12.4 直角坐標(biāo)系下的三重積分

三重積分

假設(shè) F(x,y,z) 為一個(gè)空間有界閉區(qū)域 D 上的函數(shù). D 為下面立體橢球所占區(qū)域. 將空間區(qū)域分割成小長(zhǎng)方塊. 體積記為 ΔVk, 其長(zhǎng)寬高分別為Δxk, Δyk, Δzk , 并有下列的求和式:

觀察下面動(dòng)畫(huà), 當(dāng)空間不斷分割, 每個(gè)小方塊的體積 ΔVk 不斷變小:

如果 F 連續(xù), 且 D 的邊界曲面分片光滑, 其交為連續(xù)曲線, 那么當(dāng) Δxk, Δyk, Δzk 趨近于 0 時(shí), Sn 有極限:

空間區(qū)域的體積

如果 F 是常數(shù)函數(shù) 1 , 那么 D 的體積就是三重積分:

確定積分限

先來(lái)觀察下面的三重積分的直觀展示動(dòng)畫(huà):

如何找出三重積分的積分限, 如果先對(duì) z 作積分, 再對(duì) y, 最后對(duì) x, 采用下列步驟:

第一: 畫(huà)出空間區(qū)域 D 及其投影區(qū)域 R.第二: 確定 z 積分限. 過(guò) R 內(nèi)一點(diǎn) (x,y) 做一條垂直于 z 軸的直線. 在 f1(x,y) 進(jìn)入?yún)^(qū)域 D, 在 f2(x,y) 離開(kāi) D. 這便是 z 的積分限.第三: 確定 y 的積分限過(guò)點(diǎn) (x,y) 做平行 y 軸的直線, 在 g1(x) 進(jìn)入 R, 在 g2(x) 處離開(kāi) R, 這就是 y 的積分限.第四: 確定 y 的積分限. x 的積分限為保羅所有通過(guò) R 且平行 y 軸的直線.

空間 - 函數(shù)的積分平均值

F(x,y,z) 是空間區(qū)域 D 上一立體的密度, 則 F 平均值就相當(dāng)該立體的平均密度, 可以有下面公式定義: