翻開大多數(shù)海內(nèi)外的一本中級理論物理學(xué)教材（即本科高年級和碩士低年級），都是簡要地回顧了一下牛頓力學(xué)（包括拉格朗日力學(xué)在內(nèi)）和哈密頓力學(xué)兩種力學(xué)的所謂的“物理學(xué)”差異性，幾乎從不論述它們二者的幾何學(xué)差別性。而有的美國教授正確地說道，把在一個(gè)正交空間中展現(xiàn)的牛頓力學(xué)，放進(jìn)兩個(gè)互為倒易的斜交空間重新表述出來的力學(xué)就是拉格朗日力學(xué)。可是，卻沒有把“牛頓力學(xué)和哈密頓力學(xué)的幾何差別”陳述出來。

    當(dāng)然，在高等物理學(xué)的教材（碩士高年級和博士年級）中，很多國內(nèi)外的作者幾乎是清一色地把“哈密頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的差別”詮釋為“余切叢和切叢上的函數(shù)”（微分幾何中，一個(gè)微分流形的余切叢是流形每點(diǎn)的余切空間組成的向量叢；一個(gè)微分流形的切叢是一個(gè)由流形各點(diǎn)上切空間組成的向量叢，其總空間是各切空間的不交并集），固然這是正確滴。可是，切叢和余切叢的關(guān)系又是什么呢？呵呵，遺憾的是幾乎沒有一個(gè)專著明確指出和推導(dǎo)。仿佛我們除了只有一個(gè)“勒讓德變換”來從數(shù)學(xué)上來連接“哈密頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)”之外，再就無能為力了！

    然而，更重要的問題卻是：“同一個(gè)物理學(xué)質(zhì)點(diǎn)的幾何模型，真的會有任何物理學(xué)上的差別嗎？”換言之，當(dāng)我們選擇不同的數(shù)學(xué)幾何學(xué)來描述在光滑自由空間中同一個(gè)物理質(zhì)點(diǎn)的加速運(yùn)動的時(shí)候，無疑地將產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的形式差別，可是這會出現(xiàn)物理學(xué)上的本質(zhì)差別嗎？

    歐幾里德幾何學(xué)比較特殊，它是在笛卡爾正交坐標(biāo)系里展開討論的。這是牛頓力學(xué)首選的數(shù)學(xué)模型，人人對它都耳熟能詳。碰巧的是，它的兩個(gè)左右共軛的空間恰好一模一樣，鏡像一般而無需任何區(qū)分。正是這個(gè)特點(diǎn)，讓我們覺得歐幾里德幾何學(xué)是在自然那不過的，并且直覺上感到這是很簡單、又很真實(shí)的幾何學(xué)。

    歐幾里德幾何學(xué)是仿射幾何學(xué)的一個(gè)子幾何，它可以被稱作是“正交幾何學(xué)”；而仿射幾何學(xué)也可以稱作是“斜交幾何學(xué)”。顯而易見的是正交的歐幾里德幾何學(xué)是斜交的仿射幾何學(xué)的一個(gè)子幾何，因?yàn)榧偃缱鴺?biāo)系的個(gè)坐標(biāo)軸恰好是正交的——即彼此相互垂直的話，這時(shí)的仿射幾何學(xué)依舊是仿射幾何學(xué)，但是，同時(shí)還可以被稱作是歐幾里德幾何學(xué)了。

    就一般情況下，仿射幾何學(xué)各個(gè)坐標(biāo)軸之間呢，彼此都不相互垂直。這時(shí)的幾何學(xué)就不是歐幾里德幾何學(xué)了，而是仿射幾何學(xué)了。顯然，它要比歐幾里德幾何學(xué)復(fù)雜得多。能帶來更豐富的幾何學(xué)內(nèi)容，還必須引進(jìn)很多歐幾里德幾何學(xué)一系列的它所沒有的、但又是必需的很多的幾何概念集。

