典型例題

　　例1、 已知二次函數(shù)，當(dāng)x＝4時(shí)有最小值-3，且它的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求此二次函數(shù)解析式．

　　分析：因?yàn)槎魏瘮?shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值-3，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-3)，對(duì)稱(chēng)軸為x=4，拋物線開(kāi)口向上．圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即拋物線過(guò)(1，0)點(diǎn)．又根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，圖象與x軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(7，0)有下面的草圖：

　　解：此題可用以下四種方法求出解析式．

　　方法一：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸是ｘ＝４，拋物線與ｘ軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），由對(duì)稱(chēng)性可知另一點(diǎn)為（7，0），同例1，拋物線y=ax²＋bx＋c通過(guò)(4，-3)、(1，0)、(7，0)三點(diǎn)，由此列出一個(gè)含a、b、c的三元一次方程組，可解出a、b、c來(lái)．

　　方法二：由于二次函數(shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值-3，又拋物線通過(guò)(1，0)點(diǎn)，所以

　　由上面的方程組解出a、b、c．

　　方法三：由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，可以設(shè)二次函數(shù)式為y=a(x+h)²+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)²-3，式中只有一個(gè)待定系數(shù)a，再利用拋物線通過(guò)(1，0)或通過(guò)（7，0）求出a來(lái). 即 得出 . 所求二次函數(shù)解析式為

　　方法四：由于拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁=1，x₂=7．可以采用雙根式y(tǒng)=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁=1，x₂=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系數(shù)a，再把頂點(diǎn)(4,-3)代入上式得: 所求二次函數(shù)解析式為
.

　　例2、 如果以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=ax²+bx+c的圖象如圖13-25所示，那么代數(shù)式b+c-a與零的關(guān)系是 [　]

　　A．b+c-a=0；　　B．b+c-a＞0；

　　C．b+c-a＜0；　　D．不能確定．

　　解： 從圖13-25上看出拋物線開(kāi)口向下，所以a＜0．當(dāng)x=0時(shí)，y的值為正，所以c＞0．又因?yàn)閽佄锞€以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，所以b=0．

　　綜上分析知b+c-a＞0，應(yīng)選B．

　　注意：這個(gè)題考察了二次函數(shù)中三個(gè)系數(shù)a、b、c的含義，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線開(kāi)口方向，c為拋物線在y軸上的截距即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為 ，要根據(jù)圖象具體分析才能得出正確結(jié)論．

　　例3、已知：二次函數(shù)y=x²+2ax-2b+1和y=-x²+(a-3)x+b²-1的圖象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，求 a，b的值．

　　解：方法一 依題意，設(shè)M(x₁，0)，N(x₂，0)，且x₁≠x₂，則x₁，x₂為方程x²+2ax-2b+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x₁+x₂=-2a，x₁·x₂=-2b+1．

　　因?yàn)閤₁，x₂又是方程-x²+(a-3)x+b²-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x₁+x₂=a-3，x₁·x₂=1-b²．由此得方程組

　　當(dāng)a=1，b=0時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以 a=1，b=0舍去．

　　當(dāng)a=1，b=2時(shí)， 二次函數(shù)為y=x²+2x-3和y=-x²-2x+3符合題意，所以a=1，b=2．

　　方法二 因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x²+2ax-2b+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，又兩個(gè)二次函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．所以?xún)蓚€(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為同一直線，所以 ，解得a=1. 所以?xún)蓚€(gè)二次函數(shù)分別為y=x²+2x-2b+1和y=-x²-2x+b²-1．

　　依題意，令y=0得

　　　x²+2x-2b+1=0，　　(1)

　　　-x²-2x+b²-1=0，　　(2)

　　(1)+(2)得b²-2b=0，解得b₁=0，b₂=2．

　　以下解法同方法一．

　　注意：本題給出兩種不同的解法．方法一的關(guān)鍵是緊緊抓住問(wèn)題的本質(zhì)就是兩個(gè)二次函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．從而把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，設(shè)M(x₁，0)，N(x_2，0)，再轉(zhuǎn)化為x₁，x₂是兩個(gè)二次方程的等根來(lái)解．

　　方法二是利用兩個(gè)二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N這個(gè)現(xiàn)象，挖掘它的內(nèi)涵(從草圖中也可看出)知道，兩個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)為同一直線，從而解得a=1．在求b的過(guò)程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因?yàn)閮蓚€(gè)方程設(shè)而不解，這種方法同學(xué)們可能不習(xí)慣,可以這樣理解: 都是方程(1)和(2)的解,不妨設(shè) ,同時(shí)也應(yīng)有 ,所以 .從而推出2b=b²得解．

