數(shù)學(xué)中考知識點系統(tǒng)總結(jié)
專題一 數(shù)與式
考點1.1、實數(shù)的概念及分類
1、 實數(shù)的分類
有理數(shù)：整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．如：－3，，0.231，0.737373...，，．
無理數(shù)：無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)如：π，－，0.1010010001...(兩個1之間依次多1個0)．
實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．
2、無理數(shù)
在理解無理數(shù)時，要抓住"無限不循環(huán)"這一時之，它包含兩層意思：一是無限小數(shù)；二是不循環(huán)．二者缺一不可．歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數(shù)，如等；
（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等；
（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001...等；
?。?）某些三角函數(shù)，如sin60o等
注意：判斷一個實數(shù)的屬性(如有理數(shù)、無理數(shù))，應(yīng)遵循：一化簡，二辨析，三判斷．要注意："神似"或"形似"都不能作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)．
3、非負(fù)數(shù)：正實數(shù)與零的統(tǒng)稱。（表為：x≥0）
常見的非負(fù)數(shù)有：
性質(zhì)：若干個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。
4、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。
解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。
①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸（"三要素"）
②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。
③如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。
作用：A.直觀地比較實數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對值意義;C.建立點與實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系。
5、相反數(shù)
實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。即：(1)實數(shù)的相反數(shù)是．(2)和互為相反數(shù)．
6、絕對值
一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。
(1)一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．即：﹝另有兩種寫法﹞
(2)實數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離．
☆(3)幾個非負(fù)數(shù)的和等于零則每個非負(fù)數(shù)都等于零，例如：若，則，，．
注意：│a│≥0,符號"││"是"非負(fù)數(shù)"的標(biāo)志;數(shù)a的絕對值只有一個;處理任何類型的題目，只要其中有"││"出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉"││"符號。
7、倒數(shù)
如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。
即(1)實數(shù)(≠0)的倒數(shù)是．
(2)和互為倒數(shù)。
(3)注意0沒有倒數(shù)．
8、有效數(shù)字
一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。
9、科學(xué)記數(shù)法
把一個數(shù)寫做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。
（1）確定：是只有一位整數(shù)數(shù)位的數(shù)．
（2）確定n：當(dāng)原數(shù)≥1時，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；；當(dāng)原數(shù)<1時，是負(fù)整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)（含整數(shù)位上的零）。
例如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10ˉ5．
（3）.近似值的精確度：一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位
（4）按精確度或有效數(shù)字取近似值，一定要與科學(xué)計數(shù)法有機結(jié)合起來．
10、實數(shù)大小的比較
知識1、數(shù)軸
規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。
解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。
知識2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法
?。?）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，
?。?）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，
（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。
（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。
11、實數(shù)的運算 （做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大）
1、加法交換律
2、加法結(jié)合律
3、乘法交換律
4、乘法結(jié)合律
5、乘法對加法的分配律
6、實數(shù)的運算順序
1． 先算乘方開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。
2． （同級運算）從"左"到"右"（如5÷×5）;(有括號時)由"小"到"中"到"大"。
12、有理數(shù)的運算：
加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數(shù)與0相加不變。
減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。
乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。
除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。
乘方：求N個相同因數(shù)A的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。
考點1.2、實數(shù)與二次根式
1、平方根
如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一個正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。
正數(shù)a的平方根記做""。
2、算術(shù)平方根
正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作""。
正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。
（0）
；注意的雙重非負(fù)性：
-（<0） 0
注意：算術(shù)平方根與絕對值
① 聯(lián)系：都是非負(fù)數(shù)，=│a│
②區(qū)別：│a│中，a為一切實數(shù);中，a為非負(fù)數(shù)。
3、算術(shù)平方根的估算方法：兩端逼近法．
例如：估算．(精確到0．1)∵∴．又∵，
又∵6更靠近5．76，∴ 4、立方根
如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。
注意：，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。
二次根式
5、二次根式
式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號""；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。
6、最簡二次根式
若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。
化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：
?。?）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。
?。?）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。
7、同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。
8、二次根式的性質(zhì)
（1）
?。?）
?。?）
（4） 注：
9、根式運算法則：
?、偶臃ǚ▌t（合并同類二次根式）;
?、瞥恕⒊ǚ▌t;
?、欠帜赣欣砘篈.;B.;C..
