關(guān)鍵詞： 理論物理, 數(shù)學(xué)方程

下面是一個(gè)典型的教科書問題：你的車已經(jīng)用完了汽油，你要用多大的力才能把它加速到給定的速度？答案來自牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：

F

=ma,

其中

a

是加速度，

F

是力，

m

是質(zhì)量。這個(gè)完美、直截了當(dāng)、但也細(xì)微的定律可以描述各種運(yùn)動(dòng)，因此至少在理論上可以回答一個(gè)物理學(xué)家可能要問的關(guān)于世界的幾乎所有問題。

真是可以嗎？當(dāng)人們第一次開始考慮最小尺度的世界時(shí)，例如電子繞原子核旋轉(zhuǎn)，慢慢意識(shí)到事情變得非常奇怪，事實(shí)上，牛頓定律不再適用。為了描述這個(gè)微小的世界，你需要用到遲至二十世紀(jì)初才開始發(fā)展的量子力學(xué)理論。這個(gè)理論的核心方程類似于經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二定律，它被稱為薛定諤方程。

薛定諤方程是以歐文·薛定諤（1887-1961）的名字命名的。

波和粒子

“在經(jīng)典力學(xué)中，我們使用位置和動(dòng)量來描述一個(gè)物理系統(tǒng)的狀態(tài)，”劍橋大學(xué)的理論物理學(xué)家NAZIM Bouatta解釋道。例如，假設(shè)桌面上有一些運(yùn)動(dòng)著的臺(tái)球，如果你知道了每個(gè)球在某個(gè)時(shí)刻

t

的位置和動(dòng)量（即質(zhì)量乘以速度），那么你就知道了該系統(tǒng)在時(shí)刻

t

的一切：這里的一切指的是運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)得多快。我們會(huì)問：“如果我們知道一個(gè)系統(tǒng)的初始條件，即我們知道系統(tǒng)在時(shí)間

t

0的狀態(tài)，那么該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)如何演變？牛頓第二定律可以幫助我們回答此類問題。在量子力學(xué)中，我們問了同樣的問題，但得到的答復(fù)是棘手的，因?yàn)槲恢煤蛣?dòng)量不再是描述系統(tǒng)的合適變量?！?/span>

問題的關(guān)鍵是，量子力學(xué)試圖描述的對(duì)象及其行為并不總是像小小的臺(tái)球那么簡單。有時(shí)，最好把它們看成是波?！鞍压庾鳛槔?，牛頓除了他關(guān)于引力的工作，也對(duì)光學(xué)有興趣，”Bouatta說?！案鶕?jù)牛頓，光由粒子所描述，但是，經(jīng)過許多科學(xué)家的工作，其中包括由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的理論所導(dǎo)致的認(rèn)識(shí)，人們發(fā)現(xiàn)，光確實(shí)可用波來刻畫?！?/span>

但在1905年，愛因斯坦認(rèn)識(shí)到波動(dòng)學(xué)說也并不完全正確。為了解釋光電效應(yīng)，你需要把光束視為被愛因斯坦稱為光子的粒子流。光子數(shù)與光的強(qiáng)度成正比，每個(gè)光子的能量

E

與其頻率

f

成正比：

E

=hf.

這里

h

=6.626068×

10?34

m2kg/s是一個(gè)令人難以置信的小數(shù)，稱為普朗克常數(shù)，以物理學(xué)家馬克斯·普朗克的名字命名，他在1900年關(guān)于黑體輻射的工作中已經(jīng)猜到這個(gè)公式?！耙虼?，我們面臨這樣的情況：描述光的正確方法是它有時(shí)為波，有時(shí)為粒子，”Bouatta說。

雙縫實(shí)驗(yàn)：最上面的圖表示波經(jīng)過雙縫產(chǎn)生的干擾模式，中間是你期望看到的粒子發(fā)射通過雙縫的圖，底下那幅是實(shí)際粒子例如電子發(fā)射經(jīng)過雙縫的示意圖：你得到期望的波干擾模式，但電子還是如同粒子的面貌達(dá)到。

