本文作者何天成，第58屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）金牌獲得者，華南師大附中2017屆畢業(yè)生，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2017級新生。本文首發(fā)于數(shù)學(xué)新星網(wǎng)。

作者非常詳細地闡述了從高聯(lián)一試/二試，到參加CMO，國家集訓(xùn)隊，走向IMO，各級競賽的心路歷程和學(xué)習(xí)方法，對于參加競賽的同學(xué)具有非常大的指導(dǎo)意義，因為篇幅較長，故分為三篇分享給大家。請看過的同學(xué)溫故知新，沒看過的同學(xué)一定要認真做好筆記，滿滿的干貨~

正文如下：

2017年7月，我有幸作為中國國家隊的一員參加了第 58 屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（ IMO ) ，并獲得了一枚金牌?；仡櫫旮傎愔罚覐拈_始的一個懵懂無知的新人，一路上經(jīng)歷了不少挫折，走了不少彎路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套學(xué)習(xí)競賽的方法，最后的結(jié)局也是幸運的。而正是這份幸運，讓我覺得有責任把自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競賽的經(jīng)驗與心得分享出來，希望后來者能吸取我的經(jīng)驗和教訓(xùn)，找到自己的不足，并更好地看清未來。

對于一場考試，我喜歡用以下 3 個參數(shù)來衡量最終的分數(shù)：最終分數(shù)=實力分 x 運氣分 x 狀態(tài)分。其中實力，運氣，狀態(tài)均為非負實數(shù)。

這里，“實力”顧名思義，盡管不好量化，但是一般來說實力相差很大還是能看出來的。

“運氣”主要代表“題目是否對路”，比如一個擅長幾何的選手參加一場幾何送分的考試，當然運氣分較低；而參加一場幾何難度他剛剛好能做出來的考試，運氣分就比較高了。當然，運氣分是取決于考試本身的，可以認為主觀上不能改變它，但是在集訓(xùn)隊這樣的多次考試中，平均下來，運氣會比較穩(wěn)定；并且，我們可以用比如“補短板”或者“狂刷一科”等方法改變運氣分的波動大小。另一方面的運氣來自于改卷，即能不能得到預(yù)想中的分數(shù)，這一點理論上來說也是不能自己操縱的，但是可以通過加強書寫等方法提升。

“狀態(tài)”源于自身，常見的影響狀態(tài)的因素有，比如考前一晚睡不著，考試很凍手、凍僵了，旁邊的同學(xué)一直發(fā)出噪音等等。當然，也可能會有狀態(tài)莫名超好的情況，但是我們不能控制自己超常發(fā)揮，只能期望盡量發(fā)揮正常。

總結(jié)下來，我們當然要“提升實力”，但同時也要注意一些很容易被忽略的地方——提升運氣和狀態(tài)。這看似很難處理，但實際上還是有跡可循的。

運氣方面，一是之前說的“補短板”與“狂刷一科” 。補短板是實力進階的必經(jīng)之路，我一直認為，一名真正優(yōu)秀的選手并不一定要做出很多人都做不出的超難題，但是一定要做出有足夠多人能做出的題，這就需要了解不同的方法，覆蓋更多知識面，做真題。“狂刷一科”是實力不夠的情況下的賭博，比如就想聯(lián)賽做出倆題混一等獎，然后狂刷代數(shù)與幾何之類的。我對這種方法不予評價，但反正我自己的經(jīng)歷是，凡是賭博的情況都必輸，實力不到說啥都沒用，不如按部就班的來，讀者可以自己考慮實力不夠的時候的做法。

第二點大概就是關(guān)于過程的書寫，事實上，很多人對自己的過程非常有自信。如果你批改過其他人的過程，總會覺得“這啥意思?。扛懔税胩於疾恢老敫缮丁被蛘摺斑@里一句話帶過根本就不顯然嘛”。一般來說，過程寫不好有兩種：如果你講都講不清楚，那么可能是語文學(xué)的不好，請回爐再造；如果跟別人講思路的時候別人可以理解，但是過程寫不好的話，可能是沒有掌握好寫過程的技巧。寫過程的主要目的有兩個：一是要準確，不能讓老師誤解你的意思；二是要通俗易懂，節(jié)省老師的時間，讓老師能夠比較容易get到你的過程的脈絡(luò)。

所以針對第一點，要學(xué)會過程的“數(shù)學(xué)化”表達：比如很多組合問題，直接表達就像寫小說，如果可以換成集合或者圖論的語言，又或者把它代數(shù)化表示，就簡單很多了；另外，過程里的因果關(guān)系要清晰，至少要表達出“由什么推出什么”，這就需要多使用連詞：因為（由于、注意到）＋所以、若＋則＋所以＋從而、我們斷言（證明）＋事實上，以及右箭頭“=>”。就算連詞使用不多樣，至少要達到的要求是：老師知道你的每一個結(jié)論是由哪些結(jié)論推出的。

