一、定義域與值域

例1、已知函數(shù)，（1）若的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：定義域為R應(yīng)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；而值域為R應(yīng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域包含，即函數(shù)值取遍所有的正數(shù)。

解析：（1）的定義域為對任意恒成立。當(dāng)時，不等式化為，顯然不合題意；當(dāng)時，恒成立解得。綜上可得時，函數(shù)的定義域為R。

（2）令，則函數(shù)，的值域為取遍一切正實數(shù)值是值域的子集。當(dāng)時，函數(shù)，值域為R；當(dāng)時，，此時命題解得。綜上可得當(dāng)時，函數(shù)的值域為R。

二、值域與范圍

例2、如果函數(shù)的值域為，求實數(shù)m的取值范圍。

分析：的值恒為非負(fù)數(shù)是“范圍”，而不是“值域”，只要自變量x在定義域內(nèi)取一切值，所對應(yīng)的的每一個值都必須大于等于零，但不一定必須取得大于等于零的一切數(shù)。而值域為，是指自變量x在定義域內(nèi)取一切值時，所對應(yīng)的函數(shù)值必須能且只能取到一切大于等于零的數(shù)。

解析：，即的值域為。由題意，當(dāng)=0，即或時，函數(shù)的值域為。

若此題改為：如果函數(shù)的值恒為非負(fù)數(shù)，求m的取值范圍。

由恒成立，得，解得，故此時實數(shù)m的取值范圍是。

三、定義域與有意義

例3、（1）函數(shù)的定義域是，求a的取值范圍。（2）函數(shù)在上有意義，求a的取值范圍。

分析：一般地，給定函數(shù)的定義域，往往轉(zhuǎn)化為解不等式問題，而給定函數(shù)在某區(qū)間上有意義，往往轉(zhuǎn)化為恒成立問題。

解析：（1）。當(dāng)時，的解集為R，于是的定義域應(yīng)為R，而不是，故不滿足題意。當(dāng)時，

，即的定義域為。又由題設(shè)知的定義域為，得，解得。綜上可知，滿足題意的a的取值范圍是。

（2）。因在上單調(diào)遞增，在上的最大值為，所以要使一切都有，只要便可，故a的取值范圍為，即。

四、有解與恒成立

例4、（1）若不等式，在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。（2）若不等式，在內(nèi)有解，求k的取值范圍。

分析：一般地，有解，有解；恒成立，恒成立。

解析：（1）由對恒成立

。

記，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即。

∴時，對恒成立。

（2）在上有解。

記

。

由，知函數(shù)與在上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)。

∴當(dāng)時，；當(dāng)時，。

∴時原不等式在上有解。