    首先，它的左共軛空間和右共軛空間很不相同，雙雙如影隨形，密不可分地緊緊關(guān)聯(lián)著，這種雙形式可以和歐幾里德幾何學(xué)有著形式上的某種特征的“相似性”！當(dāng)然，左右兩個(gè)共軛空間也可以沒有任何相關(guān)聯(lián)地獨(dú)立描寫而單獨(dú)體現(xiàn)，這個(gè)時(shí)候，就會能凸顯出它和歐幾里德幾何學(xué)有著形式上的很大差異。

    可是，令人遺憾的是，現(xiàn)有的很多教材卻沒有能夠讓我們的學(xué)生直觀地看清這個(gè)特點(diǎn)。我們以北大或者南開的數(shù)學(xué)系的本科一年級的“空間解析幾何學(xué)”為例的話，我們就會發(fā)現(xiàn)，這些國家教委認(rèn)可的標(biāo)準(zhǔn)教材的缺陷很大，因?yàn)樗鼈円宦啥紱]有能正確地、完整地介紹仿射幾何學(xué)。它們呢，只是輕描淡寫了仿射幾何學(xué)的右空間的情形，對于共軛的左右兩個(gè)空間只字不談。

    仿射幾何學(xué)情形非常類似于“復(fù)幾何學(xué)”的結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵趶?fù)幾何學(xué)里，分一個(gè)“復(fù)空間”和另一個(gè)如影隨形的“復(fù)共軛空間”。仿射幾何學(xué)也是一樣，分一個(gè)“右共軛空間”和另一個(gè)如影隨形的共軛的“左共軛空間”。有的作者翻譯成“刀空間”和“刃空間”；有的作者翻譯成“協(xié)變空間”和“逆變空間”、也有的作者翻譯成“正空間”和“倒易空間”、還有的作者翻譯成“空間”和“對偶空間”、== 。

    但是，最流行的翻譯是“空間”和“對偶空間”；以及“協(xié)變空間”和“逆變空間”?？墒牵偃缱非髷?shù)學(xué)的一貫傳統(tǒng)，嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、精確的話，我個(gè)人認(rèn)為翻譯成“空間”和“共軛空間”，或者一個(gè)“右共軛空間”和另一個(gè)“左共軛空間”才是最佳的！

    先來說說當(dāng)下這種最流行的翻譯“空間”和“對偶空間”；以及“協(xié)變空間”和 “逆變空間”為何不好？

   
一、“空間”和“對偶空間”

    實(shí)際上，眾所周知，仿射幾何學(xué)是射影幾何學(xué)的一個(gè)子幾何。在這個(gè)比仿射幾何學(xué)更為一般的射影幾何學(xué)中，“空間”和“對偶空間”都是早就有著自己的約定俗稱的嚴(yán)格定義了，這兩個(gè)名詞已經(jīng)被射影幾何學(xué)早就牢牢占用了，擁有了確定無疑的含義。

    其次，在克萊因的幾何系統(tǒng)里，“空間”和“對偶空間”也早就有著特別的嚴(yán)格區(qū)分的定義了。而且，克萊因的幾何系統(tǒng)里，“空間”和“對偶空間”和射影幾何學(xué)上，“空間 ”和“對偶空間”嚴(yán)格區(qū)分的定義完全相同！所以，“空間”和“對偶空間”早就有了固定的的各自的不同的定義。比如，在克萊因的幾何系統(tǒng)里，“歐幾里德幾何學(xué)”和“對偶?xì)W幾里德幾何學(xué)”（有人翻譯成“伴歐幾里德幾何學(xué)”）是兩種不同的幾何學(xué)哦。

    因此，在這種情況下，假如仿射幾何學(xué)，繼續(xù)借用“空間”和“對偶空間”這對名詞，又必須重新賦予不同于克萊因的幾何系統(tǒng)和射影幾何學(xué)上“空間”和“對偶空間”的定義的話，是極其容易引起概念上的嚴(yán)重混亂的！

    很遺憾的是，很多數(shù)學(xué)和物理學(xué)的教材和專著，不論是在研究生水準(zhǔn)的高等的微分幾何學(xué)；還是初等的本科的空間空間幾何學(xué)上，國內(nèi)自己編寫的、或者翻譯的，很多不幸地都借用了“空間”和“對偶空間”這對名詞！