愛因斯坦的結(jié)果可以與一個(gè)古老的努力聯(lián)系在一起，它開始于17世紀(jì)的克里斯蒂安·惠更斯而在19世紀(jì)由威廉·漢密爾頓再次探索：將光的物理原理（這是關(guān)于波的）和力學(xué)（這是關(guān)于微粒的）統(tǒng)一起來。由于光自相矛盾行為的靈感刺激，年輕的法國物理學(xué)家路易·德布羅意在探索的征途中走出了戲劇性的一步：他設(shè)想不僅光而且物質(zhì)受制于所謂的波粒二象性。物質(zhì)的微小組成部分，例如電子，有時(shí)呈現(xiàn)粒子性，有時(shí)則呈現(xiàn)波動(dòng)性。

德布羅意1920年代提出的思想并不基于實(shí)驗(yàn)的證據(jù)，而是由于愛因斯坦相對(duì)論所激起的理論考慮。但是實(shí)驗(yàn)依據(jù)將接踵而至。1920年代后期牽涉到晶體散射粒子的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電子的波動(dòng)性。

波粒二象性的最著名演示之一是雙孔實(shí)驗(yàn)。將電子（或像光子或中子那樣的其他粒子）一次一個(gè)地對(duì)著有兩個(gè)小孔的屏幕打靶。屏幕后面有另一張屏幕，它能檢測(cè)通過小孔的電子在屏幕上的位置。如果電子具有粒子行為，那么它們?cè)谛】缀竺娴膬蓷l直線旁邊堆積。但檢測(cè)屏幕時(shí)人們實(shí)際看到的是干涉模式：這是電子具有波動(dòng)性的圖像，每個(gè)波經(jīng)過雙孔后在屏幕另一面后傳播開時(shí)自我干涉。然而在檢測(cè)屏幕上電子如同你所期待的那樣以粒子的面貌到達(dá)。這確實(shí)是一個(gè)非常不可思議的結(jié)果，但它重復(fù)了無數(shù)次---我們必須接受世界就是這么運(yùn)行的事實(shí)。

薛定諤方程

德布羅意提出的徹底新穎的圖像需要新的物理。與粒子有關(guān)的波在數(shù)學(xué)上看像什么？愛因斯坦已經(jīng)將光子的能量

E

與光的頻率

f

聯(lián)系在一起，后者又通過公式

λ

=c/f與光的波長有關(guān)，其中

c

為光速。運(yùn)用相對(duì)論的結(jié)果，也可以將光子的能量與動(dòng)量相聯(lián)系。將所有這些結(jié)合起來就得到光子的波長

λ

和動(dòng)量

p

之間的關(guān)系

λ

=h/p,

其中

h

還是普朗克常數(shù)。

從這里繼續(xù)走下去，德布羅意假設(shè)波長和動(dòng)量的同樣關(guān)系對(duì)任何粒子都成立。

這個(gè)時(shí)候我們最好不要管粒子行為（如波的說法）到底意味著什么樣的直覺性，而就跟著數(shù)學(xué)走吧。

在經(jīng)典力學(xué)里，波隨著時(shí)間的演化，例如聲波或水波，是由一個(gè)波動(dòng)方程描述的。這是一個(gè)微分方程，其解是一個(gè)波函數(shù)，它給出波在任何時(shí)刻的形狀（需要滿足合適的邊界條件）。

