令a=x+y，b=x-y，利用平方差公式易得等式（x＋y）2-（x-y）2=4xy。利用這個式子中的（x＋y）2-（x-y）2可計算4xy的值，從而得到xy的值。多數(shù)情況下，這樣計算xy的值，是走了彎路。當x、y的和是定值的情況下，利用式子（x＋y）2-（x-y）2=4xy判斷積xy的值隨x與y的變化情況是很直觀的。

一、判斷兩個正數(shù)和一定與它們的積隨差值的改變而變化的情況

兩個正數(shù)的積隨它們的差值改變：兩個正數(shù)的和一定，兩個正數(shù)的差越小，它們的積越大，當這兩個數(shù)相等時，它們的積最大。判斷這個結論的方法已有多種，這里不贅述。除了那些判斷方法外，還可以利用平方差公式來判定這個結論。

令兩個正數(shù)是x和y，那么，它們的和是（x＋y），它們的差是（x-y）。它們的平方差:（x＋y）2-（x-y）2=4xy。因x>0、y>0， 所以xy>0，式子中的（x＋y）2>（x-y）2。基于（x＋y）2是定值，這兩個正數(shù)的積4xy隨（x-y）2的增大而減小。當x=y時，（x-y）2有最小值，相應的有積xy是最大值。

利用式子（x＋y）2-（x-y）2=4xy（相當于xy=[（x＋y）2-（x-y）2）]÷4）容易看出:兩個正數(shù)和一定，兩數(shù)的差越小，它們的積越大，當兩數(shù)相等時，它們的積最大。

當x、y是兩個大于0的正數(shù)時，xy=│x│·│y│，而（-）x·(-)y=xy，所以，當兩個不為0的負數(shù)的和一定時，兩個負數(shù)的差越小，它們的積也越大，最大積為（x＋y）2÷4。

二、利用圖形判斷兩個正數(shù)和一定與它們的積隨差值的改變而變化的情況

令式子（x＋y）2-（x-y）2=4xy中的x>0、y>0、y>x。把（x＋y）2的值看成是以（x＋y）為邊長的正方形的面積，把（x-y）2的值看成是以（y-x）為邊長的正方形的面積，把xy的值看成是邊長為x、Y的矩形的面積，利用圖形可證明：在x>0、y>0的情況下的（x＋y）2-（y-x）2=4xy。

將四個相同的邊長都是x、y的矩形按圖示的那樣排列，它們所圍成的邊框是正方形A（y>x），它的面積就是（x＋y）2。中間空著的部分也是正方形的，這個正方形B的邊長是（y-x），面積就是（y-x）2。

依據(jù)圖形可看出：正方形A的面積=四個相同矩形的面積+正方形B的面積，即（x＋y）2=4xy+（y-x）2，變形后得（x＋y）2-（y-x）2=4xy。

在保證和（x＋y）不變基礎上，通過調整差（y-x）的值，利用圖形可演示結論：兩個正數(shù)和一定，兩個正數(shù)的差越小，它們的積大，當兩數(shù)相等時，它們的積最大。設x+y=10，且都取整數(shù)。