   二、現(xiàn)在，我再來說說翻譯成“協(xié)變空間”和“逆變空間”為何也不好？

    “協(xié)變空間”和“逆變空間”這對名詞，一直是物理學(xué)上一對相互運(yùn)動的兩個(gè)不同坐標(biāo)系的空間的習(xí)慣稱謂。通常物理學(xué)上的這兩個(gè)不同坐標(biāo)系的空間，存在一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系：比如一對彼此相對勻速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間；一對彼此相對轉(zhuǎn)動的兩個(gè)空間；一對彼此勻加速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間；一對彼此相對勻加速轉(zhuǎn)動的兩個(gè)空間。==

    這時(shí)，習(xí)慣上往往把相對靜止的空間和相對運(yùn)動的空間分別稱作是“協(xié)變空間”和“逆變空間”。假如仿射幾何學(xué)，繼續(xù)借用“協(xié)變空間”和“逆變空間”這對名詞，但是卻必須賦予不同于物理學(xué)上“協(xié)變空間”和“逆變空間”的定義，也同樣極其容易引起概念上的嚴(yán)重混亂！要知道，在仿射幾何學(xué)中，所謂的“協(xié)變空間”和“逆變空間”之間的關(guān)系是坐標(biāo)系原點(diǎn)重合且相對靜止的關(guān)系哦。

    最典型的惡心例子，就是愛因斯坦本人犯的錯誤——即他所稱的“廣義相對論” 。正如?？说热思怃J指出的那樣：愛因斯坦所謂的“協(xié)變空間”和“逆變空間” 之間的“廣義相對性原理”——從來也不是一對彼此勻加速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間之間的協(xié)變性和逆變性！他的廣義相對論從來沒有論證“物理定律能夠在一對彼此勻加速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間之間保持自己的原有形式不變”！

    原來在黎曼幾何學(xué)里，所謂的“協(xié)變空間”和“逆變空間”之間的關(guān)系永遠(yuǎn)都是是相對靜止的關(guān)系。因此，任何方程都可以在這兩個(gè)空間中保持絕對不變的形式。如果繼續(xù)借用“協(xié)變空間”和“逆變空間”這對名詞，但是卻必須賦予不同的數(shù)學(xué)含義的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)做法，把愛因斯坦徹底弄糊涂了，他以為只要是采用了黎曼幾何學(xué)，任何物理定律統(tǒng)統(tǒng)都能夠在兩個(gè)相對作勻加速直線運(yùn)動空間之間保持自己的原有形式不變！就是他苦苦追尋的“廣義相對性原理”??！呵呵很不幸！這是愛因斯坦犯的一個(gè)低級的錯誤！這是是數(shù)學(xué)家設(shè)下的伏擊不仔細(xì)的物理學(xué)家的可怕圈套哦。全世界學(xué)習(xí)物理專業(yè)的人，很吃虧，每每被數(shù)學(xué)家暗算，慘痛??！哈哈哈，數(shù)學(xué)家寫的這些微分幾何使用的這些名詞竟然物理書上的完全相同名詞，N多！比比皆是。但是，數(shù)學(xué)家的傳統(tǒng)習(xí)慣又從不注明它們原來和物理學(xué)上的其實(shí)是完全不同的含義。

    有意思的是比如，國內(nèi)物理學(xué)博士生選用的教委制定的侯伯宇兄弟倆寫的“物理學(xué)家用的微分幾何學(xué)”，卻繼續(xù)沿用愛因斯坦的這個(gè)極其錯誤的說法。