　　最后提醒學(xué)生對(duì)于解得的結(jié)果還要進(jìn)行檢驗(yàn)是否符合題意．

　　例4、 二次函數(shù)y=ax²+bx+c與一次函數(shù)y=ax+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是 [　]

　　解： 圖象大致是D．

分析： 這一類(lèi)題是考察數(shù)學(xué)邏輯推理能力．題目中a，b，c均是變量，字母多不知從何下手考慮．考慮問(wèn)題應(yīng)該是有層次的，首先抓住兩個(gè)函數(shù)共性的東西，如兩個(gè)圖象的交點(diǎn)中有一個(gè)是(0，c)，也就是說(shuō)兩個(gè)圖象的交點(diǎn)中有一個(gè)應(yīng)在y軸上，從而否定了A．和B．，且c＞0．其次考慮完字母c后，再考慮a的取值．若a＞0，則直線y=ax+c與x軸交點(diǎn)應(yīng)在原點(diǎn)左邊，這樣否定了C．；再檢驗(yàn)D．，從二次函數(shù)圖象知a＜0，且c＞0，直線y=ax+c與x軸交點(diǎn)應(yīng)在原點(diǎn)右邊，所以D．是正確的．考慮變量的取值范圍要先考慮第一個(gè)再考慮第二個(gè)、第三個(gè)有次序地進(jìn)行，切忌無(wú)頭緒地亂猜，思維

　　例5、 如果拋物線y=-x²+2(m-1)x+m+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，OA的長(zhǎng)是a，OB的長(zhǎng)是b．

　　(1)求m的取值范圍；

　　(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并寫(xiě)出此時(shí)拋物線的解析式；

　　(3)設(shè)(2)中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　　解：(1)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁，0)，(x₂，0)．因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，所以x₁·x₂＜0，即-(m+1)＜0．

　　　當(dāng)m＞-1時(shí)，Δ＞0，所以m的取值范圍是m＞-1．

　　(2)因?yàn)閍∶b=3∶1，設(shè)a=3k，b=k(k＞0)，則x₁=3k，x₂=-k，所以

　　　所以m=2．

　　　所以拋物線的解析式是y=-x²+2x+3．

　　(3)易求拋物線y=-x²+2x+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是A(3，0)，B(-1，0)；拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是C(0，3)；頂點(diǎn)坐標(biāo)是M(1，4)．設(shè)直線BM的解析式為

y=px+q，

　　　所以直線BM的解析式是y=2x+2．設(shè)直線BM與y軸交于N，則N點(diǎn)坐標(biāo)是(0，2)．所以

　　　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，因?yàn)镾_△ABP=8S_△BCM．所以

　　　所以｜y｜=4，由此得y=±4．

　　　當(dāng)y=4時(shí)，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合，即P(1，4)；

　　　所以滿足條件的P點(diǎn)存在．

　　注意：這一類(lèi)題是探索性的，需要獨(dú)立思考，前兩問(wèn)是為第三問(wèn)作鋪墊的，都是常規(guī)的思路不太難．第三問(wèn)是假設(shè)條件成立可導(dǎo)出什么結(jié)果，在求△BCM的面積時(shí)要用分割法，因?yàn)椤鰾CM是任意三角形，它的面積不好求，而△BCN和△CMN的面積都好求，底都為CN=1，高都是1．S_△BCM=S_△BCN+S_△CMN這樣就化難為易了．方程-x²+2x+3=±4有解則P點(diǎn)存在，如果方程無(wú)解則P點(diǎn)不存在，探索性題的思路都是這樣的．

　　例6、 某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài)360件，若按每件25元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)，每月能賣(mài)210件，假定每月銷(xiāo)售件數(shù)y(件)是價(jià)格x(元/件)的一次函數(shù)．

　　(1)試求y與x之間的關(guān)系式；

　　(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問(wèn)銷(xiāo)售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？

　　解：(1)依題意設(shè)y=kx+b，則有

　　　所以

y=-30x+960(16≤x≤32)．

　　(2)每月獲得利潤(rùn)P=(-30x+960)(x-16)

　　　　　　=30(-x+32)(x-16)

　　　　　　=30(-x2+48x-512)

　　　　　　=-30(x-24)2+1920．

　　　所以當(dāng)x=24時(shí)，P有最大值，最大值為1920．

　　答：當(dāng)價(jià)格為24元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1920元．

　　注意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來(lái)源于實(shí)踐用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會(huì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價(jià)格和利潤(rùn)的知識(shí)，總利潤(rùn)等于總收入減去總成本，然后再利用一元二次函數(shù)求最值．