動量守恒中的臨界問題

動量守恒定律是力學(xué)中的一個重要規(guī)律。在運用動量守恒定律解題時，常會遇到相互作用的幾個物體間的臨界問題，求解這類問題要注意分析臨界狀態(tài)，把握相關(guān)的臨界條件?，F(xiàn)將與動量守恒定律相關(guān)的臨界問題作一初步的分析和討論。

一. 涉及彈簧的臨界問題

對于由彈簧組成的系統(tǒng)，在物體間發(fā)生相互作用的過程中，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，彈簧兩端的兩個物體的速度必相等。

  例1. 如圖（1）所示，在光滑的水平面上，用彈簧相連的質(zhì)量均為2kg的A、B兩物體以6m/s的速度向右運動，彈簧處于原長，質(zhì)量為4kg的物體C靜止在前方。A與C碰撞后將粘在一起運動，在以后的運動中，彈簧達(dá)到最大彈性勢能時，C的速度為多少？

圖（1）

解析：A、B以6m/s的速度向右運動，并與C發(fā)生碰撞。由于碰撞時間很短，可認(rèn)為碰撞僅發(fā)生在A與C之間，碰后A與C具有共同速度。

由動量守恒定律有：

得：

A和C碰后合并為一個物體，由于物體B的速度大于A和C的速度，彈簧將被壓縮。接著，物體B做減速運動，A和C做加速運動。當(dāng)三個物體速度相同時，彈簧的壓縮量最大，此時彈簧的彈性勢能達(dá)到最大。

由動量守恒定律有：

得：

二. 涉及最大高度的臨界問題

在物體滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的過程中，由于彈力的作用，斜面在水平方向?qū)⒆黾铀龠\動。物體滑到斜面上最高點的臨界條件是物體與斜面沿水平方向具有共同的速度，物體在豎直方向的分速度等于零。

  例2. 如圖（2）所示，質(zhì)量為M的槽體放在光滑水平面上，內(nèi)有半徑為R的半圓形軌道，其左端緊靠一個固定在地面上的擋板。質(zhì)量為m的小球從A點由靜止釋放。若槽內(nèi)光滑，求小球上升的最大高度。

圖（2）

解析：設(shè)小球由A滑到最低點B時的速度為v₁，上升的最大高度為h。

由機(jī)械能守恒定律：①

∴②

小球在向上運動過程中，M和m組成的系統(tǒng)水平方向總動量守恒，設(shè)它們在最高點時水平方向的共同速度為v₂，則有：③

整個過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒：④

由②~④式得小球上升的最大高度：。

三. 涉及追碰的臨界問題

兩個在光滑水平面上做勻速運動的物體，甲物體追上乙物體的條件是甲物體的速度V_甲必須大于乙物體的速度V_乙，即V_甲>V_乙，而甲物體剛好追不上乙物體的臨界條件是V_甲=V_乙。

  例3. 甲、乙兩個小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車的總質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車的總質(zhì)量也是30kg，甲推著一個質(zhì)量為m=15kg的箱子，和他一起以大小為V₀=2m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來，為了避免相碰，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不計冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相對于冰面）將箱子推出，才能避免與乙相撞。

解析：當(dāng)甲把箱子推出后，甲的運動存在三種可能：

①繼續(xù)向前，方向不變；

②停止運動；

③反向運動。以上三種推出箱子的方法，由動量守恒定律可知，第一種推法箱子獲得的速度最小，若這種推法能實現(xiàn)目標(biāo)，則箱子獲得的速度最小，設(shè)箱子的速度為V，取甲運動方向為正方向，則對甲和箱子在推出過程運用動量守恒定律：

①

箱子推出后，被乙抓住，為避免甲、乙相撞，則乙抓住箱子后必須后退，對乙和箱子運動動量守恒定律得：

②

要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度為最小速度的臨界條件為：

③

解以上三式得：v=5.2m/s

四. 涉及子彈打木塊的臨界問題

子彈打木塊是一種常見的模型。子彈剛好擊穿木塊的臨界條件為子彈穿出時的速度與木塊的速度相同。

  例4. 靜止在光滑水平面上的木塊，質(zhì)量為M、長度為L。一顆質(zhì)量為m的子彈從木塊的左端打進(jìn)。設(shè)子彈在打穿木塊的過程中受到大小恒為F_f的阻力，要使子彈剛好從木塊的右端打出，則子彈的初速度V₀應(yīng)等于多大？

解析：取子彈和木塊為研究對象，它們所受到的合外力等于零，故總動量守恒。由動量守恒定律得：

①

要使子彈剛好從木塊右端打出，則必須滿足如下的臨界條件：

②

根據(jù)功能關(guān)系得：

③

解以上三式得：