10.指數(shù)
⑴ (-冪，乘方運算)
① a＞0時，＞0;②a＜0時，＞0（n是偶數(shù)），＜0（n是奇數(shù)）
⑵零指數(shù)：=1（a≠0）
負(fù)整指數(shù)：=1/（a≠0,p是正整數(shù)）
11、二次根式混合運算
二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。
考點1.3、代數(shù)式與整式
1、代數(shù)式
用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。
表示方根的代數(shù)式叫做根式。
含有關(guān)于字母開方運算的代數(shù)式叫做無理式?！ ∽⒁猓孩購耐庑紊吓袛?②區(qū)別：、是根式，但不是無理式（是無理數(shù)）。
2、單項式
只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。
注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如是6次單項式。
注意：系數(shù)與指數(shù)：區(qū)別與聯(lián)系：①從位置上看;②從表示的意義上看
其含義有：
①不含有加、減運算符號．
②字母不出現(xiàn)在分母里．
③單獨的一個數(shù)或者字母也是單項式．
④不含"符號"．多項式 3、多項式
幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。
單項式和多項式統(tǒng)稱整式。
用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。
注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。
（2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體"代入。
4、同類項
所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。
條件：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同
合并依據(jù)：乘法分配律
5、去括號法則
?。?）括號前是"+"，把括號和它前面的"+"號一起去掉，括號里各項都不變號。
?。?）括號前是"﹣"，把括號和它前面的"﹣"號一起去掉，括號里各項都變號。
6、整式的運算法則
整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。
整式的乘法： 整式的除法：
注意：（1）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。
（2）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。
（3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號。
（4）多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。
（5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。（6）（7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以多項式是不能這么計算的。
考點1.4、整式的乘除 同上
考點1.5、因式分解
1、因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
2、因式分解的常用方法
?。?）提公因式法：
?。?）運用公式法：①
擴展：
② 擴展： 或
同理：或
③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．
公式拓展：⑥
⑦⑧ ?、? ⑩
?、? （3）分組分解法：
?。?）十字相乘法：
3、因式分解的一般步驟：
?。?）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。
?。?）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
?。?）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
考點1.6、分式
1、分式的概念
一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。
2、分式的性質(zhì)
（1）分式的基本性質(zhì)：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。
基本性質(zhì)：=（m≠0）
（2）分式的變號法則：
分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。
符號法則：
3、分式的運算法則 技巧：
4、繁分式：①定義：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化簡方法（兩種）通常把繁分式寫成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法則進(jìn)行化簡．
專題二 方程與不等式
方程的分類
考點2.1 一元一次方程及可以化為一元一次方程的分式方程
一元一次方程的概念
1、方程
含有未知數(shù)的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
3、等式的性質(zhì)
（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。
a=b←→a+c=b+c
?。?）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。
a=b←→ac=bc (c≠0)
4、一元一次方程
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。
注意：解法
一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→
系數(shù)化成1→解。驗根
說明：對于以為未知數(shù)的最簡方程，若沒有給出字母a和b的取值范圍，其解有下面三種情況：
①時一元一次方程，有唯一解．
②，時，方程無解．
③，時，方程有無數(shù)個解．
分式方程
5、分式方程
分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
6、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是將"分式方程"轉(zhuǎn)化為"整式方程"。它的一般解法是：
?。?）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母
（2）解所得的整式方程
?。?）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。
7、分式方程的特殊解法
換元法：
換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。
注意．方程的增根與遺根
(1)在方程變形時，能產(chǎn)生不適合原方程的根叫做方程的增根．
(2)在方程變形時，由于盲目變形，在方程的兩邊同除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而導(dǎo)致方程遺根．
8、常用的相等關(guān)系
1． 行程問題（勻速運動）
基本關(guān)系：s=vt
?、畔嘤鰡栴}(同時出發(fā))： +=; ⑵追及問題（同時出發(fā)）： 若甲出發(fā)t小時后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則 ⑶水中航行：;
⑷配料問題：溶質(zhì)=溶液×濃度
溶液=溶質(zhì)+溶劑
?、桑鲩L率問題：
?、剩こ虇栴}：基本關(guān)系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看著單位"1"）。
?、耍畮缀螁栴}：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。
注意語言與解析式的互化
如，"多"、"少"、"增加了"、"增加為（到）"、"同時"、"擴大為（到）"、"擴大了"、......
