作者：黃逸文（中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）

很早以前，我們就被教育“數(shù)學(xué)是思維的體操”。但是，對大腦是如何受益于這種體操的過程我們卻知之甚少。人們常常把數(shù)學(xué)知識當(dāng)做數(shù)學(xué)，這其實是一種深深的誤解。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并不是以懂得多少數(shù)學(xué)定理為目標(biāo)，更重要的是鍛煉解決數(shù)學(xué)問題中所接觸的思維方法。

事實上，在數(shù)學(xué)問題的求解過程中，演繹、歸納、類比和聯(lián)想是四種最重要、最基本的邏輯思考模式。它奠定了人們認(rèn)識世界的理性基礎(chǔ)。盡管世界上還存在著很多非理性的行為，但是人們也希望用理性的方式來刻畫這類現(xiàn)象。比如在統(tǒng)計意義上成立的諸多心理學(xué)效應(yīng)，類似馬太效應(yīng)、破窗效應(yīng)、棉花糖效應(yīng)等。除此之外，在人類行為學(xué)中大放異彩的眾智成愚的烏合之眾理論、眾愚成智的群策智慧等也都體現(xiàn)了非理性的理性之光。

不難看出，即使在這些非理性行為的背后，仍然存在著某些可以追尋的邏輯線索。數(shù)學(xué)，恰好賦予我們思考事情本質(zhì)的邏輯能力。

在某種程度上來說，數(shù)學(xué)鍛煉的是一種高屋建瓴的思辨行為，基于理性的嚴(yán)謹(jǐn)和一絲不茍來剖析真實世界隱匿的秘密。它打開了一扇科學(xué)的大門，特別注重證據(jù)和反思以及邏輯的連貫和嚴(yán)密性，以貝葉斯定理為基礎(chǔ)的概率方法更是揭示了認(rèn)識世界的科學(xué)哲學(xué)觀。

因此，一個具備良好數(shù)學(xué)思維的人，不會輕易被謠言擊中，不會迷信所謂的好運氣與壞運氣。在堅如磐石的邏輯體系護航下，他的知識體系可以順利擴展到其他學(xué)科，使其對世界的認(rèn)知漸具大局觀。

歷史上，杰出的哲學(xué)家都具備極其敏銳的思辨能力。這種能力，往往就受益于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)訓(xùn)練。

比如以純粹理性批判著稱的哲學(xué)大師康德，早年曾在哥尼斯堡大學(xué)作為物理學(xué)和數(shù)學(xué)的講師授課，并且發(fā)表過多篇數(shù)學(xué)對哲學(xué)的影響著作。

及至近代，20世紀(jì)的哲學(xué)大師維特根斯坦和羅素，更是以扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)見長。羅素所著的《數(shù)學(xué)原理》發(fā)動了現(xiàn)代數(shù)學(xué)集合論的一場革命。維特根斯坦作為羅素的學(xué)生，更是以數(shù)學(xué)工具打開了分析哲學(xué)的大門。

數(shù)學(xué)不僅能讓個人受益，對于自然、科技、經(jīng)濟和金融等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)更是具有不可替代的作用。

歷史上海王星的發(fā)現(xiàn)就是數(shù)學(xué)理論投射給人類的第一縷理性之光。牛頓在1687年提出萬有引力定律之后，天文學(xué)家結(jié)合實際的觀測數(shù)據(jù)不斷證實著牛頓的理論預(yù)言。宇宙星空的運行仿佛都臣服在牛頓的定律之下，直到人們發(fā)現(xiàn)了天王星的異常攝動。這一攝動預(yù)示著宇宙的深處還有一顆未知的星球在牽引著天王星。1846年，人們終于根據(jù)筆尖上的理論預(yù)測觀察到了這個龐然大物，從而讓隱匿在茫茫虛空里的海王星露出了真容。

那一刻，是數(shù)學(xué)的力量讓渺小的人類面對浩瀚的自然時不再膽怯，人們得以從敬畏里收獲了尊嚴(yán)。從此，太陽系里的星星都在牛頓萬有引力的指引下安分守己地運轉(zhuǎn)。

筆尖發(fā)現(xiàn)的海王星，方框中是法國數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家勒維耶計算的位置，圓圈為海王星實際發(fā)現(xiàn)的位置。

半個多世紀(jì)后的1905年，數(shù)學(xué)再次將人類的認(rèn)識范圍從太陽系提升到了全宇宙。為了解決牛頓經(jīng)典時空觀帶來的矛盾，愛因斯坦提出了基于慣性參考系和平直四維時空的狹義相對論。

然而，愛因斯坦很快就意識到萬有引力無法被納入到相對論的框架，需要一種全新的時空觀來詮釋其背后的本質(zhì)?？墒?，絕頂聰明的愛因斯坦也在很長一段時間內(nèi)束手無策，他已經(jīng)認(rèn)識到這背后隱藏著顛覆人類世界觀的革命性發(fā)現(xiàn)，卻因為數(shù)學(xué)工具的匱乏而舉步維艱。

