一、知識點

1、函數(shù)的零點

對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

2、方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系：

方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。

3、函數(shù)零點的存在性

對函數(shù)零點的存在性應(yīng)從以下幾方面進一步理解：

（1）函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點（不是二重零點）時，函數(shù)值變號；

（2）相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；

（3）在函數(shù)的某一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，至多有一個零點；

（4）如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間至少有一個零點。

4、二分法

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷、且f（a）· f（b）＜0的函數(shù)y＝f（x），通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。

5、用二分法求方程的近似解

步驟：

（1）確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）·f（b）＜0，給定精確度ε；

（2）求區(qū)間（a，b）的中點x₁；

（3）計算f（x₁）；

1）若f（x₁）＝0，則x₁就是函數(shù)的零點；

2）若f（a）·f（x₁）＜0，則令b＝x₁（此時零點x₀∈（a，x₁））；

3）若f（b）·f（x₁）＜0，則令a＝x₁（此時零點x₀∈（x₁，b））。

（4）判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點的近似值a（或b）；否則重復(fù)2～4。

說明：

1）二分法是求一般函數(shù)的零點的一種通法，使用二分法的前提條件是：函數(shù)零點的存在性。

2）二分法中運用了“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想，它是通過不斷把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值（即方程近似解）?！爸鸩奖平彼枷朐谠S多數(shù)學(xué)知識中都有很好的運用，希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要多加領(lǐng)會。

3）二分法求函數(shù)零點的不足：二分法的思路雖然簡單，但一方面，若函數(shù)在上有幾個零點時，則只能算出一個零點；另一方面，即使函數(shù)在上有零點，也未必有，這就限制了二分法的使用范圍。

二、例題

1、方程的根與函數(shù)的零點

例1、已知函數(shù)的圖象，如圖所示，則（   ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：這個問題中、、、四個待定系數(shù)要由圖象及方程的根來確定。

解析：從圖中可得，∴，

又知還有兩個零點，可設(shè)函數(shù)解析式為：

。

當(dāng)時，，∴，又由得，。

故答案選A。

小結(jié)：要會根據(jù)函數(shù)的零點來設(shè)解析式，掌握判斷最高次項系數(shù)符號的方法。該例的解法還很多，同學(xué)們不妨再探討一下其他解法。

例2、關(guān)于的一元二次方程的兩根分別落在區(qū)間，內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍。

分析：該例是一元二次方程根的分布問題，解題關(guān)鍵是由圖象的分布要求，列出不等式求解。

解析：設(shè)二次函數(shù)，其對稱軸為，圖象開口向上，如圖所示。

依題意得，解得，

∴實數(shù)的取值范圍為。

小結(jié)：函數(shù)與方程之間有著密切的聯(lián)系，在解決其中某一方面的問題時，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為另一方面的問題，在這個轉(zhuǎn)化過程中，函數(shù)的零點起著非常重要的作用。

例3、已知a是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求a的取值范圍。

分析：利用在區(qū)間上有零點，畫出草圖，列出不等式求解。

解析：若，，顯然在上沒有零點，所以。

（1）當(dāng)恰有一個零點在上時，則

或

解得  或。

（2）當(dāng)在上有兩個零點時，則

        或

解得或。

綜上，所求實數(shù)的取值范圍是或  。

小結(jié)：當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間有零點時，要注意對零點的個數(shù)加以分析和討論。

2、利用函數(shù)零點解不等式

例4、求函數(shù)的零點，并指出當(dāng)，時的取值范圍。

分析：該例主要考查二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系，關(guān)鍵是作出的簡圖。

解析：解方程得，，

∴函數(shù)的零點為，1，。

畫出函數(shù)的簡圖，如圖所示，從圖象可以看出：

當(dāng)時，；當(dāng)或時，。

故函數(shù)的零點為，1；

時，的取值范圍為；

時，的取值范圍為。

小結(jié)：一元二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點（不是二重零點）時，函數(shù)值變號，且在任意兩個相鄰的變號零點之間所有函數(shù)值保持同號，根據(jù)二次函數(shù)變號零點的這一性質(zhì)，可以求解一元二次不等式。

3、用二分法求方程的近似解

例5、用二分法求函數(shù)的一個正零點（精確到0.1）。

分析：按照用二分法求方程近似解的一般步驟求解。

解析：由于要求的是函數(shù)的一個正零點，因此可以考慮首先確定一個包含正零點的恰當(dāng)區(qū)間，如，，，故可取區(qū)間為計算的初始區(qū)間（當(dāng)然也可以），用二分法逐次計算，列表如下：

由上表計算可知，區(qū)間的長度，所以可以將的近似值作為函數(shù)零點的近似值。

小結(jié)：在用二分法求函數(shù)零點時，若函數(shù)能因式分解，可先將其因式分解，進而求得零點，再依據(jù)零點確定一個包含零點的恰當(dāng)區(qū)間。如本題可將變形為，則函數(shù)零點為，，，再根據(jù)選取一個恰當(dāng)區(qū)間。