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古哥古點 2015年11月30日

《懸垂的繩子》

懸垂的繩子 來自古哥古點 00:00 21:35

麥當(dāng)勞曾被傳出打算改名為金拱門，然而這兩個拱門的曲線卻是可以寫出方程的。從古羅馬時期的凱旋門到中世紀(jì)的教堂拱頂，建筑師們采用的很多都是同一條曲線。它堅固輕盈，堪稱最佳的拱門外形。如果有人對這條曲線不熟悉的話，沒關(guān)系，把它反過來看就一定不會感到陌生，因為它就是一條再尋常不過的懸鏈線。（Catenary）

懸鏈線顧名思義，就是把一根質(zhì)量均勻的鏈條或繩索的兩端懸掛起來之后自然垂下形成的曲線。人們早就注意到了這類曲線的存在，但直到17世紀(jì)才開始認(rèn)真的探求這一曲線準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。懸鏈線最標(biāo)準(zhǔn)的形態(tài)是把兩端固定在等高度的兩點后形成的，大家對此司空見慣，但是懸鏈線究竟是什么類型的曲線呢？

很多人或許從直觀上會預(yù)測它是一條拋物線，因為看起來的確很像，就連最早提及該問題的物理學(xué)家伽利略也一度是這么認(rèn)為的。在1638年他所撰寫的《兩個新科學(xué)》（TwoNew Sciences）一書中，伽利略提到懸鏈線可能就是一條拋物線。他在描述如何繪制這樣的曲線時寫道：“另一個方法是在墻上釘兩個釘子保持相同的高度，在其上懸掛一根鏈條，它將被假定為具有拋物線的形態(tài)。”通過觀察，伽利略進(jìn)一步正確的指出當(dāng)懸鏈線拉伸的越扁平時，即曲率越小時，它與拋物線越難以區(qū)分。和伽利略同時期的笛卡爾（ReneDescartes）也有類似的猜測。笛卡爾的朋友皮克曼（Beeckman）曾向他提出過關(guān)于懸掛繩索的問題，笛卡爾在自己的筆記中注釋說它們可能是某種圓錐曲線。顯然，封閉的橢圓不會是候選者，笛卡爾是把開放型的拋物線和雙曲線都放進(jìn)了懷疑名單，但他的猜想也僅止于此，沒有材料表明他在這個問題上有過繼續(xù)的探討。此后幾十年間，幾位數(shù)學(xué)家使用不同的方式各自證明了懸鏈線并不等同于拋物線。1646年，荷蘭物理學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（ChristiaanHuygens）在與梅森（Marin Mersenne）的通信中給出了自己頗有想象力的證明方法。當(dāng)時的他還沒有微積分工具可用，就在懸鏈上加掛了一串虛擬小球來凸顯載荷分布的影響，并且用這種土辦法證明了如何改變真實世界中并不存在的繩子自重分布才能得到一條想要的拋物線。1673年耶穌會神父帕蒂斯（Ignace-GastonPardies）和1669年德國數(shù)學(xué)家約阿海姆·永弟（Joachim Jungius）也分別證明了懸鏈線不是拋物線的結(jié)論。相比較而言，帕蒂斯的證明最為優(yōu)雅，他使用了一個有趣的推論，懸鏈線上兩切線的交點應(yīng)該恰好通過整根線條的重心。這里可能有一個疑問，參加過高中物理奧林匹克競賽的人一定會有印象，在訓(xùn)練題目中就有計算懸鏈線方程的問題，而其標(biāo)準(zhǔn)答案正是一條拋物線。這是怎么回事呢？因為在標(biāo)準(zhǔn)解法中，從繩索的微元靜力分析可以非常容易的推知懸鏈曲線方程的二階導(dǎo)數(shù)等于一個常數(shù)λg/T，T是繩索的分布拉力，λ是質(zhì)量的線密度，由此方程的解當(dāng)然是一條拋物線。但這種解法存在著一個假設(shè)前提，即一段繩子的質(zhì)量不是正比于它的長度而是正比于它在水平方向的投影長度。這個假設(shè)至關(guān)重要，它大大簡化了推導(dǎo)復(fù)雜度，讓微元運算一下子就湊出二階導(dǎo)數(shù)形式。不過這只能是一種近似，繩段總長度當(dāng)然不等于投影長度，兩者誤差只有在線條非常扁平時才相對較小。這就是伽利略所觀察到的情況，從這個角度來說我們的大伽利略只遺憾的弄錯了一點點。也正因為如此，在橋梁建筑設(shè)計中，懸索橋的曲線計算總是是介于拋物線和懸鏈線兩種形態(tài)的方程之間。如果橋板本身重量遠(yuǎn)大于懸索自重，則可認(rèn)為懸索負(fù)載絕大部分集中在水平投影方向上，此時用拋物線模擬的精度是足夠的。如果分析的是簡易懸索橋，橋身很輕，重量遠(yuǎn)不及懸索自重，則應(yīng)該視其曲線為標(biāo)準(zhǔn)懸鏈線。