幸運的是，歷史格外垂青愛因斯坦。在狹義相對論問世前60年，德國數(shù)學(xué)巨匠黎曼天才般地創(chuàng)立了非歐幾何之一的黎曼幾何。彼時的人們對這類幾何的性質(zhì)感到匪夷所思，由于缺乏在真實世界的客觀對應(yīng)，黎曼幾何一直被作為純粹數(shù)學(xué)理論的豐碑而束之高閣。

時光匆匆，一甲子過后，它終于和新時代的科學(xué)巨人不期而遇，從而掀起了科學(xué)史上最波瀾壯闊的驚濤駭浪。當(dāng)愛因斯坦如獲至寶地發(fā)現(xiàn)了隱匿在數(shù)學(xué)金字塔中的黎曼幾何后，又苦心花費了5年時間研究其背后的本質(zhì)。兩顆天才的頭腦在此刻跨越了時空的束縛而產(chǎn)生了共鳴，歷史的天空被一道閃電撕開了裂縫，人們從中驚異地窺見了最深邃的智慧。廣義相對論終于在狹義相對論誕生10年后姍姍來遲，這一人類科技進展的巨大成就恰恰是數(shù)學(xué)理論推動的。

在黎曼的時代，并不知道現(xiàn)實世界其實是黎曼空間

歷史總是驚人的相似，當(dāng)法國數(shù)學(xué)家傅里葉于1807年創(chuàng)立了傅里葉級數(shù)之后，數(shù)學(xué)分析就進入了一個全新的時代。

時至今日，世界上很多領(lǐng)域都受益于傅里葉級數(shù)的應(yīng)用。從振蕩分析到影像處理，從激動人心的音樂創(chuàng)作到信息時代大放異彩的通訊技術(shù)，到處都有傅里葉級數(shù)的蹤跡。通過它，人們逐步認(rèn)識到太陽發(fā)光發(fā)熱的秘密，甚至通過星光就能分析星球的化學(xué)成分。這一切，都是作為數(shù)學(xué)的理論之花的傅里葉級數(shù)帶給世界文明的饋贈。

上個世紀(jì)中葉，圖靈和馮·諾依曼憑借其深邃的數(shù)學(xué)功底開創(chuàng)了現(xiàn)代計算機的結(jié)構(gòu)模式，從而幫助人們進入信息時代，其影響力在未來數(shù)百年都將余音繞梁。這一切，都深深地受益于19世紀(jì)末數(shù)學(xué)家康托引入的無窮集合理論以及被希爾伯特譽為自亞里士多德以來人類最偉大的邏輯學(xué)家哥德爾在1930年代建立的不完備定理。

“計算機之父”圖靈和馮·諾依曼的身份都是數(shù)學(xué)家

回到當(dāng)代，數(shù)學(xué)究竟在經(jīng)濟和金融里又能扮演什么樣的角色呢？   

納西姆·塔利布（Nassim Taleb）被人贊譽作為當(dāng)今世界最炙手可熱的商業(yè)奇才之一。他畢業(yè)于沃頓商學(xué)院，是美國柯朗數(shù)學(xué)研究所的研究員，也是世界上最令人敬畏的風(fēng)險管理理論學(xué)者。他精通多國語言，涉獵范圍包括哲學(xué)、邏輯學(xué)、歷史學(xué)和心理學(xué)，堪稱學(xué)術(shù)界和商界的雙重思想大家。在數(shù)學(xué)王國里取得高深的造詣后，他將其思想融入到現(xiàn)實世界，在金融市場也取得了驚人的成功。

他的名著《黑天鵝》和《反脆弱》吸取了龐加萊的科學(xué)哲學(xué)思想、波普爾的懷疑主義思想，卡尼曼的行為經(jīng)濟學(xué)思想以及曼德爾布羅特的分形幾何思想，還有帕斯卡的理性主義、休謨的人性論、洛克的經(jīng)驗主義、哈耶克的自由經(jīng)濟主義思想、蒙田的人生智慧、丹尼特的意識分析以及奎因的邏輯實用主義的大成。

我們從他身上不難看到，一個擁有數(shù)學(xué)思維的人能夠在多么廣闊的世界里施展才華?！逗谔禊Z》與《反脆弱》通過對影響人類歷史重大瞬間的剖析，揭示了人類理性在極端情境下的局限，打破了基于確定論的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，提出了新時代下世界運行的本質(zhì)具有易變性、不確定性、復(fù)雜性和模糊性的特點。

詹姆斯·西蒙斯（James Simons），美國文藝復(fù)興基金的創(chuàng)始人，曾與數(shù)學(xué)大師陳省身合作提出蜚聲國際的陳-西蒙斯理論。后投身于金融，一躍成為美國最炙手可熱的對沖基金經(jīng)理。在數(shù)學(xué)理論（具體算法一直保密，外界揣測應(yīng)該是壁虎式投資法）的幫助下，該基金的30年平均收益率已經(jīng)遠(yuǎn)超股神巴菲特的傳奇。