例如，設(shè)想你有一個(gè)直線波沿著

x

-軸方向的細(xì)繩傳播開去，并在

xy

-平面內(nèi)振動(dòng)。為了完全地描述波，我們需要找到細(xì)繩上任一點(diǎn)

x

在任一時(shí)刻

t

沿著

y

-軸方向的位移

y

(x,t)。運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律可以證明，

y

(x,t)服從下列波動(dòng)方程

其中

v

為波的速度。

在某一時(shí)刻的xy平面的線性振蕩快照，這里呈現(xiàn)的波可以用余弦函數(shù)來描述。

這個(gè)方程的通解相當(dāng)復(fù)雜，反映出細(xì)繩可具有各種方式扭動(dòng)的事實(shí)，并且你需要更多的信息（初始條件和邊界條件）來精確發(fā)現(xiàn)它所作的運(yùn)動(dòng)。但是，作為一個(gè)例子，函數(shù)

y

(x,t)=Acosω(t?

xv

)

描繪了一個(gè)沿

x

-軸正方向移動(dòng)并具有角頻率

ω

的波，因而如你可以期望到的，它是這個(gè)波動(dòng)方程的一個(gè)可能解。

類似，應(yīng)當(dāng)有揭示神秘的“物質(zhì)波”隨時(shí)間演化規(guī)律的波動(dòng)方程，無論它是什么。它的解應(yīng)是一個(gè)波函數(shù)（但不要把它看成是刻畫實(shí)際波的），它給出關(guān)于量子系統(tǒng)在任何時(shí)刻所知道的一切---例如單個(gè)粒子在某個(gè)空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。正是奧地利物理學(xué)家歐文·薛定諤在1926年找到了這個(gè)方程。對(duì)于在三維空間中運(yùn)動(dòng)的單個(gè)粒子，該方程可以被寫成

這里，

V

是粒子的勢(shì)能（它是

x

,y,z,t的一個(gè)函數(shù)），

i

=

?1

???

√

,m是粒子的質(zhì)量，

h

是普朗克常數(shù)。這個(gè)方程的解是波函數(shù)

Ψ(x,y,z,t)

。

有時(shí)人們需要求解僅依賴于空間變量的函數(shù)

Ψ

，即在某些情形下勢(shì)函數(shù)不依賴于

t

。這時(shí)我們可以通過考慮較為簡單的與時(shí)間無關(guān)的薛定諤方程：

其中

E

為粒子的總能量。整個(gè)方程的解

Ψ

則為

這些方程適用于在三維空間中運(yùn)動(dòng)的一個(gè)粒子，但也有相對(duì)應(yīng)的方程描繪一個(gè)由多個(gè)粒子組成的系統(tǒng)。如果不把波函數(shù)寫成位置和時(shí)間的函數(shù)，人們也可以將它們化為動(dòng)量和時(shí)間的函數(shù)。

進(jìn)入不確定性

我們可以用一些簡單的例子來看看怎樣求解薛定諤方程，并能知道方程的解的確類似于描繪波的數(shù)學(xué)方程的解。但是這個(gè)方程的解到底意味著什么？它并不給你粒子在時(shí)刻

t

的精確位置，因而它并不給你粒子隨時(shí)間而行進(jìn)的軌跡，而是一個(gè)函數(shù)，在時(shí)刻

t

給出對(duì)于所有可能位置

(x,y,z)

的一個(gè)值

Ψ(x,y,z,t)

。這個(gè)值意味著什么？1926年物理學(xué)家馬克斯·波恩給出了一個(gè)概率的解釋。他假設(shè)這個(gè)波函數(shù)的絕對(duì)值平方

給出在時(shí)刻

t

粒子位于位置

(x,y,z)

的一個(gè)概率密度。換言之，粒子在時(shí)刻

t

將在一個(gè)區(qū)域

R

中被發(fā)現(xiàn)的概率是

這個(gè)概率圖像與德布羅意關(guān)于粒子波長和動(dòng)量關(guān)系公式有令人吃驚的聯(lián)系。維爾納·海森堡1927年發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)果是：如果要測(cè)量一個(gè)運(yùn)動(dòng)粒子的位置和動(dòng)量，人們有一個(gè)基本的精度限制。在某一方面如果想要測(cè)量的精度越高，其他方面人們能說的就越少。這并不是指測(cè)量儀器的質(zhì)量問題，而是自然界根本就具有的不確定性。這個(gè)結(jié)果現(xiàn)在稱為海森堡的不確定性原理，且是常常用來引述量子力學(xué)奇怪現(xiàn)象的幾個(gè)結(jié)果之一。它意味著在量子力學(xué)里我們談?wù)摬涣肆Ｗ拥奈恢没蜍壍馈?/span>

維爾納·海森堡，1901-1976.