又如，一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c，則這個三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是abc。
注意從語言敘述中寫出相等關(guān)系。
如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。㈤注意單位換算
如，"小時""分鐘"的換算;s、v、t單位的一致等。
列方程（組）解應(yīng)用題
是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的一個重要方面。其具體步驟是：
⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。
?、圃O(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。
⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。
⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。
?、山夥匠碳皺z驗。
?、蚀鸢?。
綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。
考點2.2 二元一次方程組
1、二元一次方程
含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。
3、二元一次方程組
兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。一般形式：（不全為0）
4二元一次方程組的解
使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。
5、二元一次方程組的解法
基本思想："消元"
解法：（1）代入法（2）加減法⑶二元一次方程組一元一次方程組．
6、三元一次方程
把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。
7、三元一次方程組
由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。(1)一般形式：
(2)解法：
三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組．
考點2.3一元一次不等式〔組〕
1、不等式
用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
2、不等式的解集
對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。
對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。
求不等式的解集的過程，叫做解不等式。
3、用數(shù)軸表示不等式的方法
4、不等式基本性質(zhì)
⑴、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。
?、啤⒉坏仁絻蛇叾汲艘裕ɑ虺裕┩粋€正數(shù)，不等號的方向不變。
?、恰⒉坏仁絻蛇叾汲艘裕ɑ虺裕┩粋€負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。
不等式的性質(zhì)：⑴a>b←→a+c>b+c
?、芶>b←→ac>bc(c>0)
?、莂>b←→ac<bc(c<0)
?、龋▊鬟f性）a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5、一元一次不等式
⑴、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
?、?、一元一次不等式的解法 （在數(shù)軸上表示解集）
解一元一次不等式的一般步驟：
?。?）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1
即通過去分母、去括號、移項合并同類項，把不等式化為(或)()的形式，再把系數(shù)化為1得出不等式的解集．
說明：在去分母和化系數(shù)為l時，需特別注意不等式兩邊同時乘以(或除以)一個負(fù)數(shù)，要將不等號改變方向，其解集情況如下：
①當(dāng)時，(或)．
②當(dāng)時，(或)．
③當(dāng)時，若，不等式無解(或不等式的解集為一切實數(shù))．
④當(dāng)時，若，不等式的解為一切實數(shù)(或不等式無解)．
6、一元一次不等式組
⑴、一元一次不等式組的概念
幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。
幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。
當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
?、?、一元一次不等式組的解法 （在數(shù)軸上表示解集）
?。?）分別求出不等式組中各個不等式的解集
（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。
即先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即為不等式組的解集．
兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的一般情況可見下表(其中)．口訣不等式組解集在數(shù)軸上表示
同小取小
同大取大
大小取中
兩背為空
不等式組無解
考點2.4 一元二次方程
1、一元二次方程
含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。
3、一元二次方程的解法
?、?、直接開平方法
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時，，，當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。
?、?、配方法
配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。
?、邸⒐椒? 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式： ④、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。
4、一元二次方程根的判別式
根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用""來表示，即
①方程有兩個不相等的實數(shù)根．
②方程有兩個相等的實數(shù)根．
③方程無實數(shù)根．
④方程有兩個實數(shù)根。反之：①一元二次方程有兩個不等實根
②一元二次方程有兩個相等實根
③一元二次方程無實根
④一元二次方程有兩個實根
結(jié)論：（1）若二次三項式是完全平方式，則方程的判別式=0。
（2）方程有實數(shù)根，包括兩種情況：①有兩個實數(shù)根，②，只有一個實數(shù)根。
說明：根的判別式最常見的用法有：
?、俨唤夥匠膛袆e一元二次方程根的情況。
?、谟煞匠谈那闆r確定某些字母的值或范圍．
5、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。
注意⑴逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。
?、瞥Ｓ玫仁剑骸 、?，⑷
6、一元二次方程的應(yīng)用題
（1）商品利潤問題：每件商品利潤=售價-進(jìn)價
漲價時：
商品總利潤=每件商品利潤×商品件數(shù)=(原來利潤+漲價)×（原來件數(shù)-減少件數(shù)）
降價時：
商品總利潤=每件商品利潤×商品件數(shù)=(原來利潤-降價)×（原來件數(shù)+增加件數(shù)）
（2）增長率問題：
①（其中是原來數(shù)量，是增長次數(shù)，是次增長后到達(dá)數(shù)）②
