回顧

之前的文章中介紹了高斯在22歲的時(shí)候關(guān)于算術(shù)-幾何平均數(shù)的一些研究，先回顧一下：

對(duì)兩個(gè)正數(shù)a和b，計(jì)算它們的算術(shù)平均（a+b)/2和幾何平均√ab,再計(jì)算兩個(gè)新數(shù)的算術(shù)平均和幾何平均，無限地進(jìn)行下去，這個(gè)過程中兩個(gè)數(shù)會(huì)趨于同一個(gè)極限，高斯將這個(gè)極限叫做a和b的算術(shù)-幾何平均(Arithmetic-Geometric Mean)。記為AGM(a,b)。

用數(shù)學(xué)語言描述，就是:

對(duì)兩個(gè)正數(shù)（不妨設(shè)0<a≤b）,有

然后，高斯發(fā)現(xiàn)了如下定理

這個(gè)表達(dá)式看起來還挺“美”的，如何證明呢？只是計(jì)算平均，最后的表達(dá)式中竟然會(huì)出現(xiàn)π，三角函數(shù)，還有積分，高斯為什么會(huì)想到這些看起來毫無關(guān)聯(lián)的東西呢？？？

先回答第一個(gè)問題。

定理的證明

（這部分比較專業(yè)，有點(diǎn)復(fù)雜，不想了解證明細(xì)節(jié)的話可以跳過直接看第三部分，小編對(duì)這個(gè)證明的一些思考。）

我們知道，一旦正數(shù)a和b確定，則AGM(a,b)也就確定了。AGM(a,b)其實(shí)就是關(guān)于a和b的一個(gè)二元函數(shù)。顯然，這個(gè)二元函數(shù)具有以下性質(zhì)：

(0).非負(fù)性：AGM(a,b)>0

(1).對(duì)稱性：AGM(a,b)=AGM(b,a)

(2).單調(diào)性：若a1≥a2>0,則AGM(a1,b)≥AGM(a2,b)

(3).不變性：AGM(a,b)=AGM(√ab,(a+b)/2)

(4).齊次性：對(duì)任意正數(shù)k,都有AGM(ka,kb)=k*AGM(a,b)

(5).其他性質(zhì)（小編暫時(shí)沒想出來）

非負(fù)性和對(duì)稱性顯然，單調(diào)性也不用說，最為關(guān)鍵的是不變性。這是AGM(a,b)的核心性質(zhì)。想一想，為什么AGM(a,b)=AGM(√ab,(a+b)/2)？

很簡(jiǎn)單，因?yàn)橐詀,b為計(jì)算起點(diǎn)，第一步計(jì)算以后就得到√ab和(a+b)/2，然后是第二步，第三步，最后收斂到的AGM(a,b)既是a和b的算術(shù)-幾何平均，當(dāng)然也是每一步得到的an和bn的算術(shù)-幾何平均。

現(xiàn)在回過頭來看AGM(a,b)的表達(dá)式。如果我們能夠證明，

那么由數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意n都有

則令n趨于無窮，有an和bn趨于AGM(a,b),從而

現(xiàn)在問題就清晰了，只要證明

即可！

維基百科上面給了一個(gè)極其“簡(jiǎn)單”的證明：

對(duì)

只需作變量代換

則

得證！

。。。

。。。

還是別管這個(gè)證明方法，腳踏實(shí)地，一步步來吧。

碰到積不出來的三角函數(shù)的積分，一般思路是變量代換，將三角函數(shù)去掉，變成關(guān)于新變量的一些有理或無理函數(shù)的積分，比如常見的萬能代換。有時(shí)候這個(gè)過程會(huì)也反過來。

第一步，作變量代換t=b tanθ,則

看起來更工整了，而且驚喜的是，a和b的對(duì)稱性非常明顯！之前的表達(dá)式中，a和b前面的系數(shù)一個(gè)是正弦，一個(gè)是余弦，看起來不那么對(duì)稱。而新的表達(dá)式中，a和b的地位完全等同，完美地符合了“對(duì)稱性”的要求。這就是在暗示我們，方向沒錯(cuò)，這個(gè)代換有前途，可以繼續(xù)。

