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歐拉, 一個(gè)耳熟能詳?shù)拿? 在許多領(lǐng)域都能見(jiàn)到, 這位偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家, 獲得過(guò)哪些成就? 又有多少公式和定理以他命名? 我們一起來(lái)欣賞! 萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一。1707年歐拉生于瑞士的巴塞爾，13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位。平均每年寫(xiě)出八百多頁(yè)的論文，還寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)等課本，《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。1783年9月18日于俄國(guó)彼得堡去逝。 獲得成就就 N 歐拉和丹尼爾·伯努利一起，建立了彈性體的力矩定律。 他還直接從牛頓運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)，建立了流體力學(xué)里的歐拉方程。 他對(duì)微分方程理論作出了重要貢獻(xiàn)，他是歐拉近似法的創(chuàng)始人。 在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。 自然數(shù)的歐拉函數(shù)被定義為小于并且與互質(zhì)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)。 在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法正是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ). 在分析領(lǐng)域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。 他由于解決了長(zhǎng)期懸而未決的貝塞爾問(wèn)題而獲得名聲。 歐拉將虛數(shù)的冪定義為是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)的中心。 在初等分析中，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多項(xiàng)式，兩者必居其一。被理查德·費(fèi)曼稱(chēng)為“最卓越的數(shù)學(xué)公'”的則是歐拉公式的一個(gè)簡(jiǎn)單推論（通常被稱(chēng)為歐拉恒等式）。 他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。 他是歐拉-馬歇羅尼公式的發(fā)現(xiàn)者之一，這一公式在計(jì)算難于計(jì)算的積分、求和與級(jí)數(shù)的時(shí)候極為有效。 歐拉寫(xiě)下了《音樂(lè)新理論的嘗試》，書(shū)中試圖把數(shù)學(xué)和音樂(lè)結(jié)合起來(lái)。 在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，歐拉證明，如果產(chǎn)品的每個(gè)要素正好用于支付它自身的邊際產(chǎn)量，在規(guī)模報(bào)酬不變的情形下，總收入和產(chǎn)出將完全耗盡。 在幾何學(xué)和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)方面，歐拉公式給出了單聯(lián)通多面體的邊、頂點(diǎn)和面之間存在的關(guān)系。 在1736年，歐拉解決了柯尼斯堡七橋問(wèn)題，并且發(fā)表了論文《關(guān)于位置幾何問(wèn)題的解法》，是最早運(yùn)用圖論和拓?fù)鋵W(xué)的典范。 數(shù)獨(dú)是歐拉發(fā)明的拉丁方塊的概念。 歐拉命名名 N 歐拉公式 歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式--將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)； 拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式；初等數(shù)論中的歐拉函數(shù)公式。 此外還包括其他一些歐拉公式，比如分式公式等等。 歐拉函數(shù) 歐拉函數(shù)，在數(shù)論，對(duì)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是少于或等于n的數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，它又稱(chēng)為Euler's totient function、φ函數(shù)、歐拉商數(shù)等。 例如φ(8)=4，因?yàn)?,3,5,7均和8互質(zhì)。 從歐拉函數(shù)引伸出來(lái)在環(huán)論方面的事實(shí)和拉格朗日定理構(gòu)成了歐拉定理的證明。 歐拉定理 在數(shù)學(xué)及許多分支中都可以見(jiàn)到很多以歐拉命名的常數(shù)、公式和定理。在數(shù)論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱(chēng)費(fèi)馬-歐拉定理或歐拉函數(shù)定理）是一個(gè)關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理得名于瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉，該定理被認(rèn)為是數(shù)學(xué)世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實(shí)際上是費(fèi)馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中，頂點(diǎn)數(shù)-棱邊數(shù)+面數(shù)=2)。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中歐拉定理又稱(chēng)為產(chǎn)量分配凈盡定理，指在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，假設(shè)長(zhǎng)期中規(guī)模收益不變，則全部產(chǎn)品正好足夠分配給各個(gè)要素。 歐拉角 用來(lái)確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體位置的3個(gè)一組獨(dú)立角參量，由章動(dòng)角θ、旋進(jìn)角（即進(jìn)動(dòng)角）ψ和自轉(zhuǎn)角j組成，為歐拉首先提出而得名。 歐拉方程 1755年,瑞士數(shù)學(xué)家L.歐拉在《流體運(yùn)動(dòng)的一般原理》一書(shū)中首先提出這個(gè)方程。 在研究一些物理問(wèn)題，如熱的傳導(dǎo)、圓膜的振動(dòng)、電磁波的傳播等問(wèn)題時(shí)，常常碰到如下形式的方程： （ax^2D^2+bxD+c）y=f(x), 其中a、b、c是常數(shù)，這是一個(gè)二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程。它的系數(shù)具有一定的規(guī)律：二階導(dǎo)數(shù)D^2y的系數(shù)是二次函數(shù)ax^2，一階導(dǎo)數(shù)Dy的系數(shù)是一次函數(shù)bx，y的系數(shù)是常數(shù)。這樣的方程稱(chēng)為歐拉方程。 歐拉線(xiàn) 三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)就叫三角形的歐拉線(xiàn)，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半。 萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線(xiàn)上，即三角形的重心、垂心和外心共線(xiàn)。他證明了在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線(xiàn)。歐拉線(xiàn)上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。 如圖，歐拉線(xiàn)（圖中的紅線(xiàn)）是指過(guò)三角形的垂心（藍(lán)）、外心（綠）、重心（黃）和歐拉圓圓心（紅點(diǎn)）的一條直線(xiàn)。 注：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線(xiàn)段的中點(diǎn)）九點(diǎn)共圓，稱(chēng)為歐拉圓。 歐拉圓 三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)就叫三角形的歐拉線(xiàn)，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半。 萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線(xiàn)上，即三角形的重心、垂心和外心共線(xiàn)。他證明了在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線(xiàn)。歐拉線(xiàn)上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。 如圖，歐拉線(xiàn)（圖中的紅線(xiàn)）是指過(guò)三角形的垂心（藍(lán)）、外心（綠）、重心（黃）和歐拉圓圓心（紅點(diǎn)）的一條直線(xiàn)。 注：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線(xiàn)段的中點(diǎn)）九點(diǎn)共圓，稱(chēng)為歐拉圓。 編輯：李佳航、郭玉瑩 |
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