（3）矩形內(nèi)修路問題的常用思路是用平移集中法。
列方程(組)解應(yīng)用題，千萬不要死記硬背例題的類型及其解法，要具體問題具體分析，一般來講，應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：
1．審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能找出能夠表示應(yīng)用問題的全部含義的等量關(guān)系．
2．設(shè)未知數(shù)：選擇一個或幾個適當(dāng)?shù)奈粗?，用字母表示，并根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的未知量．
3．列方程(組)：根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)．
4．解方程(組)：其過程可以省略，但要注意技巧和方法。
5．檢驗：首先檢查所列方程(組)是否正確，然后檢驗所得方程的解是否符合題意．
6．寫答：不要忘記單位名稱．
7、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡公分母．
②特殊解法：換元法．
(2)驗根：由于在去分母過程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴大而有可能產(chǎn)生增根．因此，驗根是解分式方程必不可少的步驟，一般把整式方程的根的值代人最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．
說明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法．
8．二元二次方程組
(1)由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組．
(2)由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組．
基本解法是：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；降次，轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．
專題三 函數(shù)
考點3.1 位置與坐標(biāo)
1、平面直角坐標(biāo)系
在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。
其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。
為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。
2、點的坐標(biāo)的概念
點的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有"，"分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo)
點的坐標(biāo)：設(shè)點P是坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點，由點P向軸作垂線，垂足對應(yīng)著軸上的一個實數(shù)；由點P向軸作垂線，垂足對應(yīng)著軸上一個實數(shù)，則點P的坐標(biāo)就是()，其中叫點P的橫坐標(biāo)，叫做點P的縱坐標(biāo)．
說明：點的坐標(biāo)的定義實際上給出了求點的坐標(biāo)的一種非常重要的方法，要注意橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的順序不能顛倒．
3、不同位置的點的坐標(biāo)的特征
﹝1﹞、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征
點P(x,y)在第一象限
點P(x,y)在第二象限
點P(x,y)在第三象限
點P(x,y)在第四象限
﹝2﹞、坐標(biāo)軸上的點的特征
點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)
點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)
點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0）
﹝3﹞、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征
點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等
點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)
﹝4﹞、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征
位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。
位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。
﹝5﹞、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點對稱的點的坐標(biāo)的特征
點關(guān)于x軸的對稱點是．
點關(guān)于y軸的對稱點是．
點關(guān)于原點的對稱點是．
﹝6﹞、點到坐標(biāo)軸及原點的距離
點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：
點P(x,y)到x軸的距離等于
點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于
點P(x,y)到原點的距離等于
☆．﹝7﹞ (1)若PQ∥x軸，則．
． (2)若PQ∥y軸，則．
☆﹝8﹞．若，，當(dāng)是線段AB的中點時
*﹝9﹞.若，，則
﹝10﹞．坐標(biāo)平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對(x，y)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系．
考點3.2 函數(shù)的表示
函數(shù)的概念
1．常量與變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；在某一變化過程中保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量．
2．函數(shù)：在某一變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，其中x做自變量，y是因變量．
(1)自變量取值范圍的確定
①整式函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù)．
②分式函數(shù)自變量的取值范圍是使分母不為0的實數(shù)．
③二次根式函數(shù)自變量的取值范嗣是使被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的實數(shù)，若涉及實際問題的函數(shù)，除滿足上述要求外還要使實際問題有意義．
(2)函數(shù)值：對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應(yīng)值．
3．函數(shù)常用的表示方法：解析法、列表法、圖象法．由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖象，一般步驟是：列表、描點、連線．
考點3.3 一次函數(shù)
1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念
