一、指數(shù)函數(shù)

例1、如圖是指數(shù)函數(shù)的圖象，則與1的大小關(guān)系是（  ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：解本題的關(guān)鍵在于令x＝1，這樣一來，比較與1的大小關(guān)系就變成了比較四個函數(shù)的函數(shù)值與1的大小關(guān)系了。

指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點，作出直線與交點的縱坐標，即為對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，靠上的點對應(yīng)的數(shù)值大，則底數(shù)較大。

解析：在同一坐標系中作出四個指數(shù)函數(shù)的圖象，并作出直線的圖象，且它與指數(shù)函數(shù)圖象有交點，則交點縱坐標就分別是，從圖中可以看到它們由上至下依次變小，故正確選項為B。

例2、當時，的值總大于1，則實數(shù)的取值范圍為（  ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：將看作一個整體，借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來解決。“整體法”是代數(shù)的基本方法之一，要熟練掌握。

解析：作出兩條指數(shù)函數(shù)圖象，如圖所示。

當時，的值總大于1，

作直線與，的交點，則其在軸上的投影的對應(yīng)值為，由圖象可看出，

于是，解得，故選D。

二、對數(shù)及對數(shù)函數(shù)

例3、已知＝，54^b＝3，用的值

分析：先根據(jù)對數(shù)的定義求出b，再利用換底公式將表示成以54為底的對數(shù)。

先將指數(shù)化成對數(shù)，再由對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式計算結(jié)果是解決這類問題的常用方法。

解析：由＝3得＝b

∴＝＝

例4、已知函數(shù)，討論的奇偶性。

分析：計算，由，據(jù)此判定的奇偶性。

若，則為奇函數(shù)；若則為偶函數(shù)。

解析：由

解得函數(shù)的定義域為，

且。

即，所以函數(shù)是奇函數(shù)。

例5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

分析：先求出的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定法則求解。

對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，要分兩步進行：第一，先考慮定義域；第二，再考慮單調(diào)性，在這一步中，要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定法則（同增異減）。

解析：由或，得函數(shù)的定義域為。

設(shè)，則

，在上單調(diào)遞減，

又由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

例6、已知函數(shù)

（1）定義域是R，求m的取值范圍；

（2）值域是R，求m的取值范圍。

分析：在已知對數(shù)函數(shù)的定義域是R與值域是R，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意它們是有明顯區(qū)別的。解本題的關(guān)鍵在于通過對圖象的分析，理解到對數(shù)的值域為R，則定義域必須從零開始。

解析：（1）因為函數(shù)的定義域是R，故而對任意有恒成立。

1）m＝0時，有 不恒成立，與題意矛盾。故舍之；

2）時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

綜上，

（2）因為函數(shù)的值域是R，

故而有

三、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的綜合

例7、已知函數(shù)的圖象沿軸方向向左平移1個單位后與的圖象關(guān)于直線對稱，且，則函數(shù)的值域為         。

分析：先求出函數(shù)關(guān)于直線對稱的函數(shù)，再向右平移回去，得到的解析式，進而求出，最后求值域。

底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)于對稱，它們之間還有一個關(guān)系式：_。

解析：函數(shù)關(guān)于直線對稱的函數(shù)為。

向右平移1個單位得到，。

∴。

∴。

∵。

例8、已知函數(shù)，。

（1）證明：是奇函數(shù)，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明。

分析：對第（1）問，應(yīng)先求定義域，如果有多個區(qū)間，其單調(diào)性要分別討論。第（2）問是一道歸納題，要經(jīng)歷觀察，歸納，猜想和證明的全過程。奇函數(shù)在其關(guān)于定義域?qū)ΨQ的兩個區(qū)間內(nèi)單調(diào)性一致；偶函數(shù)在其關(guān)于定義域?qū)ΨQ的兩個區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反；類似這樣的性質(zhì)平時要注意積累，對解題會有很大的幫助。

解析：（1）證明：∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，

又，

∴是奇函數(shù)。

設(shè)，且、，則

。

∵，，∴，

∴在上單調(diào)遞增。

又∵是奇函數(shù)，∴在上也是單調(diào)遞增。

  故的單調(diào)區(qū)間為和。

  （2）解：計算得，。

  由此概括出對所有不等于零的實數(shù)有。

  ∵

＝0，

∴。