    所以，“協(xié)變空間”和“逆變空間”這對名詞，最好不要引進(jìn)仿射幾何學(xué)借用，再被賦予不同的定義。

    綜合上述，不難看出，當(dāng)下這種最流行的翻譯“空間”和“對偶空間”；以及“ 協(xié)變空間”和“逆變空間”為何不好，它們會帶來非常混亂的惡果！共軛——這是牛、馬、驢、騾夾在脖子兩邊的凹形曲木。復(fù)幾何學(xué)最早使用“空間”和“共軛空間”來稱復(fù)數(shù)空間和共軛復(fù)數(shù)空間。這種翻譯很精準(zhǔn)，可是復(fù)幾何學(xué)，卻沒有明確指出：這是兩個(gè)不同的幾何空間。呵呵，不過這雖然不是正確的理解方式，但是卻也沒有制造出混亂和錯誤。我們姑且不予深究——除非你做各類幾何的系統(tǒng)研究，比如，克萊因復(fù)幾何學(xué)系統(tǒng)，就不能在這么粗枝大葉了！當(dāng)你只是研究一個(gè)單獨(dú)的復(fù)幾何學(xué)，則不會出錯。

  
    言歸正傳。仿射幾何學(xué)必須引入“空間”和“共軛空間”。歐幾里德幾何學(xué)“空間”和“共軛空間”因?yàn)橥耆嗤鵁o需任何區(qū)分，但在仿射幾何學(xué)，“空間”和“共軛空間”因?yàn)橥耆煌仨殗?yán)格區(qū)分開來哦。至于“空間”和“對偶空間”；以及“協(xié)變空間”和“逆變空間”。我們則在保持不改變原有的意義上繼續(xù)沿用。這樣的話，我們就不會重犯膚淺的錯誤，而把愛因斯坦的“廣義相對論”正確的、精確地稱作是“經(jīng)典引力場論”，同時(shí)，還能清晰地認(rèn)識到“廣義相對論”，至今連“八”字的一“丿”瞥還都沒有呢！

    即物理定律能夠在一對彼此勻加速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間之間保持自己的原有形式不變——的廣義相對論至今上沒有建立起來！

    物理定律能夠在一對彼此勻速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間之間保持自己的原有形式不變 ——的狹義相對論至今已經(jīng)初步建立起來了，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不完整！

    物理定律能夠在一對彼此勻速直線運(yùn)動的兩個(gè)空間之間保持自己的原有形式不變 ——的伽利略相對論至今已經(jīng)初步建立起來了——即經(jīng)典牛頓力學(xué)，但是同樣是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不完整！

    類似地，物理定律能夠在一對彼此勻速轉(zhuǎn)動的兩個(gè)空間之間保持自己的原有形式不變——的相對論轉(zhuǎn)動力學(xué)至今上沒有建立起來！

    類似地，物理定律能夠在一對彼此勻加速轉(zhuǎn)動的兩個(gè)空間之間保持自己的原有形式不變——的相對論轉(zhuǎn)動力學(xué)至今上沒有建立起來！

    描述牛頓經(jīng)典力學(xué)的伽利略幾何學(xué)，在20世紀(jì)初葉才剛剛建立，初步確立起來了我們對伽利略幾何學(xué)的認(rèn)識。但是這部分?jǐn)?shù)學(xué)研究成果，在今天的經(jīng)典物理學(xué)中，還沒有充分的展現(xiàn)。這個(gè)不幸的歷史，造成了哈密頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的繼續(xù)分裂，貌似只有一個(gè)勒讓德變換才是連接這兩大力學(xué)的唯一橋梁。值得注意的是，各種國內(nèi)外的中級力學(xué)和高級力學(xué)的碩博研究生的教材，所給出的各種“從牛頓力學(xué)推導(dǎo)拉格朗日力學(xué)”的種種為數(shù)學(xué)家所不齒的加油添醋的所謂的“虛位移推導(dǎo)”——沒有一個(gè)是完全正確合理的！切莫誤入歧途哦。

   哈密頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的分裂，現(xiàn)有人人熟知的這些幾何學(xué)是沒有能力來彌合的。怎么辦呢？這就需要我們創(chuàng)造性地發(fā)展現(xiàn)有的經(jīng)典幾何學(xué)和纖維叢幾何學(xué)，從而加以完整化。繼而填平哈密頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)之間的大約近300年的歷史鴻溝——在幾何表述上嚴(yán)格證明二者是伽利略對偶幾何學(xué)上的一對力學(xué)。