一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為0時，（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。
☆說明：直線位置與常數(shù)的關(guān)系
(1)決定直線的傾斜角(直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角的大小)．
①傾斜角為銳角．
②直線過點(0，b)且平行于x軸的直線．
③傾斜角為鈍角．
(2)b決定直線與y軸交點的位置．
①b>0直線與y軸交點在x軸的上方．
②b=0直線過原點．
③b<0直線與y軸交點在x軸的下方；
(3)如圖l，
(4)如圖2，
(5)設(shè)直線上有兩點，，則
2、一次函數(shù)的圖像
所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線函數(shù)解析式
自變量取值范圍圖象增減性
正比例函數(shù)
全體實數(shù)
①當(dāng)k>0時，y隨x增大而增大；
②當(dāng)k><0時，y隨x增大而減小。
一次函數(shù)
全體實數(shù)
3、 一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：
一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號
函數(shù)圖像
圖像特征k>0b>0y0 x
圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y
0 x
圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0b>0y0 x
圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y
0 x
圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。
注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。
4、正比例函數(shù)的性質(zhì)
一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：
?。?）當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
（2）當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
5、一次函數(shù)的性質(zhì)
一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)：
?。?）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大
（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小
6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定
確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。
斜率： b為直線在y軸上的截距
①直線的斜截式方程，簡稱斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
②由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:
③由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距
式方程，簡稱截距式：
④設(shè)兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若
⑤點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離:
考點3.4、反比例函數(shù)
1、反比例函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。
2、反比例函數(shù)的圖像
反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。
3、反比例函數(shù)的性質(zhì)
反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖像yO xyO x性質(zhì)①x的取值范圍是x0，
y的取值范圍是y0；
②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別
在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y
隨x 的增大而減小。
①x的取值范圍是x0，
y的取值范圍是y0；
②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別
在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y
隨x 的增大而增大。
4、反比例函數(shù)解析式的確定
確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。
5、的幾何意義
設(shè)是反比例函數(shù)圖象上任一點，過點P作軸、軸的垂線，垂足為A，則
（1）△OPA的面積．
（2）矩形OAPB的面積。這就是系數(shù)的幾何意義．并且無論P怎樣移動，△OPA的面積和矩形OAPB的面積都保持不變。
矩形PCEF面積=，平行四邊形PDEA面積= 考點3.5、 二次函數(shù)
二次函數(shù)的概念和圖像
1、二次函數(shù)的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)。
叫做二次函數(shù)的一般式。
2、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特征：
?、儆虚_口方向；②有對稱軸；③有頂點。
3、二次函數(shù)圖像的畫法
五點法：
（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸
?。?）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：
當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。
當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。
4、二次函數(shù)的解析式 （10~16分）
二次函數(shù)的解析式有三種形式：
?。?）一般式：
?。?）頂點式：
?。?）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。
注意：拋物線位置由決定．
(1)決定拋物線的開口方向
①開口向上．
②開口向下．
(2)決定拋物線與y軸交點的位置．
①圖象與y軸交點在x軸上方．
②圖象過原點．
③圖象與y軸交點在x軸下方．
(3)決定拋物線對稱軸的位置(對稱軸：)
①同號對稱軸在y軸左側(cè)．
②對稱軸是y軸．
③異號對稱軸在y軸右側(cè)．
(4)頂點坐標(biāo)．
(5)決定拋物線與x軸的交點情況．、
①△>0拋物線與x軸有兩個不同交點．
?、凇?0拋物線與x軸有唯一的公共點(相切)．
?、邸?lt;0拋物線與x軸無公共點．
(6)二次函數(shù)是否具有最大、最小值由a判斷．
?、佼?dāng)a>0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值．
②當(dāng)a<0時，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值．
（7）的符號的判定：
表達(dá)式，請代值，對應(yīng)y值定正負(fù)；
對稱軸，用處多，三種式子相約；
軸兩側(cè)判，左同右異中為0；
1的兩側(cè)判，左同右異中為0；
-1兩側(cè)判，左異右同中為0.
