與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的高考?jí)狠S題解題技巧

1.函數(shù)零點(diǎn)常與導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合用于判斷函數(shù)存在唯一 一個(gè)零點(diǎn)等命題.解題時(shí)常先判斷函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)(存在性),再說(shuō)明函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)即可(唯一性).

2.當(dāng)題目不是求零點(diǎn)，而是利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍時(shí)，一般采用數(shù)形結(jié)合法.

?利用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題模板

處理雙變量不等式問(wèn)題，往往需要先經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃翁幚?，以便靈活構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性加以求解．破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)如下．

1.適當(dāng)變形、靈活轉(zhuǎn)化．結(jié)合題設(shè)條件，有時(shí)需要先對(duì)含有雙變量的不等式進(jìn)行“除法”變形，再對(duì)舍有雙變量的局部代數(shù)式進(jìn)行“換元”處理，將雙變量問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題；有時(shí)需要進(jìn)行“移項(xiàng)”變形，從而使不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

2.構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)．若轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，則可直接構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解；若轉(zhuǎn)化后不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則可根據(jù)該結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解．

經(jīng)典例題：[2016·全國(guó)Ⅰ,21]

已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1＋x2<2.

解析：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).

①設(shè)a＝0,則f(x)＝(x－2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

②設(shè)a>0,則當(dāng)x∈(－∞,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí)，f′(x)>0,所以f(x)在(－∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

又f(1)＝－e,f(2)＝a,

故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).

③設(shè)a<0,由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).

若a≥－e/2,則ln(－2a)≤1,故當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí)，f′(x)>0,因此f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

又當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

若a<－e/2,則ln(－2a)>1,

故當(dāng)x∈(1,ln(－2a))時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(ln(－2a),＋∞)時(shí)，f′(x)>0,因此f(x)在(1,ln(－2a))上單調(diào)遞減，在(ln(－2a),＋∞)上單調(diào)遞增.

又當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍為(0,＋∞).

(2)不妨設(shè)x1<x2.由(1)知，x1∈(－∞,1),x2∈(1,＋∞),2－x2∈(－∞,1),f(x)在(－∞,1)上單調(diào)遞減，所以x1＋x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2－x2),即f(2－x2)<0.