黎曼猜想被證明了？還無(wú)法確定

今天收到了許多讀者的留言詢(xún)問(wèn)黎曼猜想是否被證明了，這是因?yàn)橹臄?shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）宣布將在9月24日的海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲?/span>（Heidelberg Laureate Forum）上公布自己證明黎曼猜想的方法。

○ 海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲墓俜絋witter證實(shí)了這一消息?？赡苁撬麄兊男【庍^(guò)于激動(dòng)，把24日打成了25日。

自提出以來(lái)，黎曼猜想已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)家一個(gè)多世紀(jì)。證明黎曼猜想無(wú)疑是數(shù)學(xué)家夢(mèng)寐以求的愿望。因此對(duì)許多人而言，這個(gè)消息既讓人興奮，又讓人懷疑。我們并不知道阿蒂亞給出的答案是否就是正確的，也不知道證明過(guò)程是否足夠優(yōu)雅簡(jiǎn)潔，能夠很快被其他數(shù)學(xué)家消化。或許其他人可能要花上數(shù)年的時(shí)間才能做出判定。例如，我們不久前提到的破解了數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的13個(gè)難題中的“量子霍爾效應(yīng)”，就耗費(fèi)了多年的時(shí)間才得到了學(xué)界的認(rèn)可（詳見(jiàn)：《“已解決！” 數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的13個(gè)難題，終于有一個(gè)被完全破解！》）。

在沒(méi)有獲得更多的信息之前，我們還無(wú)法知道黎曼猜想是否被證明了。但無(wú)論結(jié)果如何，這都是值得期待的一天。

而另一個(gè)重磅新聞，也是今天將著重討論的主題，則是曾經(jīng)轟動(dòng)一時(shí)的abc猜想的證明——它似乎正在面臨史上最大挑戰(zhàn)！

2012年，日本京都大學(xué)的望月新一（Shinichi Mochizuki）在四篇總長(zhǎng)度超過(guò)500頁(yè)的論文中，提出了數(shù)論中最深遠(yuǎn)的問(wèn)題之一——abc猜想的證明方法。但是，幾乎沒(méi)人能看懂他的論文，因?yàn)樗捎玫氖亲约喊l(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)工具。除他本人之外，數(shù)學(xué)界并無(wú)他人通曉，致使無(wú)人能對(duì)望月新一的證明做出判斷。

但就在昨天，新晉菲爾茲獎(jiǎng)得主Peter Scholze和數(shù)學(xué)家Jakob Stix在線(xiàn)上發(fā)表了一篇題為《為什么abc仍然是猜想》的論文，宣稱(chēng)找到了abc猜想證明的“嚴(yán)重的、不可修復(fù)的裂縫！”

○ 左：Peter Scholze；右：望月新一通過(guò)視頻回答眾人的疑惑。| 圖片來(lái)源：Nyani Quarmyne/Philipp Ammon

Peter Scholze和望月新一都是數(shù)學(xué)界的兩位巨匠，他們都做出了革命性的貢獻(xiàn)，開(kāi)辟了新的框架并解決了大的問(wèn)題。而不同的是，Peter Scholze的思想很快就可以被數(shù)學(xué)界吸收學(xué)習(xí)，而望月新一的理論至今都沒(méi)有被主流數(shù)學(xué)界完全理解并承認(rèn)。

雖然有十多名深入研讀過(guò)這個(gè)證明的數(shù)學(xué)家認(rèn)為它是正確的，但是數(shù)學(xué)家Brian Conrad在去年十二月的博客討論中評(píng)論說(shuō)，斷言證明正確性的只有”望月圈子“里的數(shù)學(xué)家，而其他人即使是在非正式的情況下，也沒(méi)有愿意表達(dá)他們相信望月新一的證明是完備的。

芝加哥大學(xué)的Frank Calegari在十二月的博客文章中寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)家們非常不愿確切表示望月新一的論證有問(wèn)題，是因?yàn)樗麄儫o(wú)法指出任何明確的錯(cuò)誤?！?/span>