于是問題就變成了證明

將左邊右邊展開，通過“兩面夾”和試湊法，多次嘗試，最后可發(fā)現(xiàn)：

作變量代換

證明完畢。

雖然過程稍顯復(fù)雜，但其實(shí)并沒有什么技術(shù)上的難度。說到底，這只是證明，而不是求解。

事實(shí)上，證明還可以更簡(jiǎn)單。由齊次性可知AGM(a,b)=a*AGM(1,b/a)。所以我們只需要研究1和其他數(shù)的算術(shù)幾何平均，那么就知道任意兩個(gè)數(shù)的算術(shù)幾何平均了。。也就是，證明AGM(1,k)=AGM(√k,(1+k)/2)即可。

本來是求包含兩個(gè)變量的函數(shù)，現(xiàn)在只包含一個(gè)變量，大大大大減小了難度。

這樣又該如何證明呢？這個(gè)小問題留給你們了！

思考

第二個(gè)問題，我想除了高斯，誰也不知道。畢竟斯人已逝，而且高斯常說，“當(dāng)一幢建筑物完成時(shí),應(yīng)該把腳手架拆除干凈”。有數(shù)學(xué)家形容高斯“就像一只狐貍，用尾巴掃砂子來掩蓋自己的足跡”。誰也不知道這個(gè)天才的思維軌跡。

小編不自量力，在此稍作揣摩，見笑大方了。

第一，看本質(zhì)。高斯會(huì)分析這個(gè)算術(shù)-幾何平均AGM(a,b)應(yīng)該具有哪些性質(zhì)。就是上面的幾點(diǎn)，對(duì)稱性，非負(fù)性，不變性，齊次性等等。當(dāng)然，以高斯的眼光，肯定還能看到其他我沒想到的性質(zhì)。

第二，找規(guī)律。高斯當(dāng)然會(huì)計(jì)算一些數(shù)的算術(shù)-幾何平均。由齊次性，他只需要計(jì)算1和其他數(shù)的算術(shù)幾何平均，比如說，

AGM(1,2)=1.4567910310469068692...

AGM(1,3)=1.8636167832448965424...

AGM(1,4)=2.2430285802876025701...

...

似乎沒什么規(guī)律。雜亂無章，但“沒有規(guī)律”也是一種規(guī)律，雜亂無章的數(shù)字，不由地讓人想到，這是不是某個(gè)數(shù)的平方根，立方根？這個(gè)很容易檢驗(yàn)。然后發(fā)現(xiàn)都不是。那會(huì)不會(huì)是超越數(shù)？最常見的超越數(shù)是π和e，那么結(jié)果會(huì)不是和這兩個(gè)數(shù)有關(guān)？

第三，看前人。我想，高斯可能受到歐拉的啟發(fā)。

1728年，數(shù)學(xué)愛好者哥德巴赫希望把階乘推廣到任意實(shí)數(shù)上，比如說，我們知道3!=1×2×3=6，5!=1×2×3×4×5=120，哥德巴赫想，1.4！=？π!=？這個(gè)數(shù)學(xué)愛好者對(duì)此一籌莫展，于是寫信請(qǐng)教歐拉。歐拉經(jīng)過研究，于1729年完美地解決了這個(gè)問題，他通過積分定義了一個(gè)新函數(shù)：

一舉將階乘函數(shù)推廣到可以計(jì)算任意復(fù)數(shù)z的階乘。這就是著名的伽馬函數(shù)。

極其巧合的是，當(dāng)時(shí)歐拉也是22歲。

（備注：后來，出于某種考量，人們把被積函數(shù)中的x^z改成x^(z-1)，成為現(xiàn)在經(jīng)典的伽馬函數(shù)。文章這里寫的是歐拉一開始的形式）

所以高斯也會(huì)嘗試，用積分來定義這個(gè)他找不到初等形式的AGM(a,b)。

這樣，高斯可能拿e試了試，發(fā)現(xiàn)不行，然后再試試會(huì)不會(huì)跟π有關(guān)。想到π，也就想到了三角函數(shù)。再聯(lián)系函數(shù)所具有的性質(zhì)，經(jīng)過直覺和試探，最后高斯終于發(fā)現(xiàn)了AGM(a,b)的表達(dá)式。