永弟證明（Robert Hooke）懸鏈線不是拋物線的兩年后，大名鼎鼎的羅伯特·胡克（Robert Hooke）出場了。這位以建立彈性定律而聞名的科學(xué)家一生科學(xué)發(fā)現(xiàn)甚多，但是他卻是一個脾氣極差的人，不僅容易狂躁，而且對同行們充滿了警惕和嫉妒心，比如他和牛頓就曾因為引力平方反比規(guī)律的首先發(fā)明權(quán)而爭吵不休。胡克特別喜歡使用一種叫做“置換”（anagram）的密碼技巧。所謂置換就是文字的重排游戲，把一句話的字母重新打亂排序后變成另一句含義完全不相干的話，以起到加密作用。在十七世紀(jì)，這樣的加密做法非常普遍，伽利略等很多名人都常常這么做，有時是為了對付教會的迫害，有時則是為了故意隱藏自己的學(xué)術(shù)發(fā)現(xiàn)。這樣，當(dāng)后來者做出相同的成果后，前面的人就會拿出置換密語加以解密后證明自己早已完成有關(guān)研究，以此來消遣對方。胡克的彈性定律發(fā)表時就是用置換密語寫下的，在懸鏈線計算問題上他也玩了這么一手。當(dāng)時，身兼多職的胡克要為圣保羅大教堂的修繕計算拱頂形狀，他宣稱自己已經(jīng)徹底在數(shù)學(xué)和力學(xué)方面解決了最佳拱頂?shù)耐庑螁栴}。幾年后，他發(fā)表了這一成果，只是相關(guān)內(nèi)容是用隱文寫下的。一直到1705年胡克死后，他的遺囑執(zhí)行人才公開了他此前寫下的話，明文意為“最佳的拱形曲線就是把自由懸掛線給反過來?！?/span>