而第二點其實容易被忽視。我經(jīng)?？吹接行┻^程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；語言又完全用的是集合的方法，全都是定義和運算，讓人摸不著頭腦。這時候，一旦出現(xiàn)一些筆誤，很有可能老師就“如釋重負”地圈起來給0分了。這就像寫一篇議論文，要是你一直舉例子不立論，當然不會給高分。

這就需要把證明的脈絡(luò)清晰地刻畫出來，常見的連詞有：證明分為如下幾步、下面證明一個引理（結(jié)論）、我們斷言（證明）以下結(jié)論、我們只需證明如下結(jié)論即可證明此題等。這樣的好處是，如果你斷言的關(guān)鍵步驟恰好是答案中的步驟，或者老師知道是對的，那么老師就大致知道你做出來，只需驗證一下細節(jié)即可；就算你的證明出現(xiàn)了一些漏洞，老師也能知道你做出了什么，會更容易得到步驟分。

當然，還有一個大大增加可讀性的方法：畫圖。特別是組合題，很多組合題用代數(shù)語言表達很繁瑣，不易找到重點，也容易出現(xiàn)筆誤，那如何讓老師知道你想做什么呢？那就是畫圖。如果要把一個圖按照某種策略三染色，就畫一個示意圖，然后用 ABC 標頂點，看上去就清楚多了嘛；就算幾何題是用復(fù)數(shù)算的，畫個圖，讓老師不用自己找圖，也不是什么難事吧？

最后我談?wù)勻_分。時間快到了的時候還是做不出題目，想爭取一些過程分的情況是常見的。但是我非常非常反對大家東扯西扯，然后說證畢——做不出來就做不出嘛，要承認自己就是在混分，至于能給幾分就看你做了什么結(jié)論了；但總有一些人不會做就瞎搞一通然后證畢。這樣的人多了，就加大了老師判卷子的難度，就會連累一些“好人”。反正我覺得，要是明知道是錯的還寫證畢，絕對是敗人品的行為。

狀態(tài)方面，我覺得有兩點：一是平時加強模擬考試——模擬考試絕對不僅僅指的是做一套題那么簡單！我覺得模擬考試要起到效果，必須完完全全地模擬真實的情況。特別是 4、5 小時的考試，很多人只是開始兩個小時上三板斧，然后消極怠工，這其實一點效果都沒有。真實考試有 4、5小時呢，要是平時這么模擬，真實考試的最后 2 個小時難道你就能繼續(xù)保持極高的做題狀態(tài)嗎？二是平時做題最好“認真對待”，兩天的考試可以帶一些心理負擔，這樣真正考 CMO這樣的考試萬一面對第一天考試失利，就不會心理太崩盤。

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是高中競賽的第一步，但其實也是不確定性最大的一步。不同的省份有不同的聯(lián)賽的備考攻略。如果你來自一些超級聯(lián)賽強省，比如上海、浙江等，那么你的一試水平一定要過硬，因為正常的年份很可能會出現(xiàn)很多人二試并列拼一試的情況；但如果是中等的省份，就拿廣東舉例吧，在大部分年份二試 3 題＋ 一試 90 分可以進省隊，并且二試 2 題的話幾乎進不了省隊，所以其實只需要做“適當”的一試練習(xí)，然后把重點放在二試上。

注意，這里的“ x 題”指的是最終得分，不同的省改卷嚴格程度不一，但是一般來說，被判錯是少數(shù)，并且很有可能是自己的問題（有些人經(jīng)常寫偽證自己看不出來，或者寫過程水平太差確實沒法看，卻自我感覺良好），所以在備考的過程中要訓(xùn)練自己的書寫，要盡量寫的嚴謹、工整，避免被判錯；但至于最終結(jié)果要是還是被判錯了，也沒辦法啊，盡力而為，問心無愧。

由于聯(lián)賽的考場很多，并且各地規(guī)則不一，請盡量熟悉自己將去到的考場與考試細則，并在考前做好充足的準備，避免出現(xiàn)考試之外的問題。筆者在參加聯(lián)賽的過程中曾經(jīng)遇到過以下問題（都是血的教訓(xùn)啊） :

考場偏僻，當天起的很早趕赴考場，很疲倦；考場空調(diào)直吹，極冷；教室很大，老師發(fā)卷不及時，導(dǎo)致開考 5 分鐘才拿到卷子；考試要求換草稿紙（收一張給一張）；洗手間較少，要等很久等等。總之，在考試之前，一定要做好充分的準備，聯(lián)賽畢竟沒幾次，要按照高考的規(guī)格對待，提前踩點，準備充足的衣物、食物，避免因為考前準備不充足痛失好局。聯(lián)賽與之后的比賽的最大的兩點區(qū)別就是：時間短，對書寫要求高。所以聯(lián)賽的模擬更注重踏踏實實地掐表做，并認真寫過程，最好讓別人批改或者自己對著答案很仔細地檢查筆誤和寫的不好的地方。部分因為時間原因沒有做出的題目可以考試結(jié)束后再想，在考試的時候一定要保證“分數(shù)最大化”，該跳過的題就跳過，這樣在真正的聯(lián)賽中才不容易手忙腳亂。