現(xiàn)在，事情出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)。Scholze和Stix稱(chēng)，在望月新一四篇論文中的第三篇的“推論3.12”中，其證明結(jié)尾處有一行論證是根本錯(cuò)誤的。而這一推論是望月新一abc證明的核心。

Scholze說(shuō)：“我認(rèn)為abc猜想仍然是開(kāi)放的問(wèn)題，任何人都有機(jī)會(huì)證明它?！?/span>

Scholze和Stix的結(jié)論不僅僅是基于他們自己對(duì)于那些論文的研究，還基于他們?cè)诮衲耆路莸皆L(fǎng)京都大學(xué)與望月新一和他的同事Yuichiro Hoshi討論這個(gè)證明的經(jīng)歷。Scholze表示，這次為期一周的拜訪(fǎng)幫助他和Stix提煉出了直達(dá)本質(zhì)的反對(duì)理由。他們?cè)趫?bào)告中寫(xiě)道，他們“得出結(jié)論，（abc猜想）并沒(méi)有證明”。

但是他們的會(huì)面并沒(méi)能產(chǎn)生令人滿(mǎn)意的結(jié)論：望月新一無(wú)法說(shuō)服Scholze和Stix確信他的論證是堅(jiān)實(shí)可靠的，而他們二人也無(wú)法讓望月新一信服他的證明是不正確的?，F(xiàn)在，望月新一將Scholze和Stix的報(bào)告，以及幾篇自己的反駁報(bào)告發(fā)布在自己的網(wǎng)站上。

在反駁中，望月新一將Scholze和Stix的批評(píng)歸因于他們對(duì)他的工作有著“某些根本性的誤解”。

正如同望月新一極高的聲譽(yù)會(huì)讓數(shù)學(xué)家將他的工作視為對(duì)abc猜想的一次認(rèn)真嘗試，Sholze和Stix的地位也會(huì)確保數(shù)學(xué)家將關(guān)注他們說(shuō)了什么。盡管只有30歲，Scholze已經(jīng)迅速上升到他所在領(lǐng)域的頂端，在八月，他才剛剛被授予了代表數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)的菲爾茲獎(jiǎng)。同時(shí)，Stix是望月新一研究的遠(yuǎn)阿貝爾幾何（anabelian geometry）領(lǐng)域的專(zhuān)家。

○ Jakob Stix是遠(yuǎn)阿貝爾幾何領(lǐng)域的專(zhuān)家。| 圖片來(lái)源：MFO

abc猜想是數(shù)論領(lǐng)域中最重要的難題之一，是最初由法國(guó)數(shù)學(xué)家Joseph Oesterlé和英國(guó)數(shù)學(xué)家David Masser在1985年提出的純數(shù)學(xué)問(wèn)題。它的名字源于一個(gè)簡(jiǎn)單的方程 a+b = c，但它包含了對(duì)數(shù)的自然屬性最深刻的探尋，直擊數(shù)的基本性質(zhì)。數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來(lái)認(rèn)為這個(gè)猜想是正確的，但卻從來(lái)沒(méi)有人能夠證明這一點(diǎn)。

在方程中， a、b、c三個(gè)數(shù)字都是正整數(shù)，且沒(méi)有共同的質(zhì)因數(shù)。因此，我們可以考慮諸如 8 + 9 = 17 或者 5 + 16 = 21 這樣的方程，但不能是 6 + 9 = 15，因?yàn)?、9和15都可以被質(zhì)數(shù)3整除。

如果給定這樣一個(gè)等式，我們可以找出能夠被三個(gè)數(shù)同時(shí)整除的所有質(zhì)數(shù)，例如對(duì)于方程 5 + 16 = 21，所有的質(zhì)數(shù)有5、2、3、7。將這些質(zhì)數(shù)相乘會(huì)得到210，比初始方程中的任何一個(gè)數(shù)都大得多。與此相反，對(duì)于方程 5 + 27 = 32，所有質(zhì)數(shù)是5、3、2，它們的乘積是30，比初始方程中的32小。這個(gè)乘積之所以很小是因?yàn)?7和32都只是很小的質(zhì)因數(shù)（分別是3和2）多次相乘得到的。

