“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積、空間點、線、面位置關系(特別是平行與垂直)．

考查一個小題時，本小題一般會出現(xiàn)在第6～7題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第9～11題的位置上，本小題雖然難度稍高，但主要體現(xiàn)在計算量上，實質仍是對基礎知識、基本公式的考查．

解答題多出現(xiàn)在第18或19題的位置，其基本模式是“一證明二計算”，即T3第(1)問考查空間平行或垂直關系的證明，第(2)問考查利用空間向量求異面直線所成的角、線面角或二面角，難度中等偏上．

1．(必修2 P78復習參考題A組T7改編)正四棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為(　　)

A．25π　　　　　　　            B．π

C.π                                      D．π

　C　[解析] 由三視圖畫出直觀圖與其外接球示意圖，且設O₁是底面中心．

由三視圖知，O₁A＝，O₁P＝，所以正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在線段O₁P上．

設球O的半徑為R.

由O₁O²＋O₁A²＝OA²得(－R)²＋()²＝R².

所以R＝ .

則外接球的表面積為S＝4πR²＝4π·＝π.

2．(必修2 P10習題1.1B組T1改編)如圖，若Ω是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EFGH截去幾何體EFGHB₁C₁后得到的幾何體，其中E為線段A₁B₁上異于B₁的點，F為線段BB₁上異于B₁的點，且EH∥A₁D₁，則下列結論中不正確的是(　　)

A．EH∥FG

B．四邊形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱

D．Ω是棱臺

　D　[解析] 因為EH∥A₁D₁，A₁D₁∥B₁C₁，EH?平面BCC₁B₁，所以EH∥平面BCC₁B₁.又因為平面EFGH∩平面BCC₁B₁＝FG，所以EH∥FG，且EH＝FG，由長方體的特征知四邊形EFGH為矩形，此幾何體為五棱柱，所以選項A，B，C都正確．故選D．

3.(必修2 P45例2改編)如圖所示，四邊形EFGH為空間四面體A-BCD的一個截面，若截面為平行四邊形．AB＝4，CD＝6，則截面平行四邊形的周長的取值范圍為(　　)

A．(4，6)　　                           B．(6，10)

C．(8，12)                               D．(10，12)

　C　[解析] 因為四邊形EFGH為平行四邊形，

所以EF∥HG，

因為HG?平面ABD，

所以EF∥平面ABD．

因為EF?平面ABC，

平面ABD∩平面ABC＝AB，

所以EF∥AB．

同理EH∥CD，

設EF＝x(0<x<4)，＝＝，

則＝＝＝1－.

從而FG＝6－x.

所以四邊形EFGH的周長l＝2(x＋6－x)＝12－x，

又0<x<4，則有8<l<12.

即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12)．

4．(選修2-1 P118復習參考題A組T12改編)在平面四邊形ACBD(圖①)中，△ABC與△ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB，設AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，將△ABC沿AB折起，構成如圖②所示的三棱錐C′-ABD，且使C′D＝.

(1)求證：平面ABC′⊥平面DAB；

(2)求二面角A-C′D-B的余弦值．

[解] (1)證明：取AB的中點O，連接C′O，DO.

在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，

則C′O＝DO＝1，

因為C′D＝，

所以C′O²＋DO²＝C′D²，

即C′O⊥OD．

又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD?平面ABD，

所以C′O⊥平面ABD．

因為C′O?平面ABC′，

所以平面ABC′⊥平面DAB．

(2)以O為原點，AB，OC′所在的直線分別為y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D，

所以＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，＝.

設平面AC′D的法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，則

，即，即，

令z₁＝1，則y₁＝－1，x₁＝，

所以n₁＝(，－1，1)．

設平面BC′D的法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，

則，即，

即，

令z₂＝1，則y₂＝1，x₂＝，

所以n₂＝，

所以cos〈n₁，n₂〉＝

＝＝，

結合圖形知，二面角A-C′D-B的余弦值為－.