聯(lián)賽有一個不太好的地方：答題的區(qū)域非常小，尤其是二試第一題，要是想到了一個很復(fù)雜的方法，有可能要挖掉一大半第二題的空間才能寫下。因此在模擬的過程中也要注意這一點千萬千萬不能寫錯！在考場上若是發(fā)現(xiàn)寫了一大半的過程都是錯的，修正思路很長，真是欲哭無淚……不差這幾分鐘，要想好了再寫，多花點時間寫，表達盡量清楚，因為聯(lián)賽時間緊。還有一個問題就是如何快速寫出合要求的過程，這也是需要平時訓(xùn)練的。很可能最后留給一試最后一題的時間只有 5 分鐘了，如果你快速讀完題目后直接開始寫，抓得分點，說不定最后能有 10 分。

總之，模擬考試的最高境界就是“平時如考試，考試如平時”。平時訓(xùn)練的過程中一定要計時作答，做不出來的題也要寫上已得到的結(jié)論，完全模擬考試的狀態(tài)。同時，在一試二試都模擬完成之后，可以再回頭做做因為時間不夠沒有完成的題目，從各方面思考“如何做到更好”——總結(jié)新出現(xiàn)的題型與錯誤的原因，總結(jié)考試的時可能出現(xiàn)的錯誤的時間分配。

先說一試。我的一試水平歷來都不算好，但是也不算差，大概就是所謂的“90分”標準。我個人認為90分應(yīng)該是適當訓(xùn)練可以達到的，而且在訓(xùn)練得當?shù)那闆r下，基本可以保證拿到這個分數(shù)。當然，我的訓(xùn)練其實不多，（因為前而說的弱省原因），但是也不算少。首先，如果你剛學(xué)高中競賽，對一試的知識點掌握的還不透徹，那么大概還是需要把套路過一遍的——這個過程有點像準備高考，但是要求更高。如果有教練當然極好，讓教練幫著補補就好了；如果自學(xué)的話，大概需要做一些題。一試我能想到的問題大概是下面的這些東西：

解析幾何，其實來來回回方法就那么幾種：設(shè)直線方程配合韋達定理，設(shè)點，設(shè)參數(shù)方程；還有稍高級的方法，比如幾何法，曲線系，極坐標，極線方程，仿射變換，等等。當然，解析幾何看著容易，做起來卻沒那么簡單，需要很好的計算能力，也需要靈活變通，這就需要大量的練習(xí)了。

做解析幾何題的時候要注意：真正比賽的解析幾何題目的答案一定不會太過于復(fù)雜。如果你在做題過程中發(fā)現(xiàn)比如求出的函數(shù)是無比困難的，很難求出最小值，那么可以考慮要么進行一些代換，因為這個表達式里面理論上來說肯定可以提取一些局部，切勿暴力求導(dǎo)；也可以試圖先猜出特殊點，看看能不能直接證明大小關(guān)系。如果求出的動點坐標所要滿足的參數(shù)方程很復(fù)雜，無從下手。你可以嘗試在原來的圖形里猜出動點滿足的條件大致是什么——無非就是直線或者二次曲線之類的嘛，那么比如把 x , y 坐標平方乘系數(shù)加加減減說不定就全部消掉了。

當然，做解析多了之后，要總結(jié)經(jīng)驗，在花了一定時間做不下去，一定要趕緊止損，換個方法，說不定不費很大力氣就做出來了。最后，要記住，驗證平行坐標軸的情況。

數(shù)列技術(shù)含量稍高，不過絕大多數(shù)數(shù)列問題都是可以用局部不等式或者裂項做出來的。少數(shù)有高級技巧，比如積分估計，三角函數(shù)換元之類的。個人覺得數(shù)列其實難度很難估測，有的題目確實有難度。當然，就聯(lián)賽的真題來看，數(shù)列題目并沒有很多模擬題那么難，需要注意的是一定不能著急的瞎放縮，要多變形 ——絕大部分的數(shù)列都是用代數(shù)變形后裂項做出的。

大題里面可能還有一道求導(dǎo)的題目或者其他題目。這一類題目個人覺得沒啥技巧，簡而言之，練。代數(shù)的硬功夫是很重要的，這在之后做更難的代數(shù)題中會有用。