如果開(kāi)始尋找其他abc三元組，會(huì)發(fā)現(xiàn)第二種情況非常罕見(jiàn)。例如，對(duì)于使用1到100之間的a和b能夠產(chǎn)生的3044個(gè)不同的三元組，只有7個(gè)方程中這些質(zhì)數(shù)的乘積小于c。上世紀(jì)八十年代首次提出的abc猜想試圖證明這一直覺(jué)，那就是這種三元組很少出現(xiàn)。

更具體地說(shuō)來(lái)，仍舊回到5 + 27 = 32這個(gè)例子，32比30大，但是只大了一點(diǎn)點(diǎn)。32比302或者30^1.5小，甚至也比30^1.02（約等于32.11）小。abc猜想說(shuō)的是，選定任何一個(gè)大于1的指數(shù)x，只存在有限多的abc三元組使得c比質(zhì)因數(shù)乘積的x次冪大。

牛津大學(xué)的Minhyong Kim說(shuō)：“abc猜想是關(guān)于乘法和加法的非?；镜谋硎??！边@是那種“你仿佛在揭示數(shù)字系統(tǒng)的某種非常基本的結(jié)構(gòu)，是你從未見(jiàn)過(guò)的結(jié)構(gòu)”的論述。

a+b=c的簡(jiǎn)單性意味著，許多其他問(wèn)題都可以歸入這個(gè)猜想的范圍。例如，費(fèi)馬大定理是關(guān)于形式為xⁿ+ yⁿ= zⁿ的方程（對(duì)于n>2的正整數(shù)，不存在三個(gè)正整數(shù)x，y，z使得方程成立）；而卡塔蘭猜想斷言，8=2³和9=3²是僅有的兩個(gè)都是正整數(shù)冪的連續(xù)整數(shù)，也就是關(guān)于方程x^m+1=yⁿ的解的問(wèn)題。（特定形式的）abc猜想會(huì)為這兩個(gè)定理提供新的證明，并解決一系列相關(guān)的開(kāi)放性問(wèn)題。

哥倫比亞大學(xué)的Dorian Goldfeld寫(xiě)道，abc猜想“似乎總是位于已知和未知的邊界上”。

○ 望月新一的論文。望月新一發(fā)展了一種全新的數(shù)學(xué)形式，叫作全面一般化泰希米勒理論（Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT），這是一種將代數(shù)元素與幾何學(xué)結(jié)合起來(lái)的理論，他獨(dú)自研究了近10年，并用它來(lái)解開(kāi)ABC猜想。| 圖片來(lái)源：Jacob Aron/NewScientist

abc猜想的證明可能產(chǎn)生的大量結(jié)果讓數(shù)論學(xué)家相信，證明這個(gè)猜想可能非常困難。所以當(dāng)2012年傳言說(shuō)望月新一已經(jīng)給出了一個(gè)證明時(shí)，很多數(shù)論學(xué)家熱情地投身于他的工作，結(jié)果卻被不熟悉的語(yǔ)言和不同尋常的陳述所阻礙。定義展開(kāi)了好幾頁(yè)，接著是陳述同樣長(zhǎng)的定理，但是這些定理的證明本質(zhì)上卻只是說(shuō)“根據(jù)定義可以立即得到”。

Scholze是望月新一論文的早期讀者之一。他以快速而深入吸收數(shù)學(xué)的能力而著稱(chēng)，并比很多數(shù)論學(xué)家都走得遠(yuǎn)，在四篇主要論文出來(lái)后不久，他完成了他所謂的“粗略閱讀”。Scholze為冗長(zhǎng)的定理和簡(jiǎn)短的證明所困惑，他覺(jué)得這些證明雖有道理卻很脆弱。他之后寫(xiě)道，中間的兩篇論文真正包含的內(nèi)容似乎非常少。

