動點問題是初中數(shù)學中的熱門問題，也是讓人歡喜讓人憂的一類問題．其中的數(shù)學模型隱藏在變化的運動背后，很多同學容易被這類問題的已知條件迷惑，雖練習很多仍然“聞動色變”，實在愛不起來．但如果會透過現(xiàn)象看本質，找到運動過程中不變的規(guī)律，這一類問題又會讓人感覺精彩絕倫，回味無窮。本文就動點問題中如何找到雙動點類型中的運動軌跡與大家分享．

     動點題有時不止一個點在動，如果有兩個動點，其中一個隨著另一個的運動而運動，題目往往研究第二個動點的一些規(guī)律，比如最大最小值，經過的路徑長等．解決問題的關鍵是找到第二個動點的運動軌跡．

一、直線型運動

1．如圖，等邊△ABC的邊長為4 cm，動點D從點B出發(fā)，沿射線BC方向移動，以AD為邊作等邊△ADE。如圖①，在點D從點B開始移動至點C的過程中，求點E移動的路徑長．

分析：要求點E移動的路徑長，首先要確定點E的運動軌跡。連結CE，如圖②,

易證△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60° ，因為∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在點D從點B開始移動至點C的過程中,點E的運動軌跡是過點C且平行于AB的一條線段，確定了軌跡，再確定起始與終止位置就可求出路徑長．

答案：4

2．已知AB=10，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設CD的中點為G，當點P從點A運動到點B時，點G移動的路徑長是_____．

分析：延長AC、BD相交于點E，

因為∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，

同理PC∥EB，所以四邊形CPDE是平行四邊形，

連結EP，所以EP、CD互相平分，

因為點G為CD的中點，所以EG=PG，所以點G是EP的中點，當點P從點A運動到點B時，點G的運動軌跡是△EAB的中位線MN．

答案：5

雙動點的運動問題中，第二動點的運動軌跡如果是直線型，通常可以找到第二動點所在直線與已知直線的位置關系如平行、垂直等，或者是某一條特殊的直線（或直線上的一部分）如中位線、角平分線等．

請您思考

試一試：

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點E從點A出發(fā)，沿邊AB－BC向終點C運動，以DE為邊作正方形DEFG（點D、E、F、G按順時針方向排列）．設點E運動的速度為每秒1個單位，運動的時間為x 秒．

（1）如圖，當點E在AB上時，求證：點G在直線BC上；

（2）直接寫出整個運動過程中，點F經過的路徑長．

答案：

答案：C

在數(shù)學中，靜中找動，實現(xiàn)從特殊到一般的轉化。動中找靜，找到運動過程中不變的數(shù)學模型或規(guī)律，再從一般到特殊，利用臨界情況解決問題。動靜結合，其樂無窮．

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