一、不同公式和問題中的r，含義不同

萬有引力定律公式中的r指的是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離，對(duì)于相距很遠(yuǎn)因而可以看做質(zhì)點(diǎn)的物體，指的是兩個(gè)球心的距離。而向心力公式中的r，對(duì)于橢圓軌道指的是曲率半徑，對(duì)于圓軌道它等于圓半徑。開普勒第三定律中的r指的是橢圓軌道的半長軸。因此，同一個(gè)r在不同公式中所具有的含義不同。

例1、如圖1所示，兩個(gè)靠得很近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須以相同的角速度繞某一中心轉(zhuǎn)動(dòng)才不至于因萬有引力而吸引在一起，已知雙星的質(zhì)量分別為和，相距為L，萬有引力常量為G，求：

（1）雙星轉(zhuǎn)動(dòng)的中心位置；

（2）轉(zhuǎn)動(dòng)周期。

圖1

解析：設(shè)雙星轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置O距離為r，與兩恒星中心的距離L不同，則：

解得：

在求第二問時(shí)更應(yīng)注意距離和半徑的區(qū)別，對(duì)恒星有：

得轉(zhuǎn)動(dòng)同期為：

例2、飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T，如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點(diǎn)A處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切，如圖2所示，求飛船由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需要的時(shí)間。（已知地球半徑為）

圖2

解析：本題用開普勒第三定律求解比較簡單。對(duì)地球衛(wèi)星繞地運(yùn)行時(shí)所有衛(wèi)星的軌道半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期平方的比值都相等，對(duì)于在圓周軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星其軌道的半長軸就是圓半徑，所以，當(dāng)飛船在圓周上繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，有，當(dāng)飛船進(jìn)入橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，有，由兩式聯(lián)立得飛船在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的周期：

故解得飛船由A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為

二、向心加速度與重力加速度

對(duì)于向心加速度與重力加速度兩個(gè)概念，既有區(qū)別又有聯(lián)系：（1）在地球表面的不同緯度處，重力加速度的數(shù)值不相等，各處的向心加速度也不同；（2）在距離地面一定高度處繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體具有的向心加速度和該處的重力加速度相等。

設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，物體m離開地心的距離為r，在該處的向心加速度為，重力加速度為，則由：

聯(lián)立得：

在距離地面一定高度處繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，重力完全提供向心力，所以物體處于完全失重狀態(tài)，視重為零，物體本身受的重力即萬有引力并不等于零。

例3、用m表示地球同步通信衛(wèi)星的質(zhì)量，h表示它離地面的高度，R表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，ω表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則該通信衛(wèi)星所受地球?qū)λ娜f有引力的大小等于（ ）

A. 0

B. 

C. 

D. 

解析：在離地心為r處的這個(gè)表達(dá)式可以當(dāng)做推論公式使用，這樣解答就顯得更加簡便。通信衛(wèi)星受到地球?qū)λ娜f有引力的大小

由得：，則，故正確選項(xiàng)是B、C。

三、人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行速度和發(fā)射速度

第一、第二、第三宇宙速度都是指衛(wèi)星相對(duì)于地球的發(fā)射速率。若地球表面的空氣阻力可以忽略，地球是個(gè)質(zhì)量均勻的理想球體，則當(dāng)人造地球衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力，即，得衛(wèi)星的運(yùn)行速度（M為地球的質(zhì)量），從式中可以看出，衛(wèi)星離地面越高，其運(yùn)行速度越??；衛(wèi)星離地面越近，其運(yùn)行速度越大。當(dāng)衛(wèi)星近地運(yùn)行時(shí)，軌道半徑（地球半徑），這時(shí)其運(yùn)行速度最大，即為，因此，人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度為，也就是說第一宇宙速度是衛(wèi)星的最大運(yùn)行速度。那么是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大還是最小的發(fā)射速度？

雖然距地面高的衛(wèi)星運(yùn)行速度比靠近地面的衛(wèi)星運(yùn)行速度小，但是向高軌道發(fā)射衛(wèi)星卻比低軌道發(fā)射衛(wèi)星要困難。因?yàn)橄蚋哕壍腊l(fā)射衛(wèi)星，火箭要克服引力做更多的功。

具體可以這樣來分析：

當(dāng)一質(zhì)量為m的衛(wèi)星以速度v繞質(zhì)量為M的地球做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，如以無窮遠(yuǎn)處作為零勢能點(diǎn)，則它的動(dòng)能和勢能分別為：

又因

所以，衛(wèi)星的總能量

由以上推導(dǎo)可見，衛(wèi)星飛得越高，其速度越慢，但是它的總能量卻越大，這是發(fā)射高軌道衛(wèi)星比較困難的原因之一。故7.9 km/s是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。

例4、關(guān)于第一宇宙速度，下面說法中正確的是（ ）

A.它是人造衛(wèi)星繞地球飛行的最小速度

B.它是近地圓軌道上人造衛(wèi)星的運(yùn)行速度

C.它是衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)在近地點(diǎn)的速度

D.它又叫環(huán)繞速度，即繞地球做圓軌道運(yùn)行的衛(wèi)星的速度都是第一宇宙速度

解析：所謂近地圓軌道是指地球?yàn)槔硐肭蝮w，地球沒有大氣層的情況下緊貼地面的圓軌道。第一宇宙速度即是一個(gè)特定的數(shù)值，是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度。由上面的概念可知，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，離地越高，其運(yùn)行速度越小，并不是繞地球做圓軌道運(yùn)行的衛(wèi)星速度都是第一宇宙速度。如果人造衛(wèi)星進(jìn)入地面附近的軌道速度大于，而小于，它繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道就不是圓，而是橢圓。因此，該題的正確選項(xiàng)是B。