作者：“逃學(xué)博士”

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01 開場白

我的大學(xué)《微積分》01：探索數(shù)列與極限的可視化教學(xué)

在第一節(jié)里，我們討論了數(shù)列的一些知識點(diǎn)。在數(shù)列中，每一項(xiàng)的值都與 n 有關(guān)，而 n 是一切正整數(shù)的集合 （1， 2， 3， ... , n ... ）。

自然而然地，如果將 n 的范圍擴(kuò)大到 x軸上的任意數(shù)時(shí)，我們就可以來討論函數(shù)了。

02 “ε-δ”方法

在討論函數(shù)極限的時(shí)候，基本上都是使用 “ε-δ”的方法。而極限也是通過“ε-δ”方法定義的。

對于初學(xué)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)來說，“ε-δ”方法求證函數(shù)極限是非常艱澀難懂的，需要很多題目的練習(xí)才能熟練運(yùn)用。便于大家立即“ε-δ”方法，特意做了一個(gè)動圖去解釋一下。

如圖1所示，“ε-δ”方法的過程：

• 假設(shè)任意一個(gè)正數(shù)

  ε；

• 根據(jù)

  |f(x) - A| < ε

  和

  f(x)

  的定義求得

  x

  與

  ε

  的關(guān)系

  。

• 最后，由

  x

  與

  ε

  的關(guān)系去推導(dǎo)出

  δ。

注意點(diǎn)：一定是先假定 ε，再去推導(dǎo) δ；反過來可不行。

03 左極限和右極限

如圖2所示，在曲線上存在點(diǎn)A，點(diǎn)B和C分別從點(diǎn)A的右側(cè)和左側(cè)不斷向點(diǎn)A逼近。

如果我們將點(diǎn)A強(qiáng)行分成A-（A點(diǎn)左邊）和 A+ (A點(diǎn)右邊）。那么，點(diǎn)C不斷逼近 A-，而點(diǎn)B不斷逼近 A+。

因此，我們就定義 A- 為函數(shù)在點(diǎn)A的左極限，而 A+為函數(shù)在點(diǎn)A的右極限。而圖2 正好是左極限A- 和右極限 A+相等。

左右極限有沒有可能不相等呢？答案：當(dāng)然有可能

圖3中的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，表達(dá)式如下所示。

那么，在 x = 1時(shí)，函數(shù)是否存在左極限和右極限呢？

• 點(diǎn)C從 x = 1的左側(cè)不斷逼近點(diǎn)A，A點(diǎn)即為函數(shù)的左極限；

• 點(diǎn)D從 x = 1的右側(cè)不斷逼近點(diǎn)B，B點(diǎn)即為函數(shù)的右極限；

大家應(yīng)該發(fā)現(xiàn)了，在圖3的情況下，左、右極限都存在，但是不相等。

定理：函數(shù)在 點(diǎn)a 處存在極限 limf(x) = A 的充分必要條件是點(diǎn)A處同時(shí)存在左、右極限，且左、右極限都等于A。

04 x趨于無窮大的極限

前面我們討論了 x 趨向某一點(diǎn)時(shí)的極限問題，如果 x 的絕對值無限增大，那么這種情況的極限又是什么呢？

在圖4的函數(shù) f(x) = 1/x 中，點(diǎn)A和B分別向 x軸 +∞ 和 -∞ 方向運(yùn)動。同時(shí)，我們看到點(diǎn)A和B不斷逼近 x軸。由此，我們可以得出以下結(jié)論：

和大家一起回顧了函數(shù)的極限問題。對于怎么求函數(shù)的極限，我們會在后續(xù)的文章中一一給出講解，大家先將極限的知識給理解通透了即可。

05 總結(jié)

這一節(jié)講了一些微積分前的熱身知識，主要涉及函數(shù)極限問題。

下一節(jié)我們會主要講解 兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則：夾逼定理和單調(diào)有界原理，以及兩個(gè)重要的極限。

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