（文/方弦）

要理解群論，首先要理解群是什么。

群，就是對(duì)稱性。一切有對(duì)稱的地方，都有群的存在。

拾起一枝梅花，你會(huì)驚異于它的美，而這種美有一部分來自梅花的對(duì)稱。首先，它是左右對(duì)稱的，在鏡中的倒影跟原來差不多。其次，如果你將它旋轉(zhuǎn)72度，這朵五瓣的梅花看起來跟旋轉(zhuǎn)之前并無二致。只要旋轉(zhuǎn)的角度是72的整數(shù)倍，梅花的形象就基本保持不變，我們也說它有五重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。

現(xiàn)在，我們來看看這些讓梅花保持大體不變的操作。這些操作之間可以互相組合，比如可以先鏡像再旋轉(zhuǎn)144度，得到的操作還是會(huì)讓梅花保持不變。什么也不做自然也算一種操作。每個(gè)操作都有一個(gè)“逆操作”，可以“撤銷”之前的操作。比如說旋轉(zhuǎn)72度的逆操作就是旋轉(zhuǎn)288度，加起來一共360度，相當(dāng)于沒有旋轉(zhuǎn)。最后，如果連續(xù)進(jìn)行三個(gè)操作，分成兩組的話，無論是先一后二還是先二后一，得到的結(jié)果還是一樣的。

這些好像都沒有什么神奇之處，但換用數(shù)學(xué)語言的話，這就是群的定義：操作的組合，就是群的運(yùn)算；什么都不做，就是群的單位元；某個(gè)操作的“逆操作”，就是群中元素對(duì)應(yīng)的逆元；三個(gè)操作的組合，對(duì)應(yīng)的是群運(yùn)算的結(jié)合論。

所以說，群就是對(duì)稱性。一切有對(duì)稱性的地方，都隱藏著一個(gè)群。梅花的美，背后隱藏的就是所謂的5階二面體群。關(guān)于群的更多信息，可以參見我在科學(xué)松鼠會(huì)上發(fā)表的文章《有限單群：一段百年征程》。

世間處處是對(duì)稱性，有的像梅花那樣一目了然，有些則更為隱晦。比如，這個(gè)世界的物理規(guī)則，關(guān)于時(shí)間平移對(duì)稱，也就是說，今天做的實(shí)驗(yàn)跟明天做的會(huì)得到相同的結(jié)果；它還關(guān)于空間平移對(duì)稱，也就是說，在這里做的實(shí)驗(yàn)和在那里做的也會(huì)得到相同的結(jié)果。還有，我們的地球繞著太陽公轉(zhuǎn)，于是星空每天都會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而每隔一年，當(dāng)?shù)厍蚧氐酵粋€(gè)位置，星空也回到了相同的位置。晶體中原子的規(guī)則排布帶來的對(duì)稱性就更不用說了。

這還只是自然世界中的對(duì)稱性，如果在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的世界中，對(duì)稱性就更多了。加法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，因?yàn)榧由弦粋€(gè)數(shù)，相當(dāng)于將數(shù)軸整體移動(dòng)一段距離，但數(shù)軸畢竟是一根直線，移動(dòng)前后并沒有改變，所以加法可以看成對(duì)數(shù)軸對(duì)稱性的操作。模N的加法也是如此，只不過這次要將從0到N-1的數(shù)排成一個(gè)圈，而加法這次就變成了展示這個(gè)圈的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的操作。

而群論，就是研究所有這些對(duì)稱性的學(xué)科。只要有對(duì)稱性，就可以通過群論進(jìn)行分析。

也許你會(huì)覺得，對(duì)稱性美則美矣，實(shí)際上又有什么用呢？

這個(gè)問題很難回答，因?yàn)楝F(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)的方方面面早已被群論所滲透。作為一種思考方式，很難舉出具體應(yīng)用的例子。這里姑且舉一個(gè)（細(xì)節(jié)請(qǐng)參看我在科學(xué)松鼠會(huì)上發(fā)表的文章《從玩具陀螺到終極理論》）。

前面說了，這個(gè)世界的物理規(guī)則關(guān)于時(shí)間和空間平移對(duì)稱。在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家埃米·諾特證明了，物理規(guī)則的每一個(gè)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量。時(shí)間平移對(duì)稱，對(duì)應(yīng)的是一般定義的能量；空間平移對(duì)稱，對(duì)應(yīng)的是一般定義的動(dòng)量。也就是說，能量和動(dòng)量之所以守恒，都是因?yàn)檫@個(gè)世界的物理規(guī)則滿足相應(yīng)的對(duì)稱性，也就是作用于某個(gè)群之下。這種觀點(diǎn)，即使在現(xiàn)代物理同樣成立：所謂規(guī)范場(chǎng)論，就是在所謂“規(guī)范群”的基礎(chǔ)上，用統(tǒng)一的方式表達(dá)所有物理規(guī)律的一種嘗試。

群，就是規(guī)律的一種體現(xiàn)。