然后，Scholze進(jìn)展到了第三篇論文中的推論3.12。數(shù)學(xué)家通常使用“推論”來(lái)指之前的更重要定理的次要結(jié)果，但是對(duì)于望月新一的推論3.12，數(shù)學(xué)家認(rèn)為這是證明abc猜想的核心，如Calegari曾寫(xiě)到的那樣，若沒(méi)有這個(gè)推論，”就根本沒(méi)有證明，這是關(guān)鍵的一步”。

這個(gè)推論是中間兩篇論文中唯一一個(gè)證明過(guò)程超過(guò)幾行的定理——它占了整整九頁(yè)。當(dāng)Scholze通讀這個(gè)證明時(shí)，有一個(gè)地方他完全無(wú)法跟上邏輯。

當(dāng)時(shí)只有24歲的Scholze認(rèn)為這個(gè)推論的證明是有缺陷的，但是絕大多數(shù)時(shí)候，他都遠(yuǎn)離關(guān)于這些論文的討論，除非有時(shí)候直接被問(wèn)及他的想法。他想，或許其他數(shù)學(xué)家會(huì)從論文中發(fā)現(xiàn)他遺漏了的重要想法。也或許，他們會(huì)得到跟他相同的結(jié)論。無(wú)論如何，數(shù)學(xué)界一定能夠解決這些問(wèn)題。

與此同時(shí)，其他數(shù)學(xué)家也在努力研究那些密密麻麻的論文。許多人對(duì)在2015年年底于牛津大學(xué)舉行的望月新一工作研討會(huì)議寄予了厚望，但是當(dāng)幾位望月新一的密切合作者試圖描述證明的關(guān)鍵思想時(shí)，“一團(tuán)迷霧”似乎籠罩到了聽(tīng)眾身上。Conrad在會(huì)議后不久的一篇報(bào)告中寫(xiě)道：“那些理解望月新一工作的人需要更好地跟算數(shù)幾何學(xué)家溝通，是什么使得證明有效?！?/span>

在Conrad發(fā)表文章之后幾天，他收到了來(lái)自三位不同數(shù)學(xué)家（其中一個(gè)是Scholze）的郵件，所有郵件都表達(dá)了一個(gè)相同的故事：他們能夠理解那些論文，直到一個(gè)特定的部分。Conrad隨后寫(xiě)道：“令他們感到困惑的地方都是推論3.12” 。

Kim從另一位數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在在京都大學(xué)的Teruhisa Koshikawa那里聽(tīng)到了類(lèi)似的關(guān)于推論3.12的困擾。Stix也在同一個(gè)地方感到困惑。許多數(shù)論學(xué)家逐漸意識(shí)到，這個(gè)推論是癥結(jié)所在，但是并不清楚是論證有漏洞，還是望月新一需要更好地解釋他的推理。

2017年底，謠言四起，許多數(shù)論學(xué)家驚愕不已——望月新一的論文被數(shù)理解析研究所的出版部門(mén)（PRIMS）接受發(fā)表，而望月新一本人是這個(gè)期刊的主編。Calegari認(rèn)為這個(gè)安排“非常不妥”，盡管編輯們?cè)谶@樣的情況下通常會(huì)回避。然而，許多數(shù)論學(xué)家更為困擾的是這些論文仍然難以閱讀這一事實(shí)。

芝加哥大學(xué)的Matthew Emerton寫(xiě)道：“那些聲稱(chēng)理解論證過(guò)程的專(zhuān)家們沒(méi)有一個(gè)能成功地向眾多迷惑不解的專(zhuān)家來(lái)解釋那些證明。”

Calegari曾在博客中表示，這是“一場(chǎng)徹底的災(zāi)難”?！艾F(xiàn)在，我們處于一種荒謬的境地，在京都它是abc定理，在其他地方則是abc猜想?！?/span>

