貝葉斯定理是什么，有什么用處？可能很多人都聽過這個貝葉斯定理，卻對它一知半解。事實上，不懂貝葉斯定理不會讓我們的生活崩塌，不會讓我們的生活一團亂麻，但是一旦掌握了貝葉斯定理，在很多決策場景中，我們將會變得更加明智。

今天我們將通過一個實際生活中的案例，用最通俗的方式幫助大家理解它。后續(xù)的話，我會為大家講解如何用Python在實際案例中應用貝葉斯定理，感興趣的朋友歡迎關注哦。

小明到底有沒有得癌癥？

這是一個非常經(jīng)典的案例，令人難以想象的是，很多時候一些醫(yī)生的誤診竟是因為他們不懂貝葉斯定理！

考慮這樣的場景，醫(yī)生常通過某種血檢來輔助判斷病人是否罹患某種癌癥。但是這種血檢返回的結果并不是百分百的精準，當患者的確患病時，血檢返回陽性的概率為98%；當患者沒有患病時，血檢返回陰性的概率為97%。已知有千分之一的人會得這種癌癥。

現(xiàn)在小明做了這種血檢，并且檢測結果顯示陽性，那么請問他得病的可能性大，還是沒病的可能性大呢？

用直覺來判斷，是不是第一反應就是小明大概率得了這種癌癥了？

然而事實并非如此，小明得病的概率僅有3.17%！是不是非常難以置信？檢驗為陽性的時候，小明患病的概率竟然只有3.17%！現(xiàn)在應該很多同學不認可這個結果，那么接下來我們就看一下貝葉斯定理是個什么東西。

條件概率

認識貝葉斯定理之前，我們有必要先了解下條件概率以及它的一些性質(zhì)。

條件概率是指在某些背景約束（或前提條件）下某事件發(fā)生的概率，比如令一名學生考上清華大學作為事件A，其概率為P(A)，學生是女生作為事件B，其概率為P(B)，那么在學生是女生的前提條件下，學生考上清華的概率就是P(A|B)。下面我們分別考慮事件A與事件B之間是否相互獨立的情況。

• 事件A與事件B相互獨立：
• 如果事件A和時間B是相互獨立的，那么P(A)=P(A|B)，無論B是否發(fā)生，對于事件A的發(fā)生沒有影響，這時也有P(AB)=P(A)P(B)，即事件A、B同時發(fā)生的概率是兩個事件各自發(fā)生概率的乘積。
• 事件A與事件B之間不相互獨立：
• 事件A、B同時發(fā)生的概率為P(AB)，那么P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，也就是說兩事件同時發(fā)生的概率為其中一個事件發(fā)生的概率乘以在該事件發(fā)生的前提下另一事件發(fā)生的概率。無論事件A、B之間是否相互獨立，這個等式都成立，它就是貝葉斯定理的基礎。

貝葉斯定理

從式（1）可以得知：

式（2）就是鼎鼎大名的貝葉斯定理了，我們來從另一個角度理解一下它的意義。我們用數(shù)據(jù)集D替換事件B，用假設H替換事件A，得到：

這就給我們提供了一種方法，可以根據(jù)數(shù)據(jù)集D的變化不斷更新假設H發(fā)生的概率，這種方式被稱作“歷史詮釋”。

• P(H)可以理解為假設H發(fā)生的先驗概率；
• P(H|D)則可以理解為假設H發(fā)生的后驗概率，是在我們獲得了更多數(shù)據(jù)的情況下推斷出的更先進的概率；
• 我們每次獲得的新知識，也就是后驗的數(shù)據(jù)，都會作為下一次計算的先驗數(shù)據(jù)；
• P(D|H)可以被理解為似然度，也就是在假設H發(fā)生的情況下，數(shù)據(jù)分布剛好是D的概率；
• P(D)則是在任何假設下數(shù)據(jù)分布剛好為D的概率，我們把它稱為標準化常量。

那么我們現(xiàn)在來回頭看小明是否得癌癥的問題。

等式的前半部分就是貝葉斯定理的公式。而在后邊計算P(陽性)的時候，可以看到我們用了兩部分相加得到了P(陽性)。這里我們不得不介紹一下全概率公式：

拿我們這個例子來說，P(B)就是P(陽性)，然而P(陽性)的數(shù)據(jù)我們無法直接獲取，但是我們知道在患病和無病的條件下血檢為陽性的概率，也知道患病和無病的概率，因此把患病情況下血檢為陽性的條件概率乘以患病的概率，再加上無病情況下血檢為陽性的條件概率乘以無病的概率，就是所有情況下血檢為陽性事件發(fā)生的概率了，即：

那么最后我們給出完整的計算過程：

你學會了嗎？有任何問題都可以在下方留言，我會一一回答！