【基礎知識精講】

1.多面體的概念和分類

由若干個多邊形所圍成的幾何體，叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，若干個面的公共頂點叫做多面體的頂點.

把多面體的任何一個面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個平面的同側，這樣的多面體叫做凸面體，圖1是凸多面體，圖2不是凸多面體，前面學過的棱柱，棱錐都是凸多面體.

一個多面體至少有四個面，多面體按它的面數分別叫做四面體、五面體、六面體.

2.正多面體的概念

為了更好地弄清正多面體的概念，我們講一講與多面體有關的一些其他概念.

多面角：從一點出發(fā)并且不在同一平面內的幾條射線，以及每兩條相鄰射線之間的平面部分叫組成的圖形.

如圖所示是一個多面角，記作多面體S—ABCD，或者多面角S.

圖中射線如SA叫做多面角的棱，S叫做頂點，相鄰兩棱如SA、SB之間的平面部分叫做多面角的邊，∠ASB為多面角.每相鄰兩個面角間的二面角為多面角的二面角，如E—SA—B.

正多面體：如果多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角，這樣的多面體叫做正多面體.

3.正多面體的性質

(i)正多面體的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.

(ii)經過正多面體上面的中心所在面的垂線相交于一點，這點到各頂點的距離相等，到各面的距離也相等.

(iii)正多面體各面與經過它中心的垂線的交點叫做正多面體的中心.

定理：任何正多面體有一個內接球和一個外切球，這兩個球同心.

(iv)正多面體只存在五種：

因為一個多面角的面數至少是三，并且它的各面角的和必須小于360°，而正n邊形的每個內角等于，所以，由正三角形組成的正多面體只有三種：正四面體、正八面體和正十二面體；由正方形組成的正多面體只有一種：正六面體；由正五邊形組成的正多面體也只有一種：正十二面體.

書中是這樣定義正多面體的：每個面都是有相同邊數的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同的數目的棱的凸多面體，叫做正多面體.其實質是一樣的.

4.歐拉公式

如果簡單多面體的頂點數為V，面數F，棱數E，那么V+F-E＝2，這個公式叫做歐拉公式.

計算棱數E常見方法：

(1)E＝V+F-2

(2)E＝各面多邊形邊數和的一半

(3)E＝頂點數與共頂點棱數積的一半

【重點難點解析】

本節(jié)是新增內容，教學要求只是了解，作為知識的綜合性與聯(lián)系，重點應掌握正多面體的概念，尤其是正四面體和正方體的性質，難點是歐拉公式

例1  下列幾何體是正多面體的是(    )

A.長方體                B.正四棱柱

C.正三棱錐              D.棱長都相等的三棱錐

解：  選D.因為棱長都相等的三棱錐就是正四面體.

例2  對于下列命題：(1)底面是正多邊形的，而側棱長與底面邊界長都相等的棱錐是正多面體；(2)正多面體的面不是三角形，就是正方形；(3)若長方體的各側面都是正方形時，它就是正多面體；(4)正三棱錐就是正四面體。其中正確的序號是             .

解：  (2)顯然不對，∵正十二面體每個面都是全等的正五邊形.

(1)所給的幾何體是正棱錐，作為正棱錐每個側面都是全等的正三角形，底面正多邊形是任意的，而作為正多面體的所有面必須是全等的正多邊形，故(1)、(4)不對.∴應填(3).

例3  一個凸多面體有8個頂點，①如果它是棱錐，那么它有      條棱，     個面；②如果它是棱柱，那么它有      條棱      個面.

解：  ①如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個面

②如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個面

【難題巧解點撥】

例1  一個凸多面體的各面都是五邊形，求多面體的頂點數V與面數F之間的關系.

解：  ∵凸多面體各面是五邊形，且面數為F.

∴該凸多面體的棱數E＝F，代入歐拉公式：V+F-F＝2  即2V-3F＝4.

例2  一凸多面體的棱數為30，面數為12，則它的各面多邊形的內角總和為(    )

A.5400°        B.6480°        C.7200°        D.7920°

解：  由歐拉公式，V＝E-F+2＝30-12+2＝20

∴內角總和為(V-2)×360°＝6480°，  ∴應選B.

例3  將邊長為a的正方體各側面中心連結起來得到一個正八面體，求此正八面體的體積.

解：  根據正方體與正八面體的聯(lián)系.可知正八面體的高為a，側棱長為＝a，而正八面體可分為兩個正四棱錐.

故  V＝2×(a)²××＝.

說明  用分割的方法把八面體分割成兩個錐體，然后求體積.

例4  在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點，連接AF、CE，

(1)求異面直線AF、CE所成角的大小；

(2)求CE與底面BCD所成角的大小.

解：  (1)如圖所示，設正四體棱長為a.在平面AFD內作EG∥AF交DF于G，那么CE與GE所成非鈍角的角就是異面直線AF、CE所成的角.由于正四面體的各個面是正三角形，所以AF＝CE＝DF＝a,GF＝EG＝AF＝a,CG²＝CF²+GF²＝(a)²+(a)²，即CG²＝a²，于是CG＝a.

在ΔCEG中，cos∠CEG＝，所以cos∠CEG＝，于是∠CEG＝arccos.

因此AF、CE所成的角為arccos.

(2)作AO⊥DF于O，則AO⊥平面BCD，在平面AFD內作EH∥AO交FD于H，那么EH⊥平面BCD，且EH＝＝＝a,CE＝a，顯然∠ECH就是CE底面BCD所成的角.在RtΔEHC中，sin∠ECH＝＝a∶a＝，所以∠ECH＝arcsin.

例5  如圖所示，四面體ABCD的棱長為1，求AB與CD之間的距離.

分析  AB與CD顯然異面，這是求解異面直線間的距離問題，取AB、CD的中點E、F，連EF，可設想EF就是公垂線段。事實上，連EC、ED，易知EC＝ED，所以EF⊥CD.同理EF⊥AB.

所以EF就是AB與CD之間的距離.

解：  ΔABC、ΔABD都是邊長為1的正三角形，所以EC＝ED＝.

又在RtΔEFC中，F(xiàn)C＝，EC＝，

因此EF＝＝＝.

【命題趨勢分析】

本節(jié)為新增內容，只要求了解，高考單獨出題可能性不大.

【典型熱點考題】

例1  如圖，在多面體中，大小不等的正方形A′B′C′D′、ABCD所在面相互平行，A′D′所在的直線與BB′所在的直線是(    )

A.相交直線                      B.平行直線

C.不互相垂直的異面直線          D.互相垂直的異面直線

解：  由于A′D′在上底面A′B′C′D中，而BB′只與該平面有一個交點B′，且B′不在AD′上，所以A′D′與BB′是異面直線，應排除A、B.

如果A′D′與BB′垂直，由B′C′∥A′D知BB′⊥B′C′，而此時多面體已變成了棱柱，所以A′D′與BB′是不互相垂直的異面直線，應選C.

例2  由一個正方體的三個頂點所能構成的正三角形的個數為(    )

A.4               B.8             C.12            D.24

解：  在共有一個頂點的三個兩兩垂直的面上，各面有一對角線共同組成惟一的正三角形，這樣在正三角形和頂點之間建立了一一對應，而正方體共有8個頂點.

∴恰好有8個正三角形，選B.