我們?cè)跈C(jī)器學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常用到的參數(shù)化算法，把數(shù)據(jù)灌入假定好的'系統(tǒng)'中進(jìn)行模型訓(xùn)練，這里的假定就是指根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定好算法的參數(shù)。人們?cè)趯W(xué)習(xí)算法時(shí)，對(duì)這樣的算法普遍比較容易接受和理解。而作為機(jī)器學(xué)習(xí)算法，高斯過(guò)程是一個(gè)無(wú)參數(shù)的方法。然而，大多數(shù)算法研究員（包括其他應(yīng)用目的的工程人員）發(fā)現(xiàn)很難從概念上、思維方式上理解這種方法。而實(shí)際上，高斯過(guò)程恰恰反映了現(xiàn)實(shí)世界的建模的自然過(guò)程，特別是在人工智能仿習(xí)人類(lèi)的思維方法論中，人類(lèi)在學(xué)習(xí)過(guò)程中是一個(gè)不斷的調(diào)試先驗(yàn)的過(guò)程。

本文試圖從哲學(xué)的角度來(lái)闡述和剖析高斯過(guò)程，從一定高度上深入、透徹的理解高斯過(guò)程。本文不對(duì)具體的公式進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，后邊會(huì)專(zhuān)門(mén)講解高斯過(guò)程的數(shù)學(xué)思維及其推導(dǎo)。理解了這些重要思想，再進(jìn)一步的了解其數(shù)學(xué)過(guò)程，就非常容易了。

高斯過(guò)程簡(jiǎn)述

高斯過(guò)程（Gaussian Process）本質(zhì)上是一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它利用數(shù)據(jù)點(diǎn)之間同質(zhì)性的度量作為核函數(shù)，構(gòu)造協(xié)方差函數(shù)，通過(guò)訓(xùn)練樣本得到聯(lián)合概率密度，進(jìn)而求得新數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值。

高斯過(guò)程背后的關(guān)鍵思想是可以使用無(wú)限維多變量高斯分布來(lái)對(duì)函數(shù)進(jìn)行建模。換句話說(shuō)，輸入空間中的每個(gè)點(diǎn)都與一個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)聯(lián)，而它們的聯(lián)合分布可以被作為多元高斯分布建模。設(shè)高斯過(guò)程表示為GP（m（x），k（x，x'）），那么：

• 是關(guān)于函數(shù)的分布。
• 完全由平均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x,x????)確定
• 隨機(jī)函數(shù)的參數(shù)扮演著索引的角色。
• 協(xié)方差函數(shù)定義函數(shù)空間中的屬性。
• 數(shù)據(jù)點(diǎn)將函數(shù)'錨定'為特定位置。

一.先驗(yàn)的思想

在康德哲學(xué)中，'先驗(yàn)'同'經(jīng)驗(yàn)'相對(duì)。意為先于經(jīng)驗(yàn)的，但為構(gòu)成經(jīng)驗(yàn)所不可或缺的。

先驗(yàn)的設(shè)定取決于世界的形態(tài)、規(guī)律，我們講過(guò)高斯分布在現(xiàn)實(shí)世界上是普遍的存在，與我們中國(guó)傳統(tǒng)的'中庸哲學(xué)'也是非常的契合。在機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用中，醫(yī)學(xué)指標(biāo)、客戶(hù)畫(huà)像、信用評(píng)估、借款違約等都有大量的高斯分布存在。所以先驗(yàn)用高斯分布是由哲學(xué)依據(jù)的。

上圖顯示了從GP先驗(yàn)中隨機(jī)抽取的三個(gè)函數(shù);點(diǎn)表示實(shí)際生成的y的值; 通過(guò)連接大量評(píng)估點(diǎn)，其他兩個(gè)函數(shù)被繪制為線條。

上圖顯示了從后驗(yàn)中抽取的三個(gè)隨機(jī)函數(shù)，在先驗(yàn)條件，用五個(gè)無(wú)噪聲觀察點(diǎn)數(shù)據(jù)求得后驗(yàn)分布。

在兩個(gè)圖中，陰影區(qū)域代表了逐點(diǎn)平均值加上和減去每個(gè)輸入值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的兩倍（對(duì)應(yīng)于95％置信區(qū)域），分別為先驗(yàn)和后驗(yàn)。

我們?cè)陂_(kāi)始時(shí)設(shè)置一個(gè)先驗(yàn)，接下來(lái)我們就有了一個(gè)大致的依據(jù)，通過(guò)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的觀察，改進(jìn)這個(gè)先驗(yàn)，形成更反映數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)律的分布。