?。?）函數(shù)圖象的平移：左右平移變x，左+右－；上下平移變常數(shù)項，上+下-；平移結(jié)果先知道，反向平移是訣竅；平移方式不知道，通過頂點來尋找。
?。?）對稱：關(guān)于x軸對稱的解析式為，關(guān)于y軸對稱的解析式為，關(guān)于原點軸對稱的解析式為，在頂點處翻折后的解析式為（a相反，定點坐標(biāo)不變）。
?。?0）結(jié)論：①二次函數(shù)(與x軸只有一個交點二次函數(shù)的頂點在x軸上Δ=0；
②二次函數(shù)(的頂點在y軸上二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；
③二次函數(shù)(經(jīng)過原點，則。
（11）二次函數(shù)的解析式：
①一般式：(，用于已知三點。
②頂點式：，用于已知頂點坐標(biāo)或最值或?qū)ΨQ軸。
（3）交點式：，其中、是二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)。若已知對稱軸和在x軸上的截距，也可用此式。
5、二次函數(shù)的最值 （10分）
如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，。
如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時，。
6、二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y
0 xy0 x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；
（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；
（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；
（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，
（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；
（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；
（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；
（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，
7、二次函數(shù)中，的含義：
表示開口方向：>0時，拋物線開口向上
<0時，拋物線開口向下
與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=
表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0，）
8、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。
因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。
當(dāng)>0時，圖像與x軸有兩個交點；
當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點；
當(dāng)<0時，圖像與x軸沒有交點。
補充：
1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）
y
如圖：點A坐標(biāo)為（x1，y1）點B坐標(biāo)為（x2，y2）
則AB間的距離，即線段AB的長度為 A 0 x1 B 2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）
左加右減、上加下減
開口方向?qū)ΨQ軸直線直線直線
頂點坐標(biāo)()增減性
當(dāng)時，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減少；最值當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，求用代入法 考點3.6、 二次函數(shù)的應(yīng)用題
考點3.7、 用函數(shù)觀念看方程與不等式
方程思想
數(shù)學(xué)思想 函數(shù)思想
轉(zhuǎn)化思想
數(shù)形結(jié)合
分類討論
y ＝0 一元一次方程 kx﹢b ＝0 直線與x軸交點
y＞0 kx﹢b ＞0 x軸上方部分
y＜0 一元一次不等式 kx﹢b ＜0 x軸下方部分
二元一次方程組 解是坐標(biāo) 坐標(biāo)是解
y＝0一元二次方程 ＝0 與x軸交點
y＞0 ＞0 x軸上方部分
y＜0一元二次不等式 ＜0 x軸下方部分
解是橫坐標(biāo) 橫坐標(biāo)是解
專題四 空間圖形與證明
考點4.1 點 線 面 相交線 平行線和視圖
直線、射線和線段
1、幾何圖形
從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。
立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。
平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。
2、點、線、面、體
?。?）幾何圖形的組成
點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。
線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。
面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。
體：幾何體也簡稱體。
?。?）點動成線，線動成面，面動成體。
3、直線的概念
一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。
4、射線的概念
直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。
5、線段的概念
直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。
6、點、直線、射線和線段的表示
在幾何里，我們常用字母表示圖形。
一個點可以用一個大寫字母表示。
一條直線可以用一個小寫字母表示。
一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。
一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。
注意：
?。?）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。
?。?）直線和射線無長度，線段有長度。
?。?）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。
?。?）點和直線的位置關(guān)系有線面兩種：
?、冱c在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。
?、邳c在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。
7、直線的性質(zhì)
?。?）直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。
?。?）過一點的直線有無數(shù)條。
（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。
?。?）直線上有無窮多個點。
?。?）兩條不同的直線至多有一個公共點。
8、線段的性質(zhì)
（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。
?。?）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。
?。?）線段的中點到兩端點的距離相等。
?。?）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。
9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理
垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。
逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
角
10、角的相關(guān)概念
有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。
當(dāng)角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。
如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。
如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。
11、角的表示
角可以用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：
?、儆脭?shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。
?、谟眯懙南ＥD字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
?、塾靡粋€大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。
?、苡萌齻€大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。
12、角的度量
角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用"°"表示，1度記作"1°"，n度記作"n°"。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1'"。
把1' 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1""。
1°=60'=60"
13、角的性質(zhì)
?。?）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。
（2）角的大小可以度量，可以比較
（3）角可以參與運算。
15、角的平分線及其性質(zhì)
一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
角的平分線有下面的性質(zhì)定理：
?。?）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
相交線
16、相交線中的角
兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。
臨補角互補，對頂角相等。
直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。
17、垂線
兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
直線AB，CD互相垂直，記作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，讀作"AB垂直于CD"（或"CD垂直于AB"）。
垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。
平行線 （3~8分）
18、平行線的概念
在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號"∥"表示，如"AB∥CD"，讀作"AB平行于CD"。
同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。
注意：
?。?）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。
?。?）當(dāng)遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。
19、平行線公理及其推論
平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
20、平行線的判定
平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。
平行線的兩條判定定理：
（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
?。?）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。
補充平行線的判定方法：
?。?）平行于同一條直線的兩直線平行。
?。?）垂直于同一條直線的兩直線平行。
?。?）平行線的定義。
21、平行線的性質(zhì)
?。?）兩直線平行，同位角相等。