胡克并沒有用解析形式給出懸鏈線表達(dá)，完成這一任務(wù)的是稍后的惠更斯、萊布尼茲（Gottfried WilhelmLeibniz）和他的學(xué)生約翰·伯努利（Johann Bernoulli）。約翰·伯努利和他的哥哥雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）都是伯努利家族的數(shù)學(xué)奇才，約翰的早期數(shù)學(xué)功課還是雅克布輔導(dǎo)教授的。但隨著約翰的成長，兄弟之間開始出現(xiàn)競爭的氣氛，彼此經(jīng)?；ハ喑鲭y題挑戰(zhàn)對方，這也是當(dāng)時歐洲的學(xué)術(shù)圈子熱衷的智力競賽形式。不過這兄弟倆實在太過投入，到1697年他們的關(guān)系因這種競賽而瀕臨崩潰。在1690年，雅克布公布了一道挑戰(zhàn)題目即計算自由懸垂的繩子形狀。當(dāng)時，伯努利兄弟都不知道已經(jīng)有人證明了拋物線不同于懸鏈線的結(jié)論。雅克布一心想著利用拋物線作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)懸鏈線的方程，這當(dāng)然是毫無可能的，在苦思無計的情況下，雅克布就把這一題目以挑戰(zhàn)形式加以發(fā)表。一年后，弟弟約翰和萊布尼茲以及前面提到過的惠更斯都對該挑戰(zhàn)給出了正確的解答。人盡皆知，萊布尼茨和牛頓因為微積分的發(fā)明權(quán)爭的不可開交，作為萊布尼茲的學(xué)生，約翰·伯努利也全力支持自己的老師。不過，在懸鏈線計算問題上，師徒兩人卻似乎走了迥然不同的兩條路徑。萊布尼茨并沒有利用自己發(fā)明的當(dāng)時還顯得模糊的微積分作為工具加以計算，反而使用的是傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖法。他利用兩條不等長的隨機(jī)線段作為元素反復(fù)進(jìn)行尺規(guī)操作，在坐標(biāo)圖上繪制出一系列的點且不斷加密，最后這些點集構(gòu)成的就是一條懸鏈線。今天可以證明，當(dāng)這兩條隨機(jī)線段的長度比值是一個特定常數(shù)時，萊布尼茲是正確的，他繪制的點的確分布在懸鏈線上。人們非常好奇，萊布尼茲神奇的大腦當(dāng)初是如何想到這種古怪方法的，其思想的驅(qū)動源頭在哪里？可惜的是，以現(xiàn)有的資料來看已經(jīng)無從得知，唯一的可能推斷是他從懸鏈線會把自己的分布等效重心放置的盡可能低這一理念出發(fā)完成了尺規(guī)作圖設(shè)計。

惠更斯和萊布尼茨當(dāng)初的解法示意圖

相比之下，約翰·伯努利對微積分的運用至少在這一題目上更加熟練，他正確的給出了懸鏈線的解析形式。懸鏈線是一條雙曲余弦曲線，雙曲余弦就是指數(shù)曲線e的x次方和其對偶曲線e的-x次方的平均曲線。在約翰·伯努利時期還沒有出現(xiàn)雙曲三角函數(shù)這樣的術(shù)語，甚至連e的定義也是由他的哥哥雅克布完成的，所以約翰給出的方程只是一個正確的微分形式，但這已足以讓他認(rèn)識到懸鏈線是一條超越曲線，而不是他哥哥雅克布苦苦追求的拋物線。至于已經(jīng)在懸鏈線問題上盤桓已久的惠更斯，這次依然受制于數(shù)學(xué)工具的限制而未能寫出曲線方程，但是他列出了大量的關(guān)于懸鏈線的數(shù)學(xué)推論，顯示他確實對這條曲線有了充分的掌握?；莞?、萊布尼茲和約翰·伯努利三人相比，當(dāng)然要屬約翰的解最為徹底。

懸鏈線有許多奇妙的地方，比如說著名的正方形車輪游戲。如果古代人把車輪設(shè)計成了正方形，那坐車的人肯定要受罪了，因為在平坦路面上滾動的正方形，其中心會時刻發(fā)生高度的改變。有個聰明的犟眼子，他不愿意用車輪就乎路面，把輪子改回簡單的圓，而是打算用路面就乎輪子，讓道路波浪起伏以保證每一時刻正方形的中心都會因路面高度的補(bǔ)償而維持在同樣的水平線上。能不能做到呢？能，只要讓波浪線符合一段一段的懸鏈線方程，正方形車輪一樣可以在這樣膈應(yīng)的路面上暢通無阻。其實，這個結(jié)論可以拓展到任意正多邊形車輪，它們要保持平穩(wěn)行駛，路面都得是精心拼接的懸鏈線段。