PRIMS很快對(duì)新聞界的詢(xún)問(wèn)作出回應(yīng)，聲明說(shuō)，這些論文實(shí)際上并沒(méi)有被接受。

Scholze認(rèn)為，圍繞這個(gè)證明的整個(gè)討論已經(jīng)變得“太過(guò)于社會(huì)化”，每個(gè)人都只是在談?wù)撜f(shuō)這感覺(jué)不像是一個(gè)證明，但是沒(méi)有人說(shuō)“實(shí)際上是在這一點(diǎn)上沒(méi)人理解這個(gè)證明”。

所以在Calegari的博客文章下面的評(píng)論部分，Scholze寫(xiě)道，在推論3.12的證明中，他“完全無(wú)法理解圖3.8之后的邏輯”。并補(bǔ)充說(shuō)，“聲稱(chēng)理解證明過(guò)程的數(shù)學(xué)家不愿意承認(rèn)在那里必須有更多解釋?！?/span>

望月新一在京都大學(xué)的同事、菲爾茲獎(jiǎng)得主森重文（Shigefumi Mori）向Scholze致信，提議他和望月新一見(jiàn)上一面。Scholze找到了Stix，他們兩人在三月份來(lái)到京都，與望月新一和Hoshi討論讓人們困惑的證明。

望月新一解決abc猜想的方法是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于橢圓曲線(xiàn)的問(wèn)題，這是包含x和y兩個(gè)變量的一種特殊類(lèi)型的三次方程。這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程很簡(jiǎn)單，在望月新一的工作之前就已經(jīng)眾所周知——將每一個(gè)abc方程與穿過(guò)x軸上a、b兩點(diǎn)和原點(diǎn)的橢圓曲線(xiàn)聯(lián)系起來(lái)——但是它使得數(shù)學(xué)家能夠利用橢圓曲線(xiàn)豐富的結(jié)構(gòu)，因?yàn)闄E圓曲線(xiàn)將數(shù)論與幾何、積分和其他數(shù)學(xué)分支連接。同樣的轉(zhuǎn)化過(guò)程是1994年Andrew Wiles證明費(fèi)馬大定理的核心。

然后，abc猜想就被歸結(jié)為證明與橢圓曲線(xiàn)相關(guān)的兩個(gè)量之間的一個(gè)確定的不等式。望月新一的工作將這個(gè)不等式再次轉(zhuǎn)化為另一種形式，Stix說(shuō)，這可以被認(rèn)為是比較兩個(gè)集合的體積。在推論3.12中，望月新一試圖證明這個(gè)新的不等式，如果這個(gè)推論是真的，就能證明abc猜想。

Scholze和Stix表示，這個(gè)證明涉及處在實(shí)數(shù)的兩個(gè)不同拷貝內(nèi)觀察兩個(gè)集合的體積，然后，實(shí)數(shù)的這兩個(gè)不同拷貝又被表示為實(shí)數(shù)的六個(gè)不同拷貝組成的圓的一部分，同時(shí)還包括解釋圓上的每個(gè)實(shí)數(shù)拷貝如何與近鄰聯(lián)系的映射。為了追蹤集合的體積如何彼此聯(lián)系，必須理解不同拷貝下的體積測(cè)量如何聯(lián)系。

Stix說(shuō)：“如果有兩個(gè)變量的不等式，但是測(cè)量的尺子因?yàn)闊o(wú)法控制的因素而有些收縮，那就會(huì)失去對(duì)不等式實(shí)際意義的控制?！?/span>

Scholze和Stix認(rèn)為，正是在這個(gè)論證的關(guān)鍵點(diǎn)上出錯(cuò)了。在望月新一的映射中，測(cè)量標(biāo)尺在局域上相互兼容，但是如果繞著圓走一圈，最終測(cè)量標(biāo)尺看起來(lái)將會(huì)不同于另一種繞行方式的結(jié)果。Stix表示，這種情況類(lèi)似于埃舍爾著名的蜿蜒樓梯，樓梯向上攀登再攀登，最終卻處在起始位置的下面。