立體幾何對于自學(xué)的同學(xué)來說往往會比較頭疼，因為答案的做輔助線方法有時候真的很匪夷所思。那就不這么麻煩吧！立體幾何有一個萬金油方法——算！由于近年都出的是填空題，所以其實很多細節(jié)都可以不用處理（這是權(quán)宜之計，我推薦大家多學(xué)其他方法，保不準就出大題了……但如果想短時間提高的話，只會這樣算就好了）。自己查一下怎么算法向量，然后做幾個題，了解怎么算二面角、異面直線距離，然后做幾個題試試手感，之后就再也不會為立體幾何擔心啦！

剩下的題目，算是其他題目吧，其實套路也有不少，需要大量練習(xí)，通過練習(xí)逐漸學(xué)會一些技巧。每個人都是從 30 分做到100分的嘛，開始不要著急，如果遇到完全沒有辦法的題目可以適當想想暫時跳過，記住答案里面的關(guān)鍵點，在下一次見到類似的方法時不要忘記就好。

一般來說，在經(jīng)過至多一年的學(xué)習(xí)，一試水平大概就可以達到“90分”目標，偶爾能全對，但也可能算錯很多題劃水。這個時候，基礎(chǔ)的東西都學(xué)會了，剩下的提分點就在考試的狀態(tài)上了。關(guān)于一試的時間分配，我個人的習(xí)慣是，30 分鐘做完填空題，然后一道一道地做大題（前兩個大題大約做10到 15分鐘，最后二個比較難的話就一直做），但是最后至少留下 10 分鐘檢查。我覺得在練習(xí)的過程中找到自己熟悉的節(jié)奏很重要，并且考試的時候要嚴格執(zhí)行之前的策略，不要為了貪最后一個題目放棄檢查（當然，如果你的習(xí)慣是不檢查，也可以）。

我推薦在至少離考試還有 2 個月的時候開始進行一試模擬訓(xùn)練，大概每 2 到 3 天做一套計時的一試題。開始的時候肯定狀態(tài)不會太好，容易算錯，但是經(jīng)過比較長的熟悉之后，在離考試將近一個月左右的時候應(yīng)該問題就不大了。但是狀態(tài)還是要繼續(xù)保持，如果突然出現(xiàn)狀態(tài)特別差，不要疲勞作戰(zhàn)，可以先休息調(diào)整一下再仔細分析在考試過程中出現(xiàn)的時間分配問題（錯的多的情況往往是因為花了過多時間做難題導(dǎo)致時間分配不均）。

聯(lián)賽不確定性最大的地方，大概就在于二試。

我認為聯(lián)賽二試是數(shù)學(xué)競賽中最不容易穩(wěn)定發(fā)揮的考試。時間太短導(dǎo)致隨機性很大，盡管題目一般本質(zhì)不算太難，卻也都有關(guān)鍵的步驟。從二試到之后的“大題”訓(xùn)練是數(shù)學(xué)競賽的重點，不過好在聯(lián)賽二試的題目，說難也不難，相對 CMO 等之后的考試而言套路比較少。個人認為有集訓(xùn)隊實力的同學(xué)應(yīng)該做聯(lián)賽二試的題目不會很困難，具體的專題訓(xùn)練寫在之后了。

這里只提一點聯(lián)賽二試要注意的問題：聯(lián)賽二試時間確實很緊，平均每題半小時多，很容易因為慌張或者時間不夠發(fā)揮失誤。所以萬一遇到不對路的題目，在做了一段時間之后，要選擇果斷跳過。這里的分寸也是要在模擬考試中慢慢總結(jié)出來的，因為有的時候盡管題目本身可能不難，如果思路陷入“死循環(huán)”，再浪費一個小時很可能還是做不出來。再者，如果最后還剩下 1 個小時，并且還剩兩個題目，最好的做法是讀題之后選一個做，不要來回跳（剩下多個題目也是類似的）。在時間不足的情況下靜下心來想題也是一種能力。

關(guān)于具體的答題，我覺得最要注意的就是不能“超綱”了。有些人在培訓(xùn)中得到了很多很強的結(jié)論和性質(zhì)，但是在聯(lián)賽中，要謹慎使用，最好給出證明（也可以留個空位，看情況，有時間最后補）。特別的，幾何題非常不推薦用復(fù)數(shù)法，重心坐標！不到萬不得己，不要采用這幾個方法（當然，要是真的不行就死馬當活馬醫(yī)吧）。

反正，要是有分，你要慶幸；要是沒分，不要怨改卷老師。這些“高級”方法或多或少需要用到一些考綱外的性質(zhì)，可能會扣分；并且計算法解幾何出現(xiàn)筆誤其實很正常。聯(lián)賽幾何，一般來說最好算的方法是三角，可以多練練三角計算（當然，純幾何也是要練習(xí)的）。

（未完待續(xù)...）