只要路面設(shè)計成恰當(dāng)?shù)膽益溇€波浪，正方形車輪也可以平穩(wěn)騎行

神奇之處還不止于此。如果把指數(shù)曲線e的x次方看成一面彎曲的鏡子，讓無數(shù)條平行光線從正上方照射到這一曲線鏡面上經(jīng)過反射后向外飛出。當(dāng)把所有的反射線條全都繪制出來以后，反射光的包絡(luò)線也就是反射光所能照亮區(qū)域的邊界就是一條懸鏈線。前面提到的伯努利兄弟在最速降線問題上曾做出過突出貢獻(xiàn)。所謂最速降線就是任取空間中一高一低的AB兩點，假設(shè)在AB間搭建一條任意形狀的絕對光滑的軌道，讓小球從A點滑下沿軌道來到B點。在所有的可能路徑中，使小球用時最短的那條路線就被稱為最速降線。最速降線問題的研究草圖看起來很像一條條懸掛的繩索，或許伯努利兄弟正是從此由最速降線問題分支到了對懸鏈線的研究也說不定。對于最速降線問題，我們會在以后的節(jié)目中專門介紹，這里只給出結(jié)論，最速降線就是一條擺線。所謂擺線是在一個半徑為R的圓周上標(biāo)記一個點P，當(dāng)該圓沿著平坦地面無滑滾動時，P所劃過的空間軌跡就是擺線。這種以定點運動軌跡表示曲線的方法非常形象，受到人們的喜歡，被稱作旋動線（roulette）。人們發(fā)現(xiàn)懸鏈線也屬于這樣的旋動線。它的旋動方式剛好要用到它的近親拋物線，當(dāng)一個拋物線外形的車輪沿著平坦路面無滑滾動時，其焦點經(jīng)過的軌道恰好就形成了一條懸鏈線。

如果把自由吊掛形成的懸鏈線連同其最低點下方的水平X軸豎立起來，然而讓豎直的懸鏈線圍繞豎直的x軸旋轉(zhuǎn)一周，這樣掃掠而成的曲面叫做懸鏈面。大家可能都聽到過那個有名的關(guān)于懸鏈面的例子。把兩個等半徑的鐵絲圓環(huán)一上一下排列伸入肥皂水當(dāng)中，輕輕拉開兩圓環(huán)的間距扯出一張肥皂膜出來。肥皂膜自然張成的彎曲表面就是懸鏈面。之所以會如此是因為皂膜在表面張力作用下會形成最小曲面，懸鏈面剛好是這一邊界條件下的最小曲面。這一結(jié)論在1776年第一次由歐拉加以證明。不過，這個廣為流傳的說法有一個細(xì)小的瑕疵。所謂最小曲面并不等同于表面積最小的曲面。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f，最小曲面是一個局部定義而非全局概念。它指的是在一個曲面上，如果任意一點的鄰域范圍都處在表面積最小狀態(tài)，則該曲面就被稱為最小曲面。現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在相同條件下有可能存在多個最小曲面。此時如果用總表面積最小作為一種限定就得排除掉一些最小曲面，顯然這是不符合定義的。即使是雙圓環(huán)皂膜這個經(jīng)典例子也可以發(fā)現(xiàn)在有些參數(shù)條件下，兩圓環(huán)皂膜如果直接限縮為上下兩個圓，其總面積有可能比懸鏈面更小，但這樣的兩個分開的圓面卻并非最小曲面。

肥皂膜隨著間距的拉開變得越來越向內(nèi)凹陷

在幾何上，最小曲面有一個常用的等價定義，就是平均曲率處處為零的曲面。平均曲率該怎樣理解呢？還是回到雙圓環(huán)皂膜實驗。當(dāng)兩圓環(huán)間距很小時，此時的皂膜在腰部向內(nèi)彎曲的量很少，整體近似為一個圓柱面。隨著圓環(huán)的拉開，皂膜腰部向內(nèi)凹陷的程度越來越深，這就是平均曲率在發(fā)揮作用。懸鏈面的橫截面是一個個的圓，其側(cè)向剖面，也就是數(shù)學(xué)上說的母線是一條懸鏈線。當(dāng)圓環(huán)間距拉開時，從兩側(cè)向中心，截面圓的半徑迅速變小，也可以說這一橫向曲率在快速變大，這一維度的彎曲越來越厲害。為了保證平均曲率為零，另一個維度的母線曲率也必須同步增加，這樣才能從相反方向用同等強(qiáng)度抵消橫向曲率的增長。母線和橫截圓就像經(jīng)緯線編織在一起，他們的曲率同步增減，始終維持著零和博弈，其結(jié)果就是觀察者看到的肥皂膜演變規(guī)律。