“如果我們相信這個(gè)不確定性圖像，我們則必須接受所發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的概率解釋，因?yàn)槲覀儗?duì)t0刻粒子在哪里’這樣的問題沒有精確的答案，”Bouatta說。換句話說，所有量子狀態(tài)的數(shù)學(xué)表示及波函數(shù)所能給我們的只是一個(gè)概率。

波函數(shù)是否有任何物理解釋一直是個(gè)棘手的問題?！皢栴}是，我們有這個(gè)波函數(shù)，但我們真的認(rèn)為有隨著空間和時(shí)間傳播的波嗎？”Bouatta說?！暗虏剂_意、薛定諤和愛因斯坦試圖想提供一個(gè)例如像光波在真空中傳播的真實(shí)闡述，但是物理學(xué)家沃爾夫?qū)づ堇?、維爾納·海森伯及尼爾斯·玻爾都反對(duì)這個(gè)真實(shí)的圖像。對(duì)他們而言，波函數(shù)只是計(jì)算概率的一個(gè)工具?！?/span>

它有效嗎？

為什么我們應(yīng)當(dāng)相信這個(gè)異想天開的設(shè)想？在該文我們已經(jīng)展現(xiàn)了薛定諤方程，好像它是從稀薄空氣中采摘而來，但是它實(shí)際上從何處而來？薛定諤怎樣得到它的？著名物理學(xué)家理查德·費(fèi)恩曼把它看成是無用的問題：“我們從哪里獲得那個(gè)方程？不大可能從你所知道的地方獲得它。它來自于薛定諤的大腦。”

路易·德布羅意，1892-1987.

然而這個(gè)方程已經(jīng)經(jīng)受過到目前為止所有實(shí)驗(yàn)的考驗(yàn)。“它是量子力學(xué)最基本的方程，”Bouatta說?！八俏覀兿朊枋龅拿恳粋€(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)：電子、光子、中子，所有的?！痹摲匠套钤绲某晒?，也是薛定諤的動(dòng)因之一，在于描繪了幫助直接推動(dòng)量子力學(xué)誕生的一種現(xiàn)象：氫原子的離散能量譜。根據(jù)歐內(nèi)斯特·盧瑟福的原子模型，像氫原子這樣的原子的放射線頻率應(yīng)當(dāng)連續(xù)變化，但實(shí)驗(yàn)表明不是這樣的：氫原子只放射出某些頻率的射線，當(dāng)頻率變化時(shí)有跳躍。這個(gè)發(fā)現(xiàn)在常規(guī)知識(shí)面前飛走了，因?yàn)樗С至擞墒呤兰o(jì)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨所指定的格言：“自然不允許跳躍”。

1913年尼爾斯·玻爾給出了新的原子模型，其中電子被限制在某些能量級(jí)上。薛定諤將他的方程用于氫原子，發(fā)現(xiàn)他的解精確地重現(xiàn)了玻爾制定的能量級(jí)?！斑@是一個(gè)令人驚奇的結(jié)果---是薛定諤方程的第一個(gè)主要成就之一”Bouatta指出。

由無數(shù)的成功實(shí)驗(yàn)支持，薛定諤方程已經(jīng)成為牛頓第二定律在量子力學(xué)的類似物和替代品。

作 者:Marianne Freiberger，劍橋大學(xué)主辦的“千年數(shù)學(xué)項(xiàng)目”之下的網(wǎng)絡(luò)雜志Plus的共同主編

翻 譯:丁玖，密執(zhí)安州立大學(xué)博士，南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)教授

校 對(duì):湯濤，香港浸會(huì)大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授