○ 埃舍爾樓梯。| 圖片來(lái)源：Klaus Kremmerz for Quanta Magazine

Scholze和Stix斷言說(shuō)，體積測(cè)量上的不相容意味著最終的不等式是在兩個(gè)錯(cuò)誤的量之間進(jìn)行比較。然而，如果做出調(diào)整使得體積測(cè)量變得整體兼容，不等式就會(huì)變得無(wú)意義。

深入研究過(guò)望月新一論文的數(shù)學(xué)家Kiran Kedlaya說(shuō)，Scholze和Stix已經(jīng)“識(shí)別出一種方法以表明望月新一的論證不可能有效，所以如果論證是正確的，就必須做出一些不同的、更為微妙的證明”。

望月新一爭(zhēng)辯說(shuō)，更為微妙的事情恰好是這個(gè)證明所做的。他寫(xiě)道，Scholze和Stix的錯(cuò)誤在于，他們對(duì)本應(yīng)被視為互不相同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行了任意鑒別。

數(shù)學(xué)家現(xiàn)在必須吸收Scholze和Stix的論證和望月新一的回應(yīng)。但是Scholze希望，與望月新一最初的一系列論文的情形不同，這個(gè)論證不應(yīng)該是一個(gè)曠日持久的過(guò)程，因?yàn)樗麄兊姆磳?duì)證明技術(shù)性并不是很強(qiáng)。其他數(shù)論學(xué)家“完全能夠跟上這一周我們與望月新一的討論”。

望月新一看待事情的方式截然不同。在他看來(lái)，Scholze和Stix的批評(píng)是源自于“缺乏足夠的時(shí)間來(lái)深入思考討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題”，或許還伴隨著“一種深切的不適感，或者說(shuō)生疏感，因?yàn)檫@是對(duì)熟悉的數(shù)學(xué)對(duì)象的新的思考方式?！?/span>

Kim說(shuō)，那些已經(jīng)懷疑望月新一關(guān)于abc猜想的證明過(guò)程的數(shù)學(xué)家或許會(huì)將Scholze和Stix的報(bào)告視為故事的結(jié)尾。其他人會(huì)想要研究新的報(bào)告，正如同Kim自己已經(jīng)開(kāi)始做的那樣。他在郵件中寫(xiě)道，在下定決心之前，我認(rèn)為有需要親自更加仔細(xì)地檢查一下證明過(guò)程。

在過(guò)去的幾年時(shí)間里，許多數(shù)論學(xué)家已經(jīng)放棄理解望月新一的論文。但是如果望月新一和他的追隨者能夠提供一個(gè)詳盡而連貫的解釋?zhuān)瑏?lái)說(shuō)明為什么Scholze和Stix的圖像過(guò)于簡(jiǎn)單化（姑且假設(shè)它是如此），“這或許會(huì)釋放掉很多疲憊，或許還會(huì)讓人們有更多意愿再次研究abc猜想，” Kedlaya說(shuō)道。

與此同時(shí)，Scholze說(shuō)：“我認(rèn)為直到望月新一做出一些非常實(shí)質(zhì)性的修改，并更好地解釋這個(gè)關(guān)鍵步驟之前，他的工作不應(yīng)該被看作一個(gè)證明。我并沒(méi)有真地看到一個(gè)讓我們距離證明abc猜想更近的關(guān)鍵想法。”

無(wú)論最終討論的結(jié)果如何，望月新一論證的這個(gè)特定部分應(yīng)該會(huì)具有更大的清晰度。Kim說(shuō)：“Scholze和Stix所做的事情是對(duì)數(shù)學(xué)界的重要幫助，無(wú)論發(fā)生什么，我相信這個(gè)報(bào)告將會(huì)是得到一個(gè)明確結(jié)果的過(guò)程中的一個(gè)進(jìn)展。”