前一段時間，關(guān)于懸鏈線還鬧出了一個不大不小的新聞。執(zhí)著的陜西岐山縣農(nóng)民傅可一從70年代開始就醉心于研究懸鏈線方程。據(jù)說，他是1975年有一次在工廠生活區(qū)門口準(zhǔn)備看電影時，看到了一長串彩燈激發(fā)了靈感，從此孜孜以求。多年間，他和陜西一些高校的數(shù)學(xué)老師通信，爭取他們對其研究結(jié)果的認(rèn)可。盡管有不少專業(yè)數(shù)學(xué)研究者肯定了其方程的正確卻否定了其重復(fù)研究的意義，他還是在苦苦堅持。最終他被媒體發(fā)現(xiàn)而遭到一輪熱捧，在《中國報告文學(xué)》2015年第二期上，專門有一篇名為《數(shù)學(xué)界又一里程碑》的文章對其進(jìn)行了盛贊。部分媒體的溢美之詞聽完之后真的令人恨不得自己把自己掛在懸垂鏈上。任何對知識的渴望都值得被稱贊，但如果真想進(jìn)入嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，系統(tǒng)性的預(yù)先學(xué)習(xí)是不可避免的，恐怕這個過程也會是艱難而枯燥的。自從200多年前人們找到了懸鏈面這第一個最小曲面后，現(xiàn)代數(shù)學(xué)界對最小曲面的認(rèn)知已經(jīng)越來越深入，許多稀奇古怪的帶有大量折疊和孔洞的最小曲面被不可思議的找到，最小曲面理論也已經(jīng)推廣到流形層面。這其中和這背后仍大有可為，但在施展之前，需要認(rèn)真的沿著前人的軌跡好好走一遍?；蛘?，不想往深度發(fā)展，也可以做一些嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶嶒炐怨ぷ?。前面提到過，拱和懸垂鏈一個承受壓力一個承受拉力，構(gòu)成了對稱的兩大形態(tài)。既然繩索在自然承拉時會形成懸鏈線，與之對稱的拱結(jié)構(gòu)在承壓時就被認(rèn)為是優(yōu)化的，古代建筑師們早已經(jīng)在實踐中這樣做了。對這個一直以來的結(jié)論，巴塞羅那建筑學(xué)院的團(tuán)隊就不愿意輕信。

桂爾宮大門輪廓線擬合情況。紅色為懸鏈線，綠色為拋物線，淺藍(lán)色為正圓，深藍(lán)色為雙曲線?？梢钥吹?，任何類型的曲線吻合度都不算完美

他們對大量的建筑拱門進(jìn)行了實地測量和數(shù)據(jù)擬合，想看看有多少例子符合拋物線外形，有多少例子使用的真是懸鏈線。結(jié)果證實，采用拋物線、懸鏈線外形的拱門實例都有不少，還有一些竟然更匹配于雙曲線，就像笛卡爾的猜測一樣。至于和任何已知曲線都不搭的四不像的例子也存在，巴塞羅那桂爾宮（PalauGüell）的大門就是如此。這也許是施工工人在建筑時帶來的偏差，但更有可能是設(shè)計師的故意而為。畢竟人不是垂下的繩子，人是可以有自由意志的。這種平淡的驗證和較真兒的勁頭看起來瑣碎，但它其實是支撐觀念進(jìn)步的真正的金拱門。