（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。
?。?）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。
命題、定理、證明
22、命題的概念
判斷一件事情的語句，叫做命題。
理解：命題的定義包括兩層含義：
?。?）命題必須是個完整的句子；
?。?）這個句子必須對某件事情做出判斷。
命題的分類（按正確、錯誤與否分）
真命題（正確的命題）
命題
假命題（錯誤的命題）
所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。
所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。公理 人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。
定理
用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。
證明
判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。
證明的一般步驟
?。?）根據(jù)題意，畫出圖形。
?。?）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。
?。?）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。
投影與視圖
23、投影
投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。
平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。
中心投影：由同一點發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。
24、視圖
當(dāng)我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。
主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。
俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。
左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側(cè)視圖。
考點4.2、三角形及全等
三角形知識結(jié)構(gòu)
1、三角形的概念
由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。
2、三角形中的主要線段
?。?）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
?。?）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
?。?）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
3、三角形的穩(wěn)定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。
4、三角形的特性與表示
三角形有下面三個特性：
?。?）三角形有三條線段
?。?）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形
（3）首尾順次相接
三角形用符號""表示，頂點是A、B、C的三角形記作"ABC"，讀作"三角形ABC"。
5、三角形的分類
三角形按邊的關(guān)系分類如下：
不等邊三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
三角形按角的關(guān)系分類如下：
直角三角形（有一個角為直角的三角形）
三角形 銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）
斜三角形
鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）
把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論
（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
?。?）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：
?、倥袛嗳龡l已知線段能否組成三角形
?、诋?dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。
?、圩C明線段不等關(guān)系。
7、三角形的內(nèi)角和定理及推論
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。
推論：
?、僦苯侨切蔚膬蓚€銳角互余。
?、谌切蔚囊粋€外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。
?、廴切蔚囊粋€外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。
注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
8、三角形的面積 三角形的面積=×底×高
全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。
2、全等三角形的表示和性質(zhì)
全等用符號"≌"表示，讀作"全等于"。如△ABC≌△DEF，讀作"三角形ABC全等于三角形DEF"。
注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
?。?）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成"邊角邊"或"SAS"）
（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成"角邊角"或"ASA"）
?。?）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成"邊邊邊"或"SSS"）。
直角三角形全等的判定：
對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）
4、全等變換
只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。
全等變換包括一下三種：
?。?）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。
?。?）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。
?。?）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。
考點4.3 等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
?。?）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。
?。?）等腰三角形的其他性質(zhì)：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°
?、诘妊切蔚牡捉侵荒転殇J角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
?、鄣妊切蔚娜呹P(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a
④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推論：
定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
等腰三角形的性質(zhì)與判定
等腰三角形性質(zhì)
等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；
2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。
1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；
2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形
角平分線
1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；
2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。
1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形；
2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；
2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。
1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形；
2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。角等邊對等角
等角對等邊邊底的一半<腰長<周長的一半
兩邊相等的三角形是等腰三角形
4、三角形中的中位線
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
?。?）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。
?。?）要會區(qū)別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。
數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
注意：重要輔助線
?、胖悬c配中點構(gòu)成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線
證明方法
?、胖苯幼C法：綜合法、分析法
?、崎g接證法-反證法：①反設(shè)②歸謬③結(jié)論
?、亲C線段相等、角相等常通過證三角形全等
?、茸C線段倍分關(guān)系：加倍法、折半法
?、勺C線段和差關(guān)系：延結(jié)法、截余法
?、首C面積關(guān)系：將面積表示出來
考點4.4 直角三角形
1、有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC寫作Rt△ABC。
直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：2、性質(zhì) 性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個銳角互余
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R＝C/2）。
性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。
性質(zhì)5: 射影定理
在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的射影和斜邊的比例中項
∠ACB=90°
CD⊥AB （４）ABCD=ACBC(可用面積來證明）
(5)直角三角形的外接圓的半徑R=1/2BC,
(6)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；
r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
性質(zhì)6:在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。
3、判定方法：
判定1：有一個角為90°的三角形是直角三角形。
判定2：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形。
判定3： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。
判定4：若一個三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，那么這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。
判定5：兩個銳角互余的三角形是直角三角形。
判定6：在直角三角形中，60度內(nèi)角所對的直角邊等于斜邊的 根號3/2
判定7：在證明直角三角形全等的時候 可以利用HL 兩個三角形的斜邊長對應(yīng)相等 以及一個直角邊對應(yīng)相等 可判斷兩直角
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