=2尾+頭+尾

　　解　頭=3尾=3×4=12（千克）

　　身=頭+尾=12+4=16（千克）、

　　全魚(yú)=頭+身+尾=12+16+4=32（千克）

　　答：這條魚(yú)有32千克。