二.概率思想

從某種角度來(lái)說(shuō)，現(xiàn)實(shí)世界是由概率來(lái)錨定的世界。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，更新貝葉斯推理中的先驗(yàn)意味著你從一些關(guān)于事件發(fā)生概率的猜測(cè)（先驗(yàn)概率）開(kāi)始，然后你觀察發(fā)生了什么（可能性），并根據(jù)發(fā)生的事情更新你的初始猜測(cè)。 更新后，先驗(yàn)概率稱(chēng)為后驗(yàn)概率。

所以要預(yù)測(cè)新數(shù)據(jù)點(diǎn)的y值，從概率的視角看，我們可以用條件概率來(lái)預(yù)測(cè)，即在歷史數(shù)據(jù)的X、Y值條件下，當(dāng)前y的概率分布。

所以，GP建模中的關(guān)鍵假設(shè)是我們的數(shù)據(jù)可以表示為來(lái)自多元高斯分布的樣本，我們有

我們當(dāng)然對(duì)條件概率p（y* | y）更感興趣：'給定數(shù)據(jù)，y *的特定預(yù)測(cè)的概率有多大？'。 這個(gè)條件概率仍然遵循高斯分布（推導(dǎo)過(guò)程略），所以有：

我們對(duì)y*的最佳估計(jì)是這種分布的平均值：

我們估計(jì)的不確定性由方差給出：

下面舉一下高斯過(guò)程用于回歸的例子：

以下是25個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的點(diǎn)圖，每一個(gè)點(diǎn)服務(wù)一個(gè)高斯分布，我們要計(jì)算點(diǎn)2在點(diǎn)1發(fā)生時(shí)的條件概率，已知f1=-0.313。

以下這兩個(gè)點(diǎn)的協(xié)方差矩陣

我們用高斯分布來(lái)求解f2的條件概率：

綠色代表f1是先驗(yàn)，藍(lán)色是聯(lián)合概率密度函數(shù)，紅色是條件概率密度函數(shù)。

最后我們得到在f1發(fā)生時(shí)f2的條件概率：

P(f2|f1)=-0.313

三.相關(guān)性哲學(xué)

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，不管是分類(lèi)，還是回歸，我們都要根據(jù)已有數(shù)據(jù)訓(xùn)練出模型，然后代入新數(shù)據(jù)，得到新數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。然而，高斯過(guò)程，我們也沒(méi)有參數(shù)化的模型，我們?cè)趺床拍艿玫筋A(yù)測(cè)值呢？

這里就要用到相關(guān)性哲學(xué)，在哲學(xué)中，聯(lián)系是普遍存在的，相關(guān)性（以下相似性，便于數(shù)學(xué)理解）也是普遍存在的，我們刻畫(huà)一個(gè)新事物，往往會(huì)先找到它與熟悉事物之間的關(guān)聯(lián)性。

所以由于內(nèi)含于高斯聯(lián)合分布中變量之間的相似性，我們可以在高斯分布中融入數(shù)據(jù)點(diǎn)之間相似性，求他們目標(biāo)變量之間的概率關(guān)系，進(jìn)而獲得新數(shù)據(jù)的目標(biāo)值的分布。當(dāng)相似度高時(shí)，他們的目標(biāo)值相近程度高；反之，相近程度低。

我們用數(shù)學(xué)來(lái)描述一下：

高斯分布是用協(xié)方差矩陣來(lái)定義變量之間的相似度。既然協(xié)方差矩陣的元素是相似性度量，那么我們完全可以用一種相似性度量來(lái)替換原來(lái)的協(xié)方差。

σf2用來(lái)確保協(xié)方差的最大值。

如果x≈x，那么k（x，x'）達(dá)到最大值，意味著f（x）幾乎與f（x'）相等。

如果我們希望我們的函數(shù)看起來(lái)平滑，那么鄰居必須是相似的。 現(xiàn)在，如果x遠(yuǎn)離x'，則我們?nèi)《氖莐（x，x'）≈0 ，即兩個(gè)點(diǎn)不能相互作用。因此，例如，在新x值的插值過(guò)程中，遠(yuǎn)距離觀察值將效果可以忽略不計(jì)。 這種分離的影響程度取決于長(zhǎng)度參數(shù)l。

最后，用圖形說(shuō)明：

• 假設(shè)我們的數(shù)據(jù)符合下面的函數(shù)圖形，現(xiàn)在我們通過(guò)高斯過(guò)程來(lái)求得這個(gè)函數(shù)（實(shí)質(zhì)上是求得符合這個(gè)函數(shù)的高斯分布）。

• 下圖是只用兩個(gè)觀察點(diǎn)來(lái)預(yù)測(cè)函數(shù)，可見(jiàn)其方差比較大：

• 增加到10個(gè)點(diǎn)，可見(jiàn)曲線與實(shí)際曲線越來(lái)越接近，并且越來(lái)越平滑。

當(dāng)涉及豐富的建?？赡苄院痛罅侩S機(jī)參數(shù)時(shí)，高斯過(guò)程